【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题11 旋转中的几何模型归类（3大类型）

专题11 旋转中的几何模型归类（3大类型）

类型一：“手拉手”模型

模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。

模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。

如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE

如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC

类型二： “半角”模型

模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼 出特殊角”

模型说明：

（1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG可证▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF

（2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN²

（3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA的度数得到▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。

类型三：  构造旋转模型解题

 方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形.

常见图形旋转：

（1）“等边三角形”的旋转

方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．

【考点1 “手拉手”模型】

【典例1】（2021春•西安期末）如图，在△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD，以AB为边向外作等边△ABE，连接CE、BD．

（1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长；

（2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长．

【变式1-1】（2021秋•荔湾区校级期中）以△ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF．

（1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由．

（2）利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．

【变式1-2】（2021九上·吉林期末）如图①，在中，，，点D，E分别在边，上，且，此时，成立．

（1）将绕点C逆时针旋转时，在图②中补充图形，并直接写出的长度；

（2）当绕点C逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；

（3）将绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出的长度．

【考点2  “半角”模型】

【典例2】（2017秋•锦江区期末）在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点．

（1）如图1，当∠BAC＝90°，∠EAF＝45°时，直接写出线段BE，CF，EF的数量关系；（不必证明）

（2）如图2，当∠BAC＝60°，∠EAF＝30°时，已知BE＝3，CF＝5，求线段EF的长度；

（3）如图3，当∠BAC＝90°，∠EAF＝135°时，请探究线段CE，BF，EF的数量关系，并证明．

【变式2-1】（2021春•金牛区校级期中）类比探究：

（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）

（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝BE2+FC2；

（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．

【变式2-2】（2022春•西山区校级月考）如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：△EDF≌△MDF；

（2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？

【变式2-3】（2022春•路北区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．

（1）求证：GE＝FE；

（2）若DF＝3，求BE的长为 　 　．

【变式2-4】（2021秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

任务：

如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的∠EAF＝60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

【考点3  构造旋转模型解题 】

【典例3】（2017九上·江津期中）请阅读下列材料：

问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB= ，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为 ，问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

【变式3-1】（2020九上·南昌月考）如图，在等边三角形 内有一点P，且 ， ， ，求 的度数和等边三角形 的边长． 

【变式3-2】（2021九上·德州期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．

（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝　     　AP，△CPP'是　     　三角形，AP，BP，CP三条线段的数量关系是　             　．

（2）如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．

1.（2021九上·鲅鱼圈期中） 与 都是等边三角形，连接AD、BE． 

（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则 　     　度； 

（2）将图①中的 绕着点C逆时针旋转到如图②的位置，求证： ． 

2．（2021九上·宜春期末）如图

（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：

①的度数为　     　；

②线段BE，CE与AE之间的数量关系是　         　．

（2）拓展研究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上．若，，求AB的长度．

（3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．

3.（2021秋•夏河县期中）已知△ABC为等边三角形．

（1）如图，P为△ABC外一点，∠BPC＝120°，连接PA，PB，PC，求证：PB+PC＝PA；

（2）如图，P为△ABC内一点，若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠APB的度数．

4.（2021九上·伊通期末）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：EF＝MF；

（2）若AE＝2，求FC的长．

5．（2019九上·西城期中）在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC．如果AB=AC，∠BAC=90°．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写出结论）；

②当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

6．（2022春•临渭区期末）数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，试求∠APB的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求∠APB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．

（1）在图中画出△APC绕点A顺时旋转60°后的△AP1B，并判断△AP1P的形状是 　　；

（2）试判断△BP1P的形状，并说明理由；

（3）由（1）、（2）两问可知：∠APB　    　．

7．（2022春•丹江口市期末）（1）如图1，已知，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在BC延长线上，点E在CD边上，则BE与DG的数量关系为 　   　，BE与DG的位置关系为  　　    ；

（2）将（1）中的正方形CEFG绕点C旋转至图2时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给以证明；若不成立，请说明理由；

（3）若AB＝5，CE＝，在正方形CEFG绕点C旋转一周过程中，当A，F，G三点在一条直线上时，请画出图形，并直接写出AG长．

8．（2021秋•十堰期末）正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．

（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE＝1，FC＝，求证：AE∥BF．

（2）如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试探究AE、AF、BF之间的数量关系并加以证明．

9.（2020秋•饶平县校级期末）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′．

（1）求点O与O′的距离；

（2）求∠AOB的度数．

10．（大兴安岭）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．