北师大版五年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义

第2单元 轴对称和平移

在之前的学习中，同学们已经接触过基本的图形变换，了解了轴对称和平移的概念。但之前学习的还远远不够，需要同学们对此进行更深入的学习。

1、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，那条直线就叫做对称轴。两图形重合时互相重合的点叫做对应点，也叫对称点。

2、轴对称图形的性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。

3、轴对称图形具有对称性。

4、轴对称图形的法：

（1）找出所给图形的关键点，如图形的顶点、相交点、端点等；

（2）数出或量出图形关键点到对称轴的距离；

（3）在对称轴的另一侧找出关键点的对称点；

（4）按照所给图形的顺序连接各点，就画出所给图形的轴对称图形。

5、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

6、平移的基本性质

（1）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；

（2）经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。

7、平移图形的画法

（1）确定平移的方向与距离；

（2）将关键点按所需方向平移所需距离；

（3）按原来图形的连接方式依次连接各对应点并标上相应字母。

8、运用旋转设计图案的方法

（1）选好基本图案；

（2）根据所选的基本图案确定旋转点；

（3）确定旋转度数；

（4）依次沿每次旋转后的基本图形的边缘画图。

9、运用对称设计图案的方法

（1）先选好基本图案；（2）依据基本图案的特点定好对称轴；（3）画出基本图形的对称图形。

【例1】是轴对称图形的在括号中画“√”，不是的画“×”。

【分析】依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行解答。

【解答】解：

【点评】此题主要考查轴对称图形意义的灵活运用。

【例2】观察下面物体的运动，是平移的画“△”，是旋转的画“〇”。

【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；

旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心，所以，它并不一定是绕某个轴的；

据此解答即可。

【解答】解：

【点评】此题是考查对平移与旋转的意义的理解及在实际当中的运用。

【例3】在轴对称图形下面的括号画“√”，不是轴对称图形的画“×”

【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可。

【解答】解：

【点评】判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合。

【例4】如图4只蝴蝶中，哪一只通过平移可以与右面方框中的蝴蝶重合？圈出来吧。

【分析】把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移；在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转；据此解答即可。

【解答】解：

【点评】本题主要考查平移和旋转的意义，在实际当中的运用。

【例5】将正方形纸对折后按照左边的样子剪一剪，展开后与右边哪个图形是一样的？请你圈一圈。

【分析】认真观察左边所给出的图，然后看看右边的三幅，选择通过对称轴折叠后的与左图一样的图形。

【解答】解：经分析得：

【点评】如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

一．选择题（共8小题）

1．花池的周围用正方形瓷砖拼成如图的图案，有下面几种规格的小方砖，下面说法中正确的是（　　）

A．选用甲一种规格的方砖就可拼出图案 

B．只要选用甲、乙两种规格的方砖就能拼出图案 

C．只有选用甲、乙、丙、丁四种规格的方砖才能拼出图案

2．如图中，小鱼（　　）

A．向左平移了2格 B．向右平移了5格 

C．向左平移了5格

3．如图，如果再涂一个小正方形，使涂色的图形成为轴对称图形，一共有（　　）种

不同的涂法。

A．2 B．3 C．4

4．把一张圆形纸片对折两次后，得到如图，然后沿虚线剪掉一部分，展开后是（　　）

A． B． C．

5．在方格图中，将涂有阴影的三角形向左平移4格，平移后图形的位置与（　　）的位置相同

A．图1 B．图2 C．图3 D．图4

6．下图中与所给图形成轴对称的图形是（　　）

A． B． C．

7．分别以如图三角形的三条边为对称轴，画出图形的另一半，画出的轴对称图形不可能是（　　）。

A．长方形 B．一般四边形 C．锐角三角形 D．等腰三角形

8．如图，④号蘑菇向左平移4格，得到（　　）蘑菇。

A．①号 B．②号 C．③号

二．填空题（共10小题）

9．按规律填出第5个图案：　                　．

10．如图：如果将△ABC向左平移3格，再向上平移1格则A′的位置用数对表示为　      　，B′　      　，C′　      　．

11．轴对称图形沿着 　    　对折后能够完全重合。

12．沿轴对称图形的对称轴对折，两边的图形能完全　   　。

13．在图中再给一个格子涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有　 　种不同的涂法。

14．仔细观察，按要求做题。

（1）图A向　 　平移了　 　格；

（2）图B向　 　平移了　 　格；

（3）图C向　 　平移了　 　格。

15．小鱼图先向右平移了　 　格，再向　 　平移了　 　。

16．数学源于生活，生活中处处有数学。我们每天都能看到汽车在平坦的道路上平稳行驶，它的车轮平面轮廓采用圆形，车轴装在车轮的　   　处，车轮在滚动过程中，车轴离地面的距离总是等于车轮的　   　。

17．如图，图形A是通过　   　得到图形B、图形C、图形D的．

18．找出下组图形中不同的项　 　．

三．判断题（共5小题）

19．观光电梯的运动是平移。 　 　（判断对错）

20．等腰三角形一定是轴对称图形，直角三角形一定不是轴对称图形　 　．（判断对错）

21．设计优美的图案只能通过轴对称的方式来实现．　 　．（判断对错）

22．轴对称图形就是对称轴．　 　．（判断对错）

23．图案可以由经过旋转形成。　 　（判断对错）

四．应用题（共2小题）

24．我会做．

拿一张长纸条，将它一反一正折叠起来，并画出字母E．用小刀把画出的字母E挖去，拉开就可以得到一条以字母E为图案的花边，如图．

（1）在得到的花边中，相邻的两个图案是什么关系？相间的两个图案可以通过什么得到？

（2）观察整条花边，左起和右起的三个图案各为一组，这两组图案有什么关系？

25．写出图形B是如何由图形A得到的．

五．操作题（共3小题）

26．在下面的方格纸上，利用轴对称或平移的方法，设计一幅漂亮的图案。

27．

（1）数一数，图①向　 　平移了　 　格。

（2）画一画，把图②向下平移5格。

（3）画出轴对称图形③的另一半。

28．画出如图图形的轴对称图形。

六．解答题（共3小题）

29．（1）画出下面轴对称图形的对称轴．

（2）在每个圆盘上按要求涂上红黄两种颜色．

①使指针停在红色区域的可能性大，停在黄色区域的可能性小．

②使指针停在黄色区域的可能性大，停在红色区域的可能性小．

30．填一填，画一画。

（1）以虚线为对称轴，画出轴对称图形的另一半。

（2）这个轴对称图形的面积占整张方格纸的。（填最简分数）

31．按要求回答问题。

（1）按图中箭头方向向 　 　平移了 　 　格。

（2）把图中的右下角的图形向上平移5格，并画出平移后的图形。

（3）画出的另一半，使它成为轴对称图形。

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．【分析】根据旋转图形的特征，若单看一角的扇形，只要将一种方砖绕右下角按顺时针（或逆时针）旋转90°，再旋转90°，再旋转90°即可．关键是看每种规格方砖上的斜线，右上角的方砖（甲）绕旋转180°可以得到右下角的方砖，右上角的方砖（乙），旋转180°可得到左下角的方砖．因此，只需要甲、乙两种规格的方砖即可拼成如图的图案．

【解答】解：如图，

花池的周围用正方形瓷砖拼成这样图案，

将通过旋转即可．

【点评】本题是考查图形的旋转特征，关键是看图中方砖上的斜线．

2．【分析】根据图形平移后大小、方向都没有改变，所以找到图形中某个对应的点，这个点移动了多少，整个图形就平移了多少。

【解答】解：观察小鱼的嘴所在的点，向左平移了5格，

所以小鱼向左平移了5格。

故选：C。

【点评】本题主要考查了图形的平移，找图形的平移距离时，只需找出对应的任意点平移了多少，则图形就平移了多少。

3．【分析】如果把一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；据此解答即可。

【解答】解：如图：，，，，

所以再涂一个小正方形，使涂色的图形成为轴对称图形，一共有4种。

故选：C。

【点评】此题主要考查轴对称图形的意义。

4．【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来。

【解答】解：根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直。

故选：C。

【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力。对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现。

5．【分析】根据平移的特征，把图中阴影三角形的各顶点分别向左平移4格，依次连结即可得到向右平移4格后的图形，平移后的图形与图形2重合，即平移后的图形与图2位置相同．

【解答】解：如图，

将涂有阴影的三角形向左平移4格，平移后图形的位置与图2的位置相同．

故选：B．

【点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动．

6．【分析】根据镜面对称的特征，镜中的景物与实际景物上下前后方向一致，左右方向相反，大小不变，且关于镜面对称。

【解答】解：如图

故选：B。

【点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，镜中与实际景物大小不变。

7．【分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，分别以如图三角形的三条边为对称轴，画出图形的另一半，根据画出的图形即可作出选择。

【解答】解：如图

分别以如图三角形的三条边为对称轴，画出图形的另一半，画出的轴对称图形不可能是长方形。

故选：A。

【点评】此题考查的知识点：作轴对称图形、长方形的特征、三角形的特征及分类等。

8．【分析】根据平移的特征，④号蘑菇整个图案的每一个特征点都向左平移4格，即可到③号蘑菇的位置，即，④号蘑菇向左平移4格，得到③蘑菇。

【解答】解：如图

④号蘑菇向左平移4格，得到③蘑菇。

故选：C。

【点评】平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。平移的距离是两个图形对应部分间的距离，并非两个图形间的量短距离。

二．填空题（共10小题）

9．【分析】图中是阿拉伯数字构成的轴对称图形，按奇数数字顺序应填9．

【解答】解：由分析可得：第5个图案是．

故答案为：．

【点评】解答此题要明确：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．

10．【分析】根据平移的特征，把△ABC的各顶点分别向左平移3格，依次连结即可得到向左平移3格后的图形；用同样的方法即可把平移后的图形再向上平行1格得到△A′B′C′；然后再根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可用数对表示出点A′、B′、C′的位置．

【解答】解：如图，

如果将△ABC向左平移3格（图中灰色部分），再向上平移1格（图中红色部分）则A′的位置用数对表示为（0，2）、B′（3，5）、C′（1，5）．

故答案为：（0，2），（3，5），（1，5）．

【点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动．在无特殊说明的情况下，数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行．

11．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；由此解答即可。

【解答】解：轴对称图形沿着对称轴对折后能够完全重合。

故答案为：对称轴。

【点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合。

12．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此解答。

【解答】解：根据轴对称图形的意义可知：轴对称图形沿对称轴对折，对称轴两侧的图形能够完全重合。

故答案为：重合。

【点评】此题考查的目的是理解掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合。

13．【分析】根据轴对称图形的特征，分别把第一行第一个、第二行第三个、第三行第二个、第三行第三个涂上颜色，都可使涂色部分成为一个轴对称图形。

【解答】解：如图

在图形中在给1个格子涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有4种不同的涂法。

故答案为：4。

【点评】此题主要考查学生轴对称性的认识，解题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置得出不同图案。

14．【分析】（1）根据图形A、图B对应部分间的距离（格数）及箭头指向，即可确定图形A平移的方向、距离；

（2）同理，即可确定图形B平移的方向、距离；

（3）同理，确定图形C平移的方向、距离。

【解答】解：如图

（1）图A向上平移了5格；

（2）图B向右平移了3格；

（3）图C向左平移了3格。

故答案为：上，5；右，3；左，3。

【点评】平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。注意：平移的距离是指对应部分间的距离，不是指两图的最近距离。

15．【分析】根据“小鱼”的相对位置及箭头指向，即可确定平移的方向、距离。

【解答】解：如图

小鱼图先向右平移了6格，再向上平移了5格。

故答案为：6，上，5格。

【点评】图形平移注意三要素：即原位置、平移方向、平移距离。注意：平移的距离是指两图对应部分间的距离，不是指两图的最短距离。

16．【分析】根据圆的特征：连接圆心到圆上任意一点的线段，叫做半径；在同圆中所有的半径都相等；可知：把车轮做成圆形，车轴定在圆心，而且车轮上各点到车轴即圆心的距离都等于半径，是因为圆形易滚动，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变；车轮在滚动过程中圆心始终在一条直线上运动，据此解答。

【解答】解：我们每天都能看到汽车在平坦的道路上平稳行驶，它的车轮平面轮廓采用圆形，车轴装在车轮的圆心处，车轮在滚动过程中，车轴离地面的距离总是等于车轮的半径。

故答案为：圆心，半径。

【点评】此题考查了圆的特征，应注意基础知识的积累和应用。

17．【分析】通过观察，B、C、D图形中可以找到一个绕点，即在三角形的下方，中间正方形的对角线的交点，绕此点，向右旋转90°，得到B图；再增加继续1个向右旋转180°的图形，得到C图；再增加一个向右旋转270°的图形后，得到D图．因此得解．

【解答】解：图形A是通过 旋转得到图形B、图形C、图形D的；

故答案为：旋转．

【点评】图形旋转后的大小和形状不变是判断这个图形是否是通过旋转形成的基本方法．

18．【分析】题中只有D图形不是由A旋转而得到的，其他图形都是在同一个平面内通过把A图形旋转而得到的，因此得解．

【解答】解：只有D图形不是由A旋转得到的，其他图形都是在同一个平面内通过把A图形旋转而得到的．故不同的选项应该为D．

故答案为：D．

【点评】此题考查了运用平移、对称和旋转设计图案．

三．判断题（共5小题）

19．【分析】根据图形平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，依此根据平移定义判断即可。

【解答】解：根据平移的意义可知：观光电梯的运动是平移，原题说法正确。

故答案为：√。

【点评】此题考查了平移的定义，应注意理解和应用。

20．【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴，等腰三角形一定是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是等腰三角形底边上的高；直角三角形不一定是轴对称图形，但是等腰直角三角形是轴对称图形，据此判断即可．

【解答】解：等腰三角形一定是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是等腰三角形底边上的高，

因为直角三角形不一定是轴对称图形，但是等腰直角三角形是轴对称图形，

所以题中说法不正确．

故答案为：×．

【点评】此题主要考查了轴对称的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是轴对称图形．

21．【分析】通过平移、旋转和轴对称的知识，都可以设计一幅美丽的图案，据此判断即可．

【解答】解：通过平移、旋转和轴对称的知识，都可以设计一幅美丽的图案，所以设计优美的图案只能通过轴对称的方式来实现，说法错误，

故答案为：×．

【点评】本题考查了轴对称的知识，比较简单．

22．【分析】一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．

【解答】解：由分析可知：轴对称图形就是一个图形，关于一条直线对称，而对称轴是一条直线，所以本题说法错误；

故答案为：×．

【点评】判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．

23．【分析】每一个图形的前进一步都是相当于把原图旋转得到，前一个图形到下一个图形旋转了60度。

【解答】解：是由旋转而成的。

故答案为：√

【点评】是把原图旋转一圈，每前进一个图是旋转了60度。

四．应用题（共2小题）

24．【分析】（1）因为是在折叠好的纸上画出字母E，所以相邻两个图案成轴对称，相间的两个图案全等且是可以通过平移得到的；

（2）根据轴对称的定义可知三个图案为一组也成轴对称关系．

【解答】解：（1）相邻两个图案成轴对称，相间的两个图案全等且是可以通过平移得到的；

（2）三个图案为一组也成轴对称关系．

【点评】主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．

25．【分析】根据平移的特征，把图形A先向平移动2格，再向上2格，或先向上平移2格，再向右平移2格，即可得到图形B．

【解答】解：如图

答：把图形A先向平移动2格，再向上2格，或先向上平移2格，再向右平移2格，即可得到图形B．

【点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动．

五．操作题（共3小题）

26．【分析】可以画一个三角形，然后竖直直线为对称轴，作轴对称图形，再以水平直线为对称轴，作整个图形的轴对称图形。（答案不唯一）

【解答】解：（答案不唯一）

【点评】本题主要考查了利用平移、对称、旋转设计图形，图形符合平移、对称、旋转的特点即可。

27．【分析】（1）观察图形可知，图①是向左平移了10格，据此即可解答问题；

（2）把图②的四个顶点分别向下平移5格，再依次连接起来即可；

（3）根据轴对称图形的性质，对称点到对称轴的距离相等，对称轴是对称点的连线的垂直平分线，在对称轴的另一边画出关键的5个对称点，然后首尾连接各对称点即可。

【解答】解：（1）观察图形可知，图①向左平移了10格。

（2）（3）如图：

故答案为：左，10。

【点评】本题是考查作轴对称图形和图形的平移，关键是确定变化后的对应点的位置。

28．【分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原半图的关键对称点，依次连接即可画出如图图形的轴对称图形。

【解答】解：以虚线为对称轴，画出如图图形的轴对称图形如下：

【点评】求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次连接各对称点即可。

六．解答题（共3小题）

29．【分析】（1）根据轴对称图形的定义画图，注意一个图形的对称轴不只一个，所以一定要思维严密画全．

（2）把圆盘平均分成8份，涂上红色和黄色两种颜色，要使指针停在红色区域的可能性大，停在黄色区域的可能性小，只要涂的红色比黄色部分大即可；要使指针停在黄色区域的可能性大，停在红色区域的可能性小，只要涂的黄色比红色部分大即可．

【解答】解：（1）画出图形的对称轴如下：

（2）由分析涂色如下：

  ．

【点评】（1）本题的关键是题中的“所有”所以要注意思维的严密性，可找完对称轴．

（2）解答此题的关键：根据可能性的大小，只要使涂得绿色的部分所占比例比红色所占的比例大即可．

30．【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴（虚线）的右边画出左半图的关键对称点，依次连结即可画出轴对称图形的另一半。

（2）这个轴对称图形可看作由两个底为6格，高为2格的等腰三角形和一个边长为2格的正方形组成，根据三角形的面积计算公式“S＝ah÷2”、正方形面积计算公式“S＝a2”，即可求出这个轴对称图形的面积。方格纸是长为10格，宽为8格的长方形，根据长方形面积计算公式“S＝ab”，即可求出整张方格纸的面积。用这个轴对称图形的面积除以整张方格纸的面积。

【解答】解：（1）以虚线为对称轴，画出轴对称图形的另一半（下图）。

（2）（6×2÷2）×2+22

＝6×2+4

＝12+4

＝16

10×8＝80

16÷80＝

答：这个轴对称图形的面积占整张方格纸的。

故答案为：。

【点评】此题考查的知识点：作轴对称图形、组成图形面积的计算、分数的意义及化简等。

31．【分析】（1）根据箭头指向及两个图形对应部分间的格数，即可确定平移的方向、格数。

（2）根据平移的特征，把右下角的图形（梯形）的各顶点分别向上平移5格，依次连结即可得到平移后的图形。

（3）画法不唯一。可把左边的直角所在的直线作对称轴、根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的左边画出右图的关键对称点，依次连接即可。

【解答】解：（1）按图中箭头方向向右平移了6格。

（2）把图中的右下角的图形向上平移5格，并画出平移后的图形（下图红色部分）。

（3）画出的另一半（下图绿色部分），使它成为轴对称图形（画法不唯一）。

故答案为：右，6。

【点评】求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次接结各对称点即可。图形平移注意三要素：即原位置、平移方向、平移距离。