华师大版八年级下册19.3 正方形课文内容ppt课件

这是一份华师大版八年级下册19.3 正方形课文内容ppt课件，共24页。PPT课件主要包含了学习目标，菱形的性质，四条边相等，对角线，互相垂直平分，分别平分两组对角，复习回顾，平行四边形，对边平行且相等，对角相等邻角互补等内容，欢迎下载使用。

探索并证明正方形的性质和判定定理，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
会应用正方形的性质和判定定理解决相关证明及计算问题.
具有平行四边形一切性质
平行四边形有哪些性质?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质?
矩 形
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
(1)有一组邻边相等且有一个角是直角的的平行四边形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)有一组邻边相等的矩形是正方形.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
正方形是中心对称图形,对称中心为点O.
它也是轴对称图形,有4条对称轴.
(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分.
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等.
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角.
1.正方形ABCD，对角线交于0，(1)若AB=2 ㎝，则AC=________,OA=_________,周长=______，面积=_______.(2)若OB=2 ㎝，则AC=_______,AB=__________,周长=__________，面积=__________.(3)若AC+BD=8 ㎝，则AC=_______,AB=___________,正方形面积=_________.
2.已知正方形的面积为9 cm,它的周长为 _______.
3.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了_______.
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
操作1：你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
总结：矩形+（ ）=正方形
判定方法：有一组邻边相等的矩形是正方形.
判定方法：有一个角是直角的菱形是正方形.
操作2:你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？
总结：菱形+（ ）=正方形
判定方法：有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
思考：如果是平行四边形呢？
（ ）+ （ ）+平行四边形=正方形.
例1 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形.求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵ 四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
【点睛】因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
例2 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
【点睛】在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
例3 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形 .
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，∴∠DEC= ∠DFC=90°.又∵ ∠C=90 °，∴四边形ADFC是矩形.过点D作DG⊥AB，垂足为G.∵AD是∠CAB的平分线DE⊥AC，DG⊥AB，∴ DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四边形ADFC是正方形.
例4 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
例5 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴四边形EFGH为正方形.
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
每条对角线都平分一组对角