压轴题23以圆的新定义为背景阅读材料压轴题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

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2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题23以圆的新定义为背景阅读材料压轴题

例1．（2023春•兴化市月考）如图，已知⊙O的半径为1，P是平面内一点．
（1）如图①，若OP＝2，过点P作⊙O的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，连接EF．则∠EPO＝　 　°，EF＝　 　．
（2）若点M、N是⊙O上两点，且存在∠MPN＝90°，则规定点P为⊙O的“直角点”．
①如图②，已知平面内有一点D，OD=2，试说明点D是⊙O的“直角点”．
②如图③，直线y=23x﹣2分别与x轴、y轴相交于点A、B，若线段AB上所有点都是半径为r的圆的“直角点”，求r的最小值与该圆心的坐标．



















例2．（2022秋•姜堰区期中）如图1，在平面内，过⊙T外一点P画它的两条切线，切点分别为M、N，若∠MPN≥90°，则称点P为⊙T的“限角点”．

（1）在平面直角坐标系xOy中，当⊙O半径为1时，在①P1（1，0），②P2(-1，12)，③P3（﹣1，﹣1），④P4（2，﹣1）中，⊙O的“限角点”是 　 　；（填写序号）
（2）如图2，⊙A的半径为2，圆心为（0，2），直线l：y=-34x+b交坐标轴于点B、C，若直线l上有且只有一个⊙A的“限角点”，求b的值．
（3）如图3，E（2，3）、F（1，2）、G（3，2），⊙D的半径为2，圆心D从原点O出发，以2个单位/s的速度沿直线l：y＝x向上运动，若△EFG三边上存在⊙D的“限角点”，请直接写出运动的时间t（s）的取值范围．



















例3．（2023•海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，若图形M上存在点Q，使得直线PQ经过第四象限，则称点P是图形M的“四象点”．
已知点A（﹣2，4），B（2，1）．
（1）在点P1（﹣4，﹣2），P2（﹣1，﹣2），P3（1，﹣2）中，　 　是线段AB的四象点；
（2）已知点C（t，0），D（t+4，0），若等边△CDE（C，D，E顺时针排列）上的点均不是线段AB的四象点，求t的取值范围；
（3）已知以T（-52，0）为圆心且半径为2的⊙T，若线段AB上的点P是⊙T的四象点，请直接写出点P的横坐标xP的取值范围．



1．（2022秋•泗阳县期末）概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，△ABC，⊙O经过点A，并与点A的对边BC相切于点D，则该⊙O就叫做△ABC的切接圆．根据上述定义解决下列问题：
理解应用
（1）已知，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10．
①如图2，若点D在边BC上，CD=254，以D为圆心，BD长为半径作圆，则⊙D是△ABC的“切接圆”吗？请说明理由．
②在图3中，若点D在△ABC的边上，以D为圆心，CD长为半径作圆，当⊙D是Rt△ABC的“切接圆”时，求⊙D的半径（直接写出答案）．
思维拓展
（2）如图4，△ABC中，AB＝12．AC＝BC＝10，把△ABC放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边AB落在x轴上．试说明：以抛物线y=116x2+4图象上任意一点为圆心都可以作过点C的△ABC的“切接圆”．
















2．（2022秋•平谷区期末）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD，其中A（1，0）、B（4，0）、C（4，2）、D（1，2），定义如下：若点P关于直线l的对称点P'在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线l的“关联点”，
（1）已知点P1（﹣1，2）、点P2（﹣2，1）、点P3（﹣4，1），点P2（﹣3，﹣1）中是矩形ABCD关于y轴的关联点的是 　 　；
（2）⊙O的圆心O（-72，1）半径为32，若⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，求t的取值范围；
（3）⊙O的圆心O（m，1）（m＜0）半径为r，若存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围（用含m的式子表示）．







3．（2022秋•西城区期末）给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）．
（1）在点D（﹣4，0），E（2，2），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是 　 　；
（2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，
①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围；
②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．




4．（2022秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，点P'落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．
（1）已知点A（1，1），B（3，1），C（3，2）．
①在点P1（﹣1，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点 　 　是线段AB关于原点O的“伴随点”；
②如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，求m的取值范围；
（2）⊙E的圆心坐标为（1，n），半径为1，如果直线y＝﹣x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．




5．（2022秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．
（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝　 　．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），P4(-21，-2)中，矩形AOBC的“关联点”是 　 　；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；
（3）已知点M（1，0），N(0，3)．图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T，若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．







6．（2022秋•东城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°＜∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．
（1）当⊙O半径为1时，
①在P1（2，2），P2（2，0），P3（2，1）中，⊙O的环绕点是 　 　；
②直线y＝3x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；
（2）⊙T的半径为2，圆心为（0，t），以（﹣m，33m）（m＞0）为圆心，33m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．

7．（2022秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．
（1）已知A（3，0），B（5，0），
①在点P1（6，0），P2（1，﹣2），P3（3，2）中，线段AB的融合点是 　 　；
②若直线y＝t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
（2）已知⊙O的半径为4，A（a，0），B（a+1，0），直线l过点T（0，﹣1），记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点，直接写出a的取值范围
．




8．（2022秋•北京期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN＝90°，且MP＝MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”．
（1）已知点A（0，4），B（4，4），
①在点M1（﹣2，2），M2（0，2），M3（2，2）中，是点O关于点A的“旋垂点”的是 　 　；
②若点M（m，n）是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；
（2）直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为10，圆心为T（t，0）．若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ=2，直接写出t的取值范围．


9．（2022秋•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系xOy中的⊙W上，有弦MN，取MN的中点P，将点P绕原点O顺时针旋转90°得到点Q，称点Q为弦MN的“中点对应点”．设⊙W是以W（﹣3，0）为圆心，半径为2的圆．
（1）已知弦MN长度为2，点Q为弦MN的“中点对应点”．
①如图1：当MN∥x轴时，在图1中画出点Q，并且直接写出线段OQ的长度；
②当MN在圆上运动时，直接写出线段WQ的取值范围．
（2）已知点M（﹣5，0），点N为⊙W上的一动点，设直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、点B，若线段AB上存在弦MN的“中点对应点”点Q，求出b的取值范围．






10．（2022秋•昌平区期末）已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．
（1）若C（﹣2，0）．
①点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是关于MN的“折弦点”的是 　 　；
②若直线y＝kx+3（k≠0）．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；
（2）点C在线段AB上，直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．

11．（2022春•海淀区校级月考）△ABC中，D、E分别是△ABC两边AB、AC的中点，若经过D、E的⊙M与△ABC有n个公共点（相切算一个公共点），则称⊙M为△ABC关于D、E的“中n点圆”．例如，图1中的圆是△ABC关于D、E的“中4点圆”．
（1）①如图1，则△ABC的“中n点圆”中n可以取的值为 　 　（写所有可能的值）；
②在所给图1中画出一个“中3点圆”；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，6），点B（0，0），C（4，0），⊙M为△ABC的“中n点圆”．
①当a＝0，n＝4时，求圆心M纵坐标的取值范围．
②若n＝3时，圆心M总在△ABC外，直接写出a的取值范围．


12．（2022•盐城一模）对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．

（1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，23），Q3（﹣2，23），Q4（22，﹣22）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是 　 　．
（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围．
（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．

13．（2022秋•盐都区期中）【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、QN组成折线段MQN．若点P在折线段MQN上，MP＝PQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点．

【理解应用】
（1）如图2，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO＝30°，则PB＝　 　；
【定理证明】
（2）阿基米德折弦定理：如图3，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线段ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是ABC的中点，从M向BC作垂线，垂足为D，求证：D是折弦ABC的中点；
【变式探究】
（3）如图4，若点M是AC的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】
（4）如图5，BC是⊙O的直径，点A为⊙O上一定点，点D为⊙O上一动点，且满足∠DAB＝45°，若AB＝8，BC＝10，则AD＝　 　．


14．（2022秋•慈溪市期中）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是CD的“幸运角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是BC上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是CD的“幸运角”吗？请说明理由；
（2）设CD的度数为n，请用含n的式子表示CD的“幸运角”度数；
（3）在（1）的条件下，直径AB＝10，CD的“幸运角”为90°．
①如图3，连结CD，求弦CD的长；
②当DE=72时，求CE的长．


15．（2022秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．

（1）如图1，若点M在坐标原点，点N（1，1），①点P（﹣2，0）的“对应点”Q的坐标为 　 　；②若点P的“对应点”Q的坐标为（﹣1，3），则点P的坐标为 　 　；
（2）如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N（0，2），若P（m，0）（m＞1）为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M（a，b）在第一象限时，求点Q的坐标（用含a，b，m的式子表示）；②当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为 　 　.（用含m的式子表示）

16．（2022•长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如：如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“优美三角形”．
（1）如图2，在△ABC中，BC=2AB，求证：△ABC为关于边BC的“优美三角形”；
（2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．
①求证：直线CA与⊙O相切；
②若⊙O的直径为26，求线段AB的长；
（3）已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积．


17．（2022秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2，对于点P，直线l和⊙O，给出如下定义：
若点P关于直线l对称的点在⊙O上或⊙O的内部，则称点P为⊙O关于l的反射点．

（1）已知直线l为x＝3，
①在点P1（4，0），P2（4，1），P3（5，1）中，是⊙O关于l的反射点有 　 　；
②若点P为x轴上的动点，且点P为⊙O关于l的反射点，则点P的横坐标的最大值为 　 　．
（2）已知直线l的解析式为y＝kx+2（k≠0），
①当k＝﹣1时，若点P为直线x=72上的动点，且点P为⊙O关于l的反射点，则点P的纵坐标t的取值范围是 　 　；
②点B（2，2），C（3，1），若线段BC的任意一点都为⊙O关于l的反射点，则k的取值范围是 　 　．

18．（2022•钟楼区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间
的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．
已知点E（3，0）．
①直接写出d（点E）的值；
②过点E画直线y＝kx﹣3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；
③设T是直线y＝﹣x+3上的一点，以T为圆心，2长为半径作⊙T．若d（⊙T）满足d（⊙T）＞3210+2，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围．