陕西省商洛市2023届高三下学期第一次模拟考试文科数学试卷（含解析）

陕西省商洛市2023届高三下学期第一次模拟考试文科

数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：______________

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，则复数的模为（    ）

A．2 B． C． D．

3．在等差数列中，若，则该数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

4．某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出100件进行测试，则应该抽取的A型号产品的件数为（    ）

A．20 B．30 C．50 D．80

5．设，则（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

7．在区间上随机取一个数，则事件“”的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是图象的一条对称轴；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

9．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

10．在xOy平面内，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过左顶点A且斜率为的直线与渐近线在第一象限的交点为M，若，则该双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

11．如图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个几何体的表面积为

A． B． C． D．

12．抛物线的焦点为，是上一点，若到的距离是到轴距离的两倍，且三角形的面积为（为坐标原点），则的值为

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知向量，则___________.

14．设满足约束条件则的最小值为__________.

15．请写出一个同时满足条件①②③的函数______.

①，；②函数的最小值为1；③函数不是二次函数.

16．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为_______________．

三、解答题

17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求C；

(2)若，，求的周长．

18．红旗中学高三年级共有学生1800名，在一次数学考试后，抽取了200名同学的成绩（满分150分），绘制成频率分布直方图（如图），成绩的分组区间为.

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)由样本估计总体﹑估计这次考试，年级成绩优秀（分数大于或等于120分即为优秀）人数和平均分数（用各组的中点值代替该组的平均值）.

19．如图，在直三棱柱中，，为的中点，，.

(1)证明：；

(2)求三棱锥的体积.

20．已知椭圆：的焦点为、，离心率为，直线：，、在直线上的射影分别为M、N，且.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线与椭圆C交于A、B两点，，求的面积的最大值.

21．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，，以为直径的圆与轴相切于点，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)是直线上的动点，过点作抛物线的切线，切点分别为，证明：直线过定点，并求出定点坐标．

22．已知直线l的参数方程为（其中t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的极坐标方程；

(2)若，直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求的值．

23．已知函数．

(1)求函数的最小值M；

(2)若且，求的最小值．

参考答案：

1．A

【分析】解指数不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.

【详解】解不等式得：，则，而，又，

所以.

故选：A

2．B

【分析】首先根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模即可；

【详解】解：，

所以；

故选：B

3．B

【分析】利用等差数列的求和公式与等差数列的基本性质可求得数列的前项和.

【详解】由题意可知，等差数列的前项和为.

故选：B.

4．A

【分析】根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可.

【详解】某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为，则A被抽的抽样比为，所以抽出100件产品中A型号产品的件数为，

故选：A

5．D

【分析】分别根据指数函数，对数函数和余弦函数的单调性求出取值范围即可判断.

【详解】由指数函数的单调性可知：；

由对数函数的单调性可知：；

由余弦函数的单调性可知：，

故选：.

6．A

【分析】求出函数的导函数，再求出，然后利用导数的几何意义求解作答.

【详解】函数，求导得：，则，而，

于是得：，即，

所以曲线在点处的切线方程为.

故选：A

7．A

【分析】根据余弦函数的性质解不等式，再结合几何概型求解即可.

【详解】解：因为，所以，

故所求概率.

故选：A.

8．A

【分析】利用三角函数的周期性、对称性、平移变换即可得出答案.

【详解】对于①，的最小正周期为，故①正确；

对于②，，所以②不正确；

对于③，把函数的图象上所有点向左平移个单位长度得到，所以③不正确.

故选：A.

9．C

【分析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.

【详解】连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.

故选：C.

10．B

【分析】由得出，进而由斜率公式结合离心率公式求解即可.

【详解】因为且点M在渐近线上，

由得，则，，于是.

故选：B

11．B

【详解】 由三视图可知，该几何体表示底面半径为，母线长为，

所以该几何体的表面积为，故选B.

12．B

【详解】设点 ，根据已知可知，解得：，，所以 ，解得 ，故选B.

【点睛】本题考查了抛物线的方程和几何性质，属于基础题型，抛物线的最重要的几何性质就是抛物线上任一点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样就可以得到抛物线的焦半径公式，这样抛物线的焦半径和坐标建立起联系，如果题设倾向于用平面几何知识解决问题，那有焦半径，也一定需做出到准线的距离，然后再用平面几何解决问题.

13．

【分析】利用向量夹角公式即可得到结果.

【详解】，，

，．

故答案为：

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查平面向量夹角公式，考查计算能力，属于基础题.

14．

【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．

【详解】作出可行域如图所示.

把转化为，当经过点时，

纵截距最低，最小.

当直线经过点时，取得最小值.

故答案为：.

15．（答案不唯一）

【分析】根据要求写解析式即可.

【详解】由①可得，为偶函数，再结合②③可得，可以为.

故答案为：（答案不唯一）.

16．6

【分析】根据等差数列的前项和的性质，结合二次函数性质确定最大值，即得结果.

【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以,

为开口向下的二次函数，

所以对称轴为,

因为，所以当且仅当6时， 取最大值，

故答案为：6.

17．(1)

(2)12

【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式与三角形内角的关系化简即可；

（2）根据余弦定理列式求解可得，进而可得面积.

【详解】（1）由已知及正弦定理可得，

∴．

∴，即．

∵，∴，即．

又，∴．

（2）由余弦定理得，

∴．∴，

∴．∴的周长为12．

18．(1)

(2)优秀人数有450人，平均分数为108.35分

【分析】（1）根据频率之和为1即可求解；

（2）求出样本中分数大于或等于120分的频率，从而求出人数；根据平均数公式即可求解．

【详解】（1）由题意，得，

解之，得；

（2）由频率分布直方图，得样本中，分数大于或等于120分的频率为

，

∴由样本估计总体，得高三年级这次数学考试成绩的优秀率为25%，

∴这次考试年级优秀人数为1800×25%=450，

设样本的平均分数为，

，

由样本估计总体，估计这次考试平均分数为108.35分，

∴这次数学考试，估计优秀人数有450人，平均分数为108.35分．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；

（2）由（1）可知平面，可得出，结合体积公式可求得三棱锥的体积.

【详解】（1）证明：在直三棱柱中，

平面，平面，.

又，、平面，且，平面，

又平面，.

（2）解：由（1）知平面，

.

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据射影可求出，结合离心率即可求得椭圆方程；

（2）设点坐标，联立直线与椭圆方程，使判别式大于零解得m的取值范围，求出弦长及点到直线的距离，写出面积的式子，构造新函数，求导求单调性求最值即可.

【详解】（1）解：因为直线：的斜率为-1，所以倾斜角为，

所以，即椭圆的焦距，，

由椭圆的离心率为，得，得，，

所以椭圆C的标准方程为；

（2）由消去，得，

令，

解得，设，，

则，，

所以，

而点到直线的距离为，

所以，

设，，

所以

，，

由得，，，

当时，点在直线上.故将舍去.

当变化时，和的变化情况如下表

因为，，所以，

即，故的面积的最大值为.

【点睛】方法点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于中难题，关于最值问题的方法有：

（1）设直线方程，考虑斜率存在（或为0）的情况，设出点的坐标；

（2）联立直线与圆锥曲线方程，使判别式大于零，写出韦达定理；

（3）列出题中所需式子，化简后将韦达定理代入；

（4）根据基本不等式求出最值，或构造新函数求导求单调性求最值即可.

21．(1)

(2)证明见解析，定点坐标为

【分析】（1）根据垂直关系可得，结合圆的半径可求得，由此可得抛物线方程；

（2）结合导数几何意义可利用，得到等量关系，，由此可得直线方程，由直线过定点的方法可求得结果.

【详解】（1）由抛物线方程知：，

连接，

为切点，，

又，，，．

，，解得：，

则抛物线的方程为．

（2）设，，，

由得：，，则，

化简整理可得：，即，

同理：由得：，

则点都在直线上，

即直线的方程为，

令得：，直线过定点，该定点坐标为．

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的定点问题的求解；本题求解定点的关键是能够结合导数的几何意义，利用切线斜率构造等量关系得到所满足的二元一次方程，即直线的方程.

22．(1)，；

(2).

【分析】（1）由已知可得，进而即可得出曲线C的直角坐标方程.消去参数，可得直线方程为，即可得出直线的极坐标方程；

（2）解法一：将直线的参数方程代入曲线可得，.根据韦达定理得到的关系，代入即可求解；解法二：联立直线与曲线的方程，求出交点的坐标.然后根据两点间的距离公式，求出、的值，代入即可得出结果.

【详解】（1）由曲线C的极坐标方程得，

化为直角坐标方程为．

又由直线l的参数方程得直线，

所以直线l的极坐标方程为．

（2）解法一：将直线的参数方程代入曲线可得，，

整理可得，.

设点对应的参数分别为，则是方程的两个根.

由韦达定理可得，.

所以，.

解法二：联立直线与曲线的方程可得，，

解得，.

代入可得，，.

不妨设，，则，.

所以，.

23．(1);

(2).

【分析】（1）利用零点分段法将写出分段函数的形式，画出图象，由图象可以看出函数的最小值；

（2）由（1）知，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可得的最小值.

【详解】（1）由于，作出此函数图象如图所示:

由图象可知函数的最小值为，即．

（2）由（1）知，所以，所以，

即，当且仅当时等号成立，

∴,当且仅当时等号成立．

故的最小值为.