秘籍05 一次函数与反比例函数综合-备战2023年中考数学抢分秘籍（全国通用）

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秘籍05一次函数与反比例函数综合

概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
①一次函数综合②反比例函数综合③反比例与一次函数的结合

函数的综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容！通常是反比例函数和一次函数的结合，难度系数中等。
1．从考点频率看，反比例函数是高频考点，中考对函数的知识点考查，综合能力要求极高！
2．从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右！

一次函数的概念及其图象、性质

一次函数的相关概念
（1） 概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0 时，称为正比例函数． 
（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线

一次函数的性质
一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.
k＞0，  b>0
一、二、三象限 y随x的增大而增大
k＞0， b＜0
一、三、四象限 y随x的增大而增大
k<0，  b>0
一、二、四象限 y随x的增大而减小
k<0， b<0
二、三、四象限 y随x的增大而减小
一次函数与坐标轴交点坐标
交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是(,0 )，与y轴的交点是(0，b)；

反比例函数的性质
反比例的一般形式(k≠0)
当k>0时,图象的两个分支分别在一,三象限,在每个象限内即y随x的增大而减小
当k＜0时,图象的两个分支分别在二,四象限,在每个象限内即y随x的增大而增大
过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |.


中考函数的综合题常见的技巧:①待定系数法求解析式；②求三角形面积时，有时要设点的坐标；③函数与不等式结合，会直接观察图象找自变量的范围；④一次函数、反比例的性质综合应用。


典例1．如图，等腰直角△POA的直角顶点P在反比例函数(x＞0)的图象上，A点在x轴正半轴上，求A点坐标．

【答案】A点坐标为(4，0)．
【分析】过P点作x轴的垂线，由等腰直角的性质得到点P的横纵坐标相等，进一步得到A点坐标．
【详解】解：如图：过P点作x轴的垂线，D点为垂足．
∵△POA是等腰直角三角形，
∴PD＝OD＝DA，
又∵P点在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，
∴P点的坐标为(2，2)，
∴OA＝4，
∴A点坐标为(4，0)．

故答案为A点坐标为(4，0)．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的有关性质，解题的关键是掌握等腰直角三角形斜边上的高平分斜边并且等于斜边的一半、反比例函数y=图象上的点的坐标特征是横纵坐标的乘积等于k．
典例2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的面积为5．

(1)求值；
(2)当时，求函数值的取值范围．
【答案】(1)10
(2)

【分析】（1）解法一：直接利用的几何意义求解即可；解法二：设点的坐标为，再利用三角形的面积公式列方程求解即可；
（2）先求解时的函数值，再利用函数的图象可得答案．
【详解】（1）解法一：
∵点在双曲线上，轴，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
解法二：
设点的坐标为
∵轴，
∴，
∵，
∴．
∴．
（2）∵．
∴双曲线的表达式为．
当时，．
由图象可知，当时，．
【点睛】本题考查的是反比例函数的几何意义，反比例函数的性质，灵活运用的几何意义求解反比例函数的解析式是解本题的关键．
典例3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．

(1)求这两个函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)；．
(2)

【分析】（1）先把点A和点B的坐标代入反比例函数，求出；再把点A和点B的坐标代入一次函数，求出和即可；
（2）设直线与x轴的交点为C，求出点C的坐标，由求解即可.
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点A和点B，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为：，点B的坐标为，
∵一次函数的图象经过点A和点B，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：
（2）解：设直线与x轴的交点为C，
由(1)知，，令，则，即．
则.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.
典例4．如图，直线与y轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点，反比例函数的图像上有一点．

(1)求直线的解析式；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先求得点，再利用待定系数法即可求解；
（2）延长交y轴于点D，利用待定系数法线的解析式，得到，利用即可求解．
【详解】（1）解：∵点在的图像上，
∴，
∴．
∴点，
将点，代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：．
（2）解：延长交y轴于点D，如图，

∵在在的图像上，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的图像上点的坐标特征，待定系数法求解一次函数解析式，三角形的面积，掌握反比例函数的图像与性质是解答本题的关键．
典例5．在平面直角坐标系中，直线经过点，．
(1)求和的值：
(2)将点向右平移到轴上，得到点，设点关于原点的对称点为，记线段与线段为图形．若双曲线与图形恰有一个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）把B的坐标代入即可求得b，然后代入，即可求得m，得出；
（2）根据平移的性质、轴对称以及中心对称的性质即可求得C、D的坐标；函数的图象经过点A，，函数的图象经过点D，，此时双曲线也经过点B，根据图象即可求得k的取值范围．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴
，
直线的解析式为，
又直线经过点，
；
（2）解：由（1）得：点，
，将点B向右平移到y轴上，得到点C，
，点B关于原点的对称点为；

函数的图象经过点A，，
函数的图象经过点D，，此时双曲线也经过点B，
由图象可知：k的取值范围是或．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合问题，待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，数形结合结合思想的运用是解题的关键．
典例6．如图，反比例函数的图像上的一点在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，且，过点B作轴，与线段的延长线相交于点C，与反比例函数的图像相交于点D．

(1)用含m的代数式表示点D的坐标；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析

【分析】（1）根据得出点D的横坐标为，将代入得到对应的y值，即可得出点D的坐标；
（2）先求出直线的解析式为，将代入，求出，进而求出，，即可证明．
【详解】（1）解：，
点A在线段的垂直平分线上，
，，
点D的横坐标为，
将代入，得，
；
（2）证明：设直线的解析式为，
点，
，
，
直线的解析式为，
点在直线上，且横坐标为，
，
，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．


一、在题目出现同顶点，不同底边的三角形，如给出三角形的面积比，则这两条底边的比等于面积比。
典例7.如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A(1,2)、B(-2,n)两点.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足k1x+b>k2x的x的取值范围；
（3）若点P在线段AB上，且SΔAOP:SΔBOP=1:4，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵反比例函数y=k2x经过A(1,2)，
∴k2=1×2=2，
∴反比例函数为y=2x，
∵B(-2,n)在比例函数y=2x的图象上，
∴n=2-2=-1，
∴B(-2,-1)，
∵直线y=k1x+b经过A(1,2)，B(-2,-1)，
∴k1+b=2-2k1+b=-1，解得k1=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
（2）解：观察图象，k1x+b>k2x的x的取值范围是-21；
（3）解：设P(x,x+1)，
∵SΔAOP:SΔBOP=1:4，
∴AP:PB=1:4，
即PB=4PA，
∴(x+2)2+(x+1+1)2=16[(x-1)2+(x+1-2)2]，
解得x1=25，x2=2（舍去），
∴P点坐标为( 25，75 ).
【解析】【分析】（1）将点A，B坐标分别代入反比例函数解析式，可求出k2和n的值，可得到点B的坐标，再将点A，B的坐标分别代入一次函数解析式，可求出一次函数解析式.
（2）利用两函数图象交点A，B的横坐标，可得到k1x+b>k2x的x的取值范围 .
（3）利用两三角形的面积之比为1：4，可得到AP与BP的比值，根据PB=4PA，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的点P的坐标.
典例8．如图，点和点都在反比例函数的图像上，作直线．

(1)m=　，k=　；
(2)点P为x轴上一点，若的面积等于18，求点P坐标．
【答案】(1)-2，6
(2)或

【分析】（1）由已知可得，，求解即可解答．
（2）连接、，作轴于C，轴于D，由（1）可得点M坐标，再根据的面积等于18，即可解答．
【详解】（1）∵，点和点都在反比例函数的图像上，
∴，．
（2）解：连接、，作轴于C，轴于D，
由（1）知，，，
，

直线于x轴交点，
∵的面积等于18，
∴，
∴，
∴，
∴．
同理得：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，掌握三角形面积公式是解题的关键．
典例9．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或

【分析】（1）将、两点代入反比例函数解析式，，，可得，解得的值，即可求出、两点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）令，求出点坐标，根据、、三点坐标求出的面积，再得到的面积，设，利用三角形面积求出的值即可．
【详解】（1）由题意，得，解得，
，，
把代入，得，
反比例函数表达式为，
把，代入，得，
，
一次函数表达式为；
（2）令，则得，，
点的坐标为，
，
，
设，则，得，
，
解得：或，
故或．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，正确求出一次函数和反比例函数解析式是解题的关键．
典例10.如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与矩形两边、分别交于点、点，且．

(1)反比例函数的解析式；
(2)若点是线段上的一个动点，是否存在点，使？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在要求的点，坐标为或

【分析】(1)由矩形$OABC$中，，可得，即可求得$AD$的长，然后求得点的坐标，即可求得的值；
(2)首先假设存在要求的点坐标为，由，易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，继而求得此时点的坐标．
【详解】（1），，
，
，
又，
，
点在双曲线上，
，
；
（2）假设存在要求的点坐标为，，．
，
，
又，
，
又，
∽，
，
，
解得：或，
存在要求的点，坐标为或．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意求得点D的坐标与证得是解此题的关键．
典例11．如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图像上，所在直线的解析式为，其中点，．

(1)求的值；
(2)将沿着轴正方向平移个单位长度得到，边与反比例函数的图像交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由待定系数法求得所在直线的解析式为，进而求出点的坐标，即可求出的值；
（2）由于，故当时，四边形是平行四边形，由题意可得点的横坐标为，得到点的纵坐标，由，解方程即可求得．
【详解】（1）解：∵直线：经过点，
∴，
∴，
∴所在直线的解析式为，
∵，，
∴当时，，
∴，，
∵点在反比例函数第一象限的图像上，
∴，
∴的值为．
（2）当时，，
∴，，
∵沿着轴正方向平移个单位长度得到，
∴，，，
∴当时，四边形是平行四边形，
由（1）得反比例函数的解析式为，
由题意可得点的横坐标为，
∴点的纵坐标，
∴，
解得：，且符合题意；
∴当为时，四边形是平行四边形．

【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的判定．正确地作出图形是解题的关键．


1．（2023·山东济宁·统考一模）如图，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，与函数的图像交于点C（C在第二象限）且B为的中点．

(1)求出m的值；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)
(2)3

【分析】（1）在直线中求出点A和点B的坐标，根据中点的性质，可得点C坐标；
（2）根据点B和点C的坐标，利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）过点作轴于点，如图所示，
在中，令，则，令，则，
∴，，
∴
∵B为的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴，
代入中，得；

（2）∵，，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，全等三角形的判定和性质，涉及到函数图像上的点，面积问题，比较基础，解题的关键是能根据中点得到点C的坐标．
2．（2023·河南省直辖县级单位·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，射线在第一象限，且．

(1)过点B作轴于点B，交于点P；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图)
(2)求图象经过点P的反比例函数的表达式；
(3)在（2）中的反比例函数图象上有一点Q，当其横坐标为4时，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)是等腰三角形，理由见详解

【分析】（1）以B为圆心，为半径画弧，交于点P，问题得解；
（2）根据（1）可求出点P的坐标为，问题得解；
（3）根据反比例函数的图象上有一点Q，当其横坐标为4，可得点Q的坐标为，结合点B的坐标为，点P的坐标为，利用勾股定理可得，问题得解．
【详解】（1）以B为圆心，为半径画弧，交于点P，如图，

即：轴；
证明：根据作图可知，即，
则，进而有轴．
（2）∵点B的坐标为，
∴，
根据（1）可知，
∴，
∵轴，
∴点P的坐标为，
∴，
∴图象经过点P的反比例函数的表达式为：，
（3）是等腰三角形，理由如下：
∵反比例函数的图象上有一点Q，当其横坐标为4，
∴点Q的坐标为，
∵点B的坐标为，点P的坐标为，
∴，，，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质以及勾股定理等知识，掌握等腰三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
3．（2023·山西太原·山西大附中校考二模）如图，在平面直角坐标系中，一个含角的直角三角板的顶点的坐标是，，反比例函数经过中点，交于点，

(1)求反比例函数的表达式．
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)y＝
(2)1

【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）利用割补法求面积．
【详解】（1）解：是的中点，，
，
反比例函数经过点，
，
反比例函数的表达式为：；
（2）过作轴于点，交于点，

则，，
，
，
，
，
，
，，
设直线的解析式为：，
，

直线的解析式为：，
联立得：（负值舍去），
，，
的面积为：．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，数形结合思想是解题的关键．
4．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点B，．

(1)求k的值；
(2)求A、C两点的坐标；
(3)根据图像直接写出时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)或

【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；
（2）由函数的解析式组成方程组，解之即可求得A、C的坐标；
（3）根据图像即可求得．
【详解】（1）解：设A点坐标为，且，
则，
∴，
又∵，
即，
∴；
（2）解：由（1）得：两个函数的解析式分别为，，
∵A、C是双曲线与直线的交点，
∴，解得，，
∴，；
（3）解：使成立的x的取值范围是：或．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数中是定值这一知识点是解答此题的关键．
5．（2023·江西上饶·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求点，的坐标．
(2)求一次函数与反比例函数的表达式．
【答案】(1)，
(2)一次函数的表达式为．反比例函数的表达式为

【分析】（1）将，代入，可得，由此求出m的值即可；
（2）将点，的坐标代入，将点A或点B的坐标代入，利用待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
∴，
∴，
解得，
∴，．
（2）解：由（1）得，．
将点，代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为．
把代入中，得，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是根据，都在上，求出m的值，进而求出点，的坐标．
6．（2023·湖南株洲·校考一模）已知，直线与双曲线交于点．

(1)求a与k的值；
(2)如图，点B是线段上一点，轴于点C，交双曲线于点P．
①设，则；；
②若，求直线的解析式．
【答案】(1)；
(2)①；；②

【分析】（1）把代入可得，即，再把坐标代入即可得到答案；
（2）①先求解，利用勾股定理可得；再利用，结合正切的定义可得答案；②如图，过作于，而，证明，结合，，而，再利用勾股定理建立方程求解m，从而可得函数解析式．
【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点．
∴，即，
∴，
∴反比例函数为：．
（2）①∵，，点B是线段上一点，
∴，
∴；
∵，
∴；
故答案为：；
②如图，过作于，而，

∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
解得：，不合题意的根舍去；
∴，
设的解析式为：，
∴，解得，
∴的解析式为：．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求解函数解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
7．（2023·山东泰安·统考二模）如图，双曲线与直线交于，，直线交轴于点，交轴于点．

(1)求双曲线与直线的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)若线段的垂直平分线交直线于点，交双曲线于点．求出线段的长．
【答案】(1)，
(2)或
(3)4

【分析】（1）将点代入反比例函数解析式先求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，最后利用待定系数法先设直线解析式为：，将点坐标分别代入求解即可；
（2）根据图象结合直线与双曲线的交点坐标即可得到；
（3）先利用直线的解析式求出点的坐标，在计算得出中点的坐标，分别把中点横坐标代入直线和双曲线的解析式求出点的坐标，最后计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：把点代入得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入时，，
∴点，
设直线解析式为：，
把，分别代入得：
，
解得：，
∴直线解析式为：；
（2）解：由图象可知，当或时，双曲线的图象在直线图象上方，
∴当或时，；
（3）解：由题意得：点为与轴的交点，
把代入得：，
解得：，
∴点，
∵垂直平分，
∴点，即，
把代入得：，
∴点，
把代入得：，
∴点，
∴．

【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数，熟练掌握待定系数法求解析式以及根据图象解不等式是解决本题的关键．
8．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，一次函数的图像和反比例函数的图像交于，两点．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)过点作轴且，连接，求的面积．
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）将点代入反比例函数求出解析式，代入B点坐标求出n，代入一次函数即可得到答案；
（2）过A作交于，求出A点坐标，即可得到，结合三角形面积公式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵的图像过，
∴，
∴，
∵的图像过，
∴，
∴，
∵图像过A，两点，

解得，
∴；
（2）解：过A作交于，
∵，，且轴，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数结合问题，勾股定理，解题的关键是根据交点求出两个函数解析式．
9．（2023·江西赣州·统考一模）如图，直线与轴，轴分别相交于，两点，与双曲线相交于点，轴于点，且，点的坐标为．

(1)求一次函数和双曲线的解析式；
(2)若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）的坐标为，代入直线待定系数即可求解；进而根据，即点的纵坐标为4，代入得：，进而代入反比例数解析式即可求解；
（2）设为，则，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵的坐标为，代入直线
∴，解得
∴，
∵，即点的纵坐标为4，代入得：
∴
解得：，
即，
将代入
∴，解得
∴；
（2）当时
∴
设为，则
∴代入反比例解析式
∴解得或2
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，一次函数与反比例函数第一象限交于、两点，点是轴负半轴上一动点，连接，．

(1)求一次函数的表达式；
(2)若的面积为，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，则点向右平移个单位向下平移个单位得到点，进而求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
当时，，
∴，
∵，在一次函数图像上，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设直线交轴于点，
当时，，解得：
∴点，
设点，
∵的面积为，
∴，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；

（3）存在，理由：
设直线的解析式为，，，
∴，
解得：，
直线的解析式为，
设点，
∵是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，点在轴上，
∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点，
∴
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用点坐标平移的规律：左减右加纵不变，上加下减横不变解决问题．
11．（2023·四川泸州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．

(1)求该反比例函数的表达式；
(2)过点作直线，交该反比例函数图像于另一点，交轴于点、连接，若，求的长．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）求出点的坐标，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，可证，求出点的坐标，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，则，
∴点，
∵点在双曲线上，
∴，
∴该反比例函数的表达式为．
（2）解：由，得，
∴或，则；，
∴点，
如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，

∴，
∴，则，
∵，
∴．
∵点在双曲线上，
∴，且，
∴在中，，,
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数图形的性质，相似三角的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
12．（2023·吉林白城·校考二模）如图，在中，顶点的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、两点．

(1)求的值；
(2)求平行四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)6；

【分析】（1）根据点的纵坐标为1，可得点的坐标，代入反比例函数解析式即可；
（2）把代入一次函数，解方程可得点的坐标，从而得出的坐标是及的长，再由题意，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点的坐标是，轴，
∴点D的纵坐标为1．
∵一次函数图象经过两点，
∴令，解得．
∴，将点代入反比例函数，得
∴．
（2）由题意，把代入一次函数，得
，
∴．
∵四边形平行四边形，
∴的坐标是．
由（1）的坐标是，，
∴．
∴平行四边形的面积等于．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，平行四边形的性质等知识，求出点B的坐标是解题的关键．
13．（2023·山东泰安·统考一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于、B两点，点C在第三象限，轴．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)以为边作菱形，求D点坐标．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据点在上，可以求得点A的坐标，再根据反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，即可求得k的值；
（2）因为B是反比例函数和正比例函数的交点，列方程可得B的坐标，根据菱形的性质可确定点D的坐标．
【详解】（1）∵点在直线上，
∴，
即点A的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式是：；
（2）由题意得：，
解得：或，
经检验或是原方程的解，
∴，
∵点，
∴，
∵菱形是以为边，且轴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（2023·河南新乡·统考一模）如图，直线交坐标轴于点，且与反比例函数的图象相交于点，．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，在x轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
(2)，或

【分析】（1）利用待定系数法先将点的坐标代入反比例函数先求出点的坐标，分别代入一次函数解析式以及反比例函数解析式求解即可；
（2）分类讨论，①当时，利用勾股定理求出的长然后根据点在轴上求解即可；②当时，利用等腰三角形三线合一的性质求解即可．
【详解】（1）解：，，且在反比例函数图象上，
代入
，
解得，
，点的坐标为，点的坐标为，
反比例函数的表达式为．
，，
，
解得
一次函数的表达式为．
（2）解：点的坐标为，
，
分两种情况：①当时，
∵点在轴上，
的坐标为或；
②如图，当时，作轴于点，则，
．
点的坐标为．
综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为，或．

【点睛】本题考查反比例函数的性质、一次函数，利用待定系数法求解解析式以及分类讨论分解问题是解决本题的关键，是渗透了数学学科模型观念、推理能力的核心素养．
15．（江西赣州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，顶点在反比例函数的第一象限的图象上．

(1)的取值范围为；
(2)若平行四边形的面积为．
①求反比例函数的表达式；
②若时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②，

【分析】（1）根据反比例函数的第一象限，得出，即可求解；
（2）①过点作轴于，证明，得出，则矩形的面积等于平行四边形的面积，即，即可求解；
②根据题意，平行四边形的面积为，，得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数在第一象限，
，
，
故答案为：；
（2）①过点作轴于，

四边形是平行四边形，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
矩形的面积等于平行四边形的面积，
，
反比例函数解析式为；
②平行四边形的面积为，，即，
，
，．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，反比例函数的几何意义，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．