2022-2023学年北京市海淀区中国人民大学附属中学高二下学期期中数学复习试题（二）含解析

2022-2023学年北京市海淀区中国人民大学附属中学高二下学期期中数学复习试题

一、单选题

1．已知{}是等差数列，且，则=（   ）

A．2 B．0 C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.

【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，即，解得.

所以，所以.

故选：B

2．在的展开式中，常数项为（    ）

A．15 B． C．30 D．

【答案】A

【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解.

【详解】，

令，得，

所以常数项是.

故选：A

3．已知函数，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．1 D．-1

【答案】D

【分析】对原函数求导得，再把代入，即可求解.

【详解】函数，

，

.

故选：D.

4．在数列中，，，则的值为（    ）

A． B．5 C． D．3

【答案】A

【分析】根据递推关系可判断数列为周期数列，从而可求.

【详解】，，，，数列是以3为周期的数列，

，

故选：A

5．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（    ）

A．36 B．64 C．72 D．81

【答案】A

【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可.

【详解】4名同学分成1，1，2三组：

三组去三个不同的小区：

所以全部的种类数：；

故选：A.

6．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间上，是增函数

B．当时，取到极小值

C．在区间上，是减函数

D．在区间上，是增函数

【答案】D

【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;

对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.

【详解】对A，由导函数图象知，在时，，递减，A错；

对B，时，取得极大值（函数是先增后减），B错；

对C，时，，递增，C错；

对D，时，，递增，D正确．

故选：D.

7．若直线与曲线相切，则（    ）

A．1 B．2 C．e D．

【答案】B

【分析】设切点，则由导数的几何意义可得，解方程组可得.

【详解】设切点坐标为，.

则，解得.

令，则，

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以，所以方程的根为．

故选：B.

8．下列区间是函数的单调递减区间的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案.

【详解】由已知得，

A.当时，，所以，是单调递增函数，错误；

B. 时，，，是单调递减函数，正确；

C. 时，，所以，是单调递增函数，错误；

D. 时，，所以，是单调递增函数，错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了利用导数判断函数在给定区间的单调性，属于基础题.

9．在等差数列中，“，且公比”，是“为递增数列”的（   ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据等比数列的单调性结合充分不必要条件的判定即可.

【详解】当,且时,有,

所以,即为递增数列；

当为递增数列时,即对一切,有恒成立,

所以,

但且时,上式也成立,显然无法得出,且.

则“,且公比”是“为递增数列”的充分必要条件.

故选：A.

10．新冠疫情影响经济发展，特别是对个体企业的冲击较大，某银行为响应国家号召，扶持个体企业的发展，对小微企业实行贴息贷款，若该银行月贷款利率由原来的0.5%下降到0.35%，那么请你根据所学知识估算，该银行的年贷款利率下降了多少个百分点（    ）

A．1.5 B．1.8 C．2.0 D．2.2

【答案】B

【分析】先求出月利率的下降百分点，再乘以即可得解.

【详解】该银行月贷款利率由原来的0.5%下降到0.35%，

则月利率下降了，

所以该银行的年贷款利率下降了个百分点.

故选：B.

二、填空题

11．曲线在处的切线的方程为______.

【答案】

【分析】求导得切线的斜率，由点斜式即可求解直线方程．

【详解】，∴，因此切线的斜率为；

又，∴f(x)在处的切线方程为，即．

故答案为：．

12．在等比数列中，，，则其前5项的和的值为________.

【答案】/

【分析】根据等比数列的性质可得公比与首项，进而求得通项公式与即可.

【详解】因为，

所以，

所以，即，

所以，

故.

故答案为：

13．已知，则的值等于______.

【答案】

【分析】分别令和，再将两个等式相加可求得的值.

【详解】令，则；

令，则，上述两式相加得，故

故答案为：.

14．定义方程的实数根叫做函数的“点”，若函数，，的“点”分别为，则的大小关系为___________.

【答案】

【分析】先根据函数的新定义分别求出，，，然后再比较大小

【详解】由，得，所以由题意得，解得.

由，得，

所以由题意得，

令，（），则，

所以在上递增，

因为，，

所以存在，使，所以，

由，得，

所以由题意得，解得.

所以，

故答案为：

15．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数，考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：

①这8个数列中最多有3个等比数列；

②若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；

③若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列.

其中所有正确结论的序号是__________.

【答案】①②

【分析】①. 由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9，从而可判断；②.由，可判断；③举反例即可判断.

【详解】①. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9.

由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上.

所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故正确

②. 若三个数成等差数列，则.

根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数相同. 则只能是

由

则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为时满足条件;

中心数为其他数时，不满足条件.故②正确.

③. 若第一行为；第一列为，满足第一行、第一列均为等比数列.

第二行为，第二列为，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故③不正确

故答案为：①②

三、解答题

16．设公差不为0的等差数列的前n项和为，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可；

（2）列出通项公式，根据通项求出的前n项和，再根据通项求出的前2n项和，两式相减解得的通项公式，最后分组求和求出数列的前n项和.

【详解】（1），设公差为d，首项为

，因为公差不为0，所以解得，

，数列的通项公式为，.

（2）

    ①

    ②

得，解得

17．直角中，，，是边的中点，是边上的动点（不与重合）.过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，使得平面平面，且得到四棱锥.设.

(1)求四棱锥的体积，并写出定义域；

(2)求的最大值.

【答案】(1)，

(2)当时，.

【分析】（1）先证得为四棱锥的高，再利用棱锥体积公式即可得到答案；

（2）对（1）问的解析式求导，利用导数得到其最值即可.

【详解】（1）因为在直角中，，所以，

又，所以,翻折后垂直关系不变，故

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，故为四棱锥的高，

则，，，则，

，.

（2），，

令，解得(舍)或,

当,函数单调递增,

当,函数单调递减,

所以当时,函数取得最大值，

则体积最大值为.

18．设函数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求函数的单调区间；

(3)当时，求零点的个数.

【答案】(1)；

(2)答案见解析；

(3)2个零点.

【分析】（1）求出导数，代入切点坐标，求出对应切点斜率，利用点斜式即可求出切线方程；

（2）求出导数零点，分类讨论零点在不同区间时的取值范围，由此求出单调区间；

（3）根据导数求出的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出零点的个数.

【详解】（1），，则，

根据方程点斜式可得：.

（2），令，解得，

因为，所以：

当，即时，在区间，，单调递减；

当时，在区间，，单调递增，

在区间，，单调递减；

综上所述：当时，在单调递减；

当时， 在单调递增，在单调递减.

（3）由（2）可知，当时，在单调递增，在单调递减，

其中，令，

，因为，所以，此时单调递减，

，所以，

因为，且 ，所以在存在一个零点，

因为，所以在存在一个零点，

故当时，有2个零点.

四、单选题

19．若函数在上有极值点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对函数进行求导，由于函数有极值点即有变号零点，根据导函数的单调性列出不等式解出即可.

【详解】因为，所以，

因为在上恒成立，所以在上为减函数，

所以，解得，

故选：A.

20．已知数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用裂项相消求出，再将恒成立问题转化为最值问题，进而求出结果.

【详解】由，

得，

因为对任意的，不等式恒成立，

所以，

解得或.

故选：.

21．对于二项式，四位同学作出了四种判断：

①在展开式中没有常数项；        ②在展开式中存在常数项；

③在展开式中没有x的一次项；    ④在展开式中存在的一次项

上述判断中正确的是（    ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④

【答案】D

【分析】根据展开式的通项公式即可作出判断.

【详解】根据二项式定理得

因为，所以为，故在展开式中没有常数项，①正确、②错误；

当时，展开式中的x为一次项，③错误，④正确.

故选：D.

22．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，求导数确定函数的单调性与取值情况，即可作出的大致图象，将函数的零点个数转化为函数函数的图象与直线的图象交点个数，分析函数与直线情况，即可得实数a的取值范围.

【详解】令，，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

当时，，当趋向正无穷时，趋向正无穷，故作出的大致图象，如图所示．

由题知函数恰有2个零点，即函数的图象与直线的图象恰有2个交点，

易知点为与直线的公共点，又曲线在点处的切线方程为，

所以当，直线与与曲线有2个交点；

当时，直线与曲线有2个交点．

综上所述，实数的取值范围为．

故选：C．

五、填空题

23．设公差不为零的等差数列的前项和为；，则_________________.

【答案】

【分析】设等差数列的公差为利用基本量代换求出，进而求解.

【详解】设等差数列的公差为，，

∵，∴，解得：，，

∴，∴，

∴．

故答案为：．

24．已知函数，则方程的解的个数为______________.

【答案】3

【分析】分区间计算方程，根据方程的跟的数量即可判断解的个数.

【详解】当时，，令可得或，

解得或，

因为，所以当时，的解有2个；

当时，，令可得，

设，则，令，解得，

故在单调递增，单调递减，

其中，在无零点，

，在有一个零点，

即当时，的解有1个；

综上方程的解的个数为：3.

故答案为：3.

25．已知，且，则实数的最小值为_________________.

【答案】

【分析】先将，转化为，再利用函数在上单调递增，可得，进而转化为，再利用导数求出函数的最小值即可.

【详解】由，得，

令，则，

，所以函数在上单调递增，

所以，

则，

，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取得最小值，

即实数的最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：将，转化为，再利用函数在上单调递增，得是解决本题的关键.

六、解答题

26．已知实数数列满足：.

(1)若，，求，的值；

(2)试判断：的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；

(3)若数列中的各项均不为0，记前2022项中值为负数的项个数为m，求m所有可能的取值.

【答案】(1)，

(2)的项不可能全是正数，也不可能全是负数；

(3)

【分析】（1）根据递推公式计算可得；

（2）假设数列的项都是正数，则，，与假设矛盾；假设数列的项都是负数，则，与假设矛盾，由此能证明的项不可能全是正数，也不可能全是负数；

（3）存在最小的正整数满足，（），数列是周期为的数列，由此能求出结果。

【详解】（1）解：因为，，，所以，

所以，

所以，解得，

所以；

（2）证明：假设数列的项都是正数，即，，，

所以，，与假设矛盾，

故数列的项不可能全是正数，

假设数列的项都是负数，则，而，与假设矛盾，

故数列的项不可能全是负数，

所以的项不可能全是正数，也不可能全是负数；

（3）解：由（2）可知数列中项既有负数也有正数，

且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．

因此存在最小的正整数满足，．

设，，

则，，，，，，，，，

故有，即数列是周期为9的数列，

由上可知，，， 这9项中，，为负数，，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数，

因为，

所以当时，即或；

记，，，这项中负数项的个数，

当，3，4 时，若，则，故为负数，

此时，；

若，则，故为负数．

此时，，

综上可知的取值集合为．