【期末常考压轴题】湘教版八年级数学下册-专题16 能力提升专题：一次函数的综合与新定义函数压轴题七种模型 全攻略讲学案

专题16 能力提升专题：一次函数的综合与新定义函数压轴题七种模型全攻略 【考点导航】 目录 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31501" 【典型例题】  PAGEREF _Toc31501 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc10988" 【考点一 一次函数中平移问题】  PAGEREF _Toc10988 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc20615" 【考点二 一次函数图象与性质】  PAGEREF _Toc20615 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc4163" 【考点三 一次函数两直线共存问题】  PAGEREF _Toc4163 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc3800" 【考点四 一次函数中的规律探究问题】  PAGEREF _Toc3800 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc11117" 【考点五 一次函数——分段函数】  PAGEREF _Toc11117 \h 22  HYPERLINK \l "_Toc22429" 【考点六 绝对值的一次函数】  PAGEREF _Toc22429 \h 29  HYPERLINK \l "_Toc11379" 【考点七 新定义一次函数】  PAGEREF _Toc11379 \h 35  【典型例题】 【考点一 一次函数中平移问题】 例题：（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，把直线沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，且直线分别与轴、轴交于点C、D． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线对应的函数表达式为：，将点、代入，待定系数法求解析式即可； （2）根据一次函数的平移规律得出直线对应的函数表达式为：，求得，根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】（1）设直线对应的函数表达式为：， 将点、代入，得。 ， 解得：。 ∴直线对应的函数表达式为 （2）把直线：沿轴向下平移3个单位长度，得到直线， ∴直线对应的函数表达式为：， ∵直线分别与轴、轴交于点C、D． 令，得，令，得， ∴. ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·全国·八年级专题练习）已知直线，直线与直线关于轴对称，将直线向下平移6个单位得到直线，则直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直线与直线关于轴对称，求出直线的解析式，再根据一次函数图象平移，求出直线，再联立，的解析式，求解即可． 【详解】解：设直线与y轴与x轴的交点为点A、B， 令，则， ∴； 令，则， ∴； 直线与直线关于轴对称， ∴点关于轴对称， 设直线的解析式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴直线：， 将直线向下平移6个单位得到直线， 则， 联立与的解析式，得 ， 解得：， ∴直线与直线的交点坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，两直线的交点，熟练掌握一次函数图象的平移，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键． 2．（2023春·全国·八年级专题练习）若点在直线上，把直线的图像向上平移2个单位，所得的直线表达式为______． 【答案】 【分析】把点代入中，确定直线的解析式，再运用直线的平移规律计算即可． 【详解】点代入中，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴的图像向上平移2个单位得到的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解析式与点的坐标的关系，直线平移的规律，熟练掌握直线平移的规律是解题的关键． 3．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为___________． 【答案】8 【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长，的长，从而可以求得矩形的面积． 【详解】解：如图所示，过点、分别作的平行线，交、于点、． 由图象和题意可得，，，， 则，， 矩形的面积为． 故答案为：8． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 4．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线平移到直线，直线与轴交于点，点与点，点与点分别是平移前后的对应点，若线段在平移过程中扫过的图形面积为，求点的坐标． 【答案】 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点可求的坐标，根据平移的性质，可得四边形是平行四边形，根据线段在平移过程中扫过的图形面积为，可得点的坐标，由此可知点的平移规律，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 对于直线，令， ∴， 令， ∴， ∴，， ∴，． ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 又∵点向下平移个单位，向左平移个单位得到， ∴点向下平移个单位，向左平移个单位得到， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的变换，理解并掌握一次函数平移的特点，平行四边形的性质是解题的关键． 【考点二 一次函数图象与性质】 例题：（2023·山西晋城·校联考模拟预测）已知一次函数，则下列描述不正确的是（    ） A．图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与y轴正半轴有交点 D．图象经过点 【答案】D 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得一次函数的图象与y轴正半轴有交点，图象不经过点，根据一次函数图象与系数的关系可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，再根据一次函数的性质可得y随x的增大而增大． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，故A正确； ∵， ∴y随x的增大而增大，故B正确； ∵时，， ∴一次函数的图象与y轴的交点为：，故C正确； 当时，， ∴∴一次函数的图象经过点，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入直线解析式即得出答案． 【详解】解：当时，， ∴直线一定经过点． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数与x轴的交点问题．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键． 2．（2023春·重庆江北·八年级重庆十八中校考期中）对于函数，下列结论正确的是（    ）． A．它的图像必经过点 B．它的图像经过第一、二、三象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据一次函数图像的性质逐项分析即可解答． 【详解】解：A、当时，，故A选项错误； B、根据知，函数经过一、二、四象限，故B选项错误； C、当时，，则，故C选项符合题意； D、选项，，故y随着x的增大而减小，故D选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的图像的性质，掌握运用一次函数的解析式判断图像的增减性、经过的象限以及经过的点是解决问题的关键． 3．（2023春·全国·八年级专题练习）已知直线（m为常数，且）．当m变化时，下列结论正确的有（    ） ①当时，图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小；③直线必过定点；④坐标原点到直线的最大距离是 A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：当时，， 此时一次函数，经过一、三、四象限，故①正确； 对于直线（m为常数，且）来说，当时，即时，y随x的增大而增大；故②错误； 当时，， ∴直线必过定点；故③正确； 设原点到直线的距离为d， ∵由③知直线必过定点， 设点， ∴， ∴坐标原点到直线的最大距离是．故④正确． ∴正确的有：①③④， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 4．（2020·山东泰安·统考一模）已知定点M（x1，y1）、N（x2，y2）（x1＞x2）在直线y＝﹣x+2上，若t＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则下列结论一定正确的是（　　） ①y＝tx是正比例函数；       ②y＝（t﹣1）x+t是一次函数； ③y＝（t+1）x+1是一次函数； ④函数y＝tx﹣2x中y随x的增大而减小． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】先根据一次函数的增减性得出y1＜y2，从而结合已知条件得出t为定值且为负数，然后根据正比例函数的定义，一次函数的定义及其增减性判断每一种说法，即可得出正确结论． 【详解】解：∵直线y＝﹣x+2的比例系数﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵定点M(x1，y1)、N(x2，y2)(x1＞x2)在直线y＝﹣x+2上， ∴y1＜y2， ∴t＝(x1﹣x2)•(y1﹣y2) ＝(x1﹣x2)•(-x1+2 +x2-2) ＝-(x1﹣x2)2＜0且是定值． ∵t≠0且t为常数， ∴y＝tx是正比例函数．故①正确； ∵t＜0且t为常数， ∴t﹣1为常数， ∴y＝(t﹣1)x+t是一次函数．故②正确； ∵t＜0， ∴当t＝﹣1时t+1＝0，此时y＝(t+1)x+t不是一次函数．故③错误； ∵t＜0， ∴t﹣2＜0， ∴函数y＝tx﹣2x即y＝(t﹣2)x中y随x的增大而减小．故④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，一次函数的定义及其增减性，难度中等．根据条件得出t为定值且为正数是解题的关键． 5．（2023春·全国·八年级专题练习）关于x的一次函数，下列说法错误的是（    ） A．若函数的图象经过原点，则 B．若，则函数的图象经过第一、二、四象限 C．函数的图象一定经过点 D．当函数的图象经过第一、三、四象限时，m的取值范围是 【答案】D 【分析】A．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值；B．代入，利用一次函数图象与系数的关系可得出当时函数图象经过第一、二、四象限；C．将一次函数解析式变形为，进而可得出无论为何实数，函数图象总经过；D．根据当函数的图像经过第一、三、四象限时，可知，，可得m的取值范围． 【详解】解：A．∵函数图象经过原点， ∴， ∴，选项A不符合题意； B．当时，一次函数解析式为， ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意； C．∵一次函数解析式为，即， ∴无论为何实数，函数图象总经过，选项C不符合题意． D．∵函数的图像经过第一、三、四象限时， ∴，， ∴，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 6．（2023春·全国·八年级专题练习）关于一次函数，下列说法中正确的是（    ） A．该函数的图像一定不经过第一象限 B．当时，若x的取值增加2，则y的值也增加2 C．该函数的图像向下平移3个单位后一定经过坐标原点 D．若该函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积是，则 【答案】C 【分析】根据一次函数的图像和性质，一次函数图像的平移，与坐标轴的交点行一一分析． 【详解】解：一次函数，当时，， ∴图像经过， ∴图像一定经过第一象限，故A错误，不合题意； 当时，， 若x的取值增加2，则，即y值增加4，故B错误，不合题意； 该函数的图像向下平移3个单位后，得，为正比例函数， 则必经过原点，故C正确，符合题意； 在中，令，则，令，则， ∴函数图像与坐标轴的交点为，， ∴，解得：或，故D错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数图像的平移，与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握这些知识点，对选项作出判断． 7．（2023春·全国·八年级专题练习）规定：是一次函数（、为实数，）的“特征数”，若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则下列关于一次函数的结论不正确的是（  ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为4 D．若两点，在该函数图象上，则 【答案】D 【分析】根据“特征数”是的一次函数是正比例函数，求出，得出，根据一次函数的性质，判断A、D选项即可；求出直线与x轴、y轴的交点坐标，即可判断B、C选项． 【详解】解：∵“特征数”是的一次函数是正比例函数， ∴， 解得：， ∴一次函数； A．∵，， ∴一次函数图象过一、二、四象限，不经过第三象限，故A正确，不符合题意； B．把代入得：，解得：， ∴函数的图象与轴的交点坐标是，故B正确，不符合题意； C．把代入得：， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是， ∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：，故C正确，不符合题意； D．∵， ∴y随x的增大而减小， ∵，在该函数图象上，， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数的解析式，解题的关键是根据题目中给出的信息，求出m的值，得出一次函数解析式． 8．（2021春·浙江杭州·八年级期末）对于一次函数 （a，b为常数，且），有以下结论： ①若时，一次函数图象过定点； ②若，且一次函数图象过点，则； ③当，且函数图象过一、三、四象限时，则； ④若，一次函数的图象可由向左平移1个单位得到； 正确的说法有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①解析式变形后即可判断；②解析式变形后代入（1，a），求得a的值即可判断；③根据一次函数的性质即可判断；④根据平移的规律即可判断． 【详解】解：①若b=3-2a时，则y=ax+3-2a=a（x-2）+3， ∴一次函数图象过定点（2，3），故结论①正确； ②若b=3-2a，则y=ax+3-2a， ∵一次函数y=ax+b图象过点（1，a）， ∴a=a+3-2a，解得a=，故结论②正确； ③当a=b+1时，则b=a-1， ∴y=ax+a-1， ∵函数图象过一、三、四象限， ，解得0＜a＜1，故结论③错误； ④若b=2-a，则y=ax+2-a=a（x-1）+2， ∴一次函数y=ax+b的图象可由y=ax+2向右平移1个单位得到，故结论④错误； 故正确的结论有①②， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 9．（2023春·八年级课时练习）已知一次函数（为常数且）． （1）该一次函数恒经过点，则点的坐标为___________； （2）当时，函数有最大值8，则的值为___________． 【答案】 2或 【分析】（1）把原解析式变形为，可得当时，，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，， ∴点的坐标为； 故答案为： （2）当时，y随x的增大而增大， ∵当时，函数有最大值8， ∴当时，， ∴， 解得：； 当时，y随x的增大而减小， ∵当时，函数有最大值8， ∴当时，， ∴， 解得：； 综上所述，k的值为2或． 故答案为：2或 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【考点三 一次函数两直线共存问题】 例题：（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）已知一次函数和，则函数和的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图形的性质，结合和的图象，即可得到答案． 【详解】解：由解析式与图象可得，两个函数的交点的横坐标为， ①当，则，，、的图象都经过一、三、四象限， 故此时D符合题意； ②当，则，，、的图象都经过一、二、四象限， 此时都不符合题意； ③当，则，，的图象都经过一、二、三象限，的图象都经过二、三、四象限， 此时都不符合题意； ④当，则，，的图象都经过二、三，四象限，的图象都经过一、二、三象限， 此时都不符合题意； 满足题意的只有D． 故选D． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟记一次函数的图象，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：A、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，故不合题意； B、，，则经过一、三、四象限，经过一、三象限，故不合题意； C、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，故符合题意； D、若，，则经过二、三、四象限，经过一、三象限，故不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 2．（2022秋·山西晋中·八年级统考期中）下列图中，表示一次函数与正比例函数（其中、为常数，且）的大致图像，其中表示正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图像与系数的关系，由函数图像分析可得a、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图像即可解答． 【详解】解：A.由一次函数图像可知，则；正比例函数的图像可知不矛盾，故此选项正确，符合题意； B. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； C. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； D. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像，一次函数的图像有四种情况：①当，函数的图像经过第一、二、三象限；②当，函数的图像经过第一、三、四象限；③当时，函数的图像经过第一、二、四象限；④当时，函数的图像经过第二、三、四象限． 3．（2023春·全国·八年级专题练习）一次函数与（k，b是常数，且）在同一坐标系中的大致图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项正确； C、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； D、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象． 【考点四 一次函数中的规律探究问题】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则A4的坐标是_____；的坐标是 _____． 【答案】 （7，8） （2n-1-1，2n-1） 【分析】由题意可得A1，A2，A3，A4的坐标，可得点A坐标规律，即可求解． 【详解】解：由题意可得正方形OA1B1C1边长为1， 正方形A2B2C2C1的边长为2， 正方形A3B3C3C2的边长为4， … 正方形AnBnCnCn-1的边长为2n-1， ∴A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8），…，An（2n-1-1，2n-1）， 故答案为：（7，8），（2n-1-1，2n-1）． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式训练】 1．（2023春·八年级单元测试）正方形、、；…按如图放置，其中点、、，…在x轴正半轴上，点、、…在直线上，依此类推，其中的坐标 ___________，点的坐标是 ___________． 【答案】 【分析】先根据直线的解析式以及正方形的性质，设的坐标是，再根据，得出一元一次方程，解出即可得出的坐标，然后分别得出，…的坐标，据此得出点的坐标规律，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点在直线上， ∴设的坐标是， ∴， 解得：， ∴的坐标是， ∴点的坐标为， ∵是正方形， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 同理，， 可得点的坐标为， 依此类推，， ∴的坐标为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，正方形的性质以及坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键． 2．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上且按此规律，过点作x轴的垂线分别与直线交于点连接，记的面积分别为则_____． 【答案】 【分析】当时，先求出，再计算出，，， ，，，，得到公式，代入计算即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ， ∴，，， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，明确题意，准确得到规律，是解题的关键． 3．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…．在x轴正半轴上，点，，，…，在直线上．已知点，且，，，…均为等边三角形． （1）线段的长度为_________； （2）点的坐标为_________； （3）线段的长度为_________． 【答案】 （22021，0） 【分析】设等边△BnAnAn+1的边长为an，由y=x得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，从而得出BnBn+1=an，设An的坐标为（an，0），由点A1的坐标为（1，0），得到a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，an=2n-1．即可求得A2022的坐标B1B2=a1=，B2021B2022=a2020=×22020=22020． 【详解】解：设等边△BnAnAn+1的边长为an， ∵点B1，B2，B3，…是在直线y=x（x≥0）上的第一象限内的点， ∴∠AnOBn=30°， 又∵△BnAnAn+1为等边三角形， ∴∠BnAnAn+1=60°， ∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°， ∴BnBn+1=OBn=an， ∵点A1的坐标为（1，0）， 设An的坐标为（an，0）， ∴a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…， ∴an=2n-1． ∴A2022（22021，0）． ∴B1B2=a1=，B2021B2022a2021=×22020=22020． 故答案为：B1B2=a1=，A2021A2022=22020，2021B2022a2021=×22020=22020． 【点睛】本题考查了坐标规律变换，一次函数的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形边的特征找出边的变化规律AnAn+1=an=2n-1． 【考点五 一次函数——分段函数】 例题：（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： （1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： （2）根据函数图象，以下判断该函数 性质的说法，正确的有　 　． ①函数图象关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变． （3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝　 　． 【答案】（1）见解析；（2）②③；（3） 【分析】（1）根据所给的函数解析式填表，然后描点连线即可得到答案； （2）根据函数图像进行逐一判断即可； （3）根据函数图像可知，只有当直线经过点（3，2）时，才满足题意，由此求解即可． 【详解】解：（1）列表如下： 函数图像如下图所示： （2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于y轴对称，故①错误； 观察函数图像可知，此函数没有最小值，故②正确； 观察图像可知当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变，故③正确； 故答案为：②③； （3）∵直线与函数只有一个交点， ∴根据函数图像可知，只有当直线经过点（3，2）时，才满足题意， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像与性质． 【变式训练】 1．（2020·吉林松原·八年级期末）已知函数， （1）该函数图象与轴交点的纵坐标是 ； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）若点是该函数图象上一点，点的坐标是．当的面积为时，求点的坐标； （4）当直线与该函数图象有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）点 或；（4）且 【分析】（1）令x＝0，求得y＝3，即可求解； （2）根据两点法画出函数图像； （3）分两种情况讨论：设点P（m，m−3），当m＞3时，×AO×（m−3）＝6；当m＜3时，×AO×（3−m）＝6，分别求出m即可求解； （4）当直线y＝kx＋1与y＝x−3平行时，k＝1，所以k＜1时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点；当直线y＝kx＋1经过点（3，0）时，3k＋1＝0，所以k＞时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点，即可求出k的取值范围． 【详解】解：（1）解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴函数图象与y轴的交点为（0，3）， ∴函数图象与轴交点的纵坐标是：3， 故答案是：3； （2）如图： （3）当时，设点 ， ∵的面积 ∴，解得：， ∴点 ；     同理，当 时，点 ；     综上， 或 ； （4）当直线y＝kx＋1与y＝x−3平行时，k＝1，此时直线y＝kx＋1与函数有一个交点， ∴k＜1时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点， 当直线y＝kx＋1经过点（3，0）时，3k＋1＝0， ∴k＝， ∵直线y＝kx＋1经过点（0，1）， ∴k＞， ∴k＞时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点， ∴＜k＜1且k≠0直线y＝kx＋1与函数有两个交点． 【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握两点法画函数图象，数形结合解题是关键． 2．（2021·辽宁大连·八年级期末）已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当时，若点在图象G上，求n的值； （2）当时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值； （3）已知点，，，当图象G与有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）-5；（2）；（3）， 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）根据一次函数的图像的性质，分类讨论①当时，②当时，③当时，根据一次函数的定义分别求得最大和最小值，再求其差为，从而求得m的值； （3）设,，分类讨论①当经过点时，求得的最小值， ②当经过点时，③当与线段有交点时，④当经过点的时，⑤如图，当经过点时，分别判断图象G与的交点个数，得出符合题意的m的取值范围． 【详解】解：（1）当时，函数 ∵点在图像G上 ∴当时，． （2）①当时，即时，对于函数，随着x的增大y也增大． ∴当时，函数有最小值． 当时，函数有最大值． ∴． ∴当时，不存在m值使最大值与最小值的差为． ②当时，即时，对于函数，随着x的增大，y反而减小． ∴当时，函数有最小值． 当时，函数有最大值． ∴，故当时，不存在m值使最大值与最小值的差为． ③当时，即时，图象G从左到右先上升，再下降，即随着x的增大y值先增大，再减小，当时有最大值． 当时，，当时，． ⅰ当时，． ⅱ当时，． ∴时，当时，函数最大值与最小值的差为． 综上述：． （3）设, ①如图，当经过点时， 图象G与有一个公共点， 将代入，得： 解得 ②当经过点时，将点代入 解得 当时，当图象G与有两个公共点 如图，当时，即，也经过点 此时，当图象G与有两个公共点 ③当与线段有交点时， 将点代入，得 此时与交于点 当继续增大时，图象G与有四个公共点， 分别与线段各有一个交点，与线段各有一个交点； ④如图，当经过点的时，将代入 解得： 此时分别与各有一个交点，此时图象G与有三个公共点 当继续增大时，图象G与有两个公共点 ⑤如图，当经过点时，图象G与有一个公共点，此时可以求得的最大值 将代入，得： 解得： 综上所述，当图象G与有两个公共点时，或． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数图像与性质等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键． 【考点六 绝对值的一次函数】 例题：（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）小慧根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小慧的探究过程，请补充完成： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____； (3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)函数的最小值为____________． (5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________． 【答案】(1)任意实数 (2)2 (3)见解析 (4)0 (5)x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可） 【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论； （2）把x=-1代入函数解析式，求出y的值即可； （3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （4）根据函数图象即可得出结论． （5）根据函数图象解答即可． （1） ∵x无论为何值，函数均有意义， ∴x为任意实数． 故答案为：任意实数； （2） ∵当x=-1时，y=|-1-1|=2， ∴b=2． 故答案为：2； （3）如图， （4） 由函数图象可知，函数的最小值为0． 故答案为：0． （5） x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【变式训练】 1．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是x与y的几组对应值． m的值为 ； (3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质． 【答案】(1)任意实数 (2)1 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围； （2）根据函数解析式可以得到m的值； （3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （4）根据函数图象可以写出该函数的性质． （1） 解：在函数y=|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数， 故答案为：任意实数； （2） 解：当x=-2时，m=|-2+1|=1， 故答案为：1； （3） 解：描点、连线，画出函数的图象如图： ； （4） 解：由函数图象可知， ①函数有最小值为0； ②当x＞-1时，y随x的增大而增大； ③图象关于过点（-1，0）且垂直于x轴的直线对称．（任写两条即可） 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 2．（2022·湖北襄阳·八年级期末）请根据学习函数经验，对函数的图象与性质进行探究． (1)在函数中，自变量x的取值范围是_________． (2)下表是x与y的对应值： ①________； ②若为该函数图象上不同的两点，则__________﹔ (3)在如图的直角坐标系中： ①描出上表中各对对应值的坐标的点，并根据描出的各点，画出该函数的大致图象； ②根据函数图象可得，该函数的最小值为__________； ③结合函数图象，写出该函数除②外的一条性质：____________． 【答案】(1)x的取值范围是全体实数 (2)①﹐② (3)①见解析；②1；③函数关于y轴对称 【分析】（1）没做要求一次函数自变量取值范围都是全体实数 （2）①把x=0代入函数即可求得m的值 ②y=10代入函数即可求得n （3）①作图见解析 ②由图可见最小值为1 ③言之有理即可． 【详解】解：（1）自变量x的取值范围是全体实数； （2）①﹐②﹔ （3）①图象如图所示． ②最小值为1； ③函数关于y轴对称 （或当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小） 【点睛】本题考查一次函数的性质和自变量、应变量的变化取值，掌握这些是本题关键． 3．（2021·河南许昌·八年级期末）我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y＝|x|的图象与性质． （1）我们知道，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象； （2）通过观察图象，写出该函数的一条性质：　　； （3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象． 【答案】（1）见解析；（2）当x＞0时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（3）由函数y＝|x|向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的，见解析． 【分析】（1）通过列表、描点、画图，在平面直角坐标系中画出函数的图象： （2）根据图象得出结论； （3）根据平移的性质即可求得． 【详解】解：（1）列表： 描点、连线画出函数的图象如图： （2）由图象可知，当时，随的增大而增大（答案不唯一）， 故答案为当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）函数是由函数向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的， 利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数图象如图所示． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形变换平移，能根据图象得出正确信息是解此题的关键． 【考点七 新定义一次函数】 例题：（2022·江苏南通·八年级期中）对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应函数值相等，我们称这样的两个函数互为“和谐函数”． 例如，一次函数，它的“和谐函数”为． (1)一次函数的“和谐函数”为______； (2)已知点的坐标为，点的坐标为，函数的“和谐函数”与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据“和谐函数”的定义即可求得； （2）先求出函数y=3x-2的“和谐函数”，然后求出y=4时的x值，再根据题意可得不等式组−