初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定第3课时巩固练习

2　平行四边形的判定

第3课时

(打“√”或“×”)

1.同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段叫做这两条平行线的距离. (×)

2.平行四边形的对角线互相平分. (√)

3.平行四边形的对边平行且相等. (√)

4.对角线相等的四边形是平行四边形. (×)

·知识点1　平行线间的距离

1.如图,a∥b,点A在直线a上,点B,C在直线b上,AC⊥b,如果AB=5 cm,BC=4 cm,那么平行线a,b之间的距离为              (C)

A.5 cm  B.4 cm  C.3 cm  D.不能确定

2.两条平行线间的距离是指 (D)

A.其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线

B.其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线的长

C.其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线段

D.其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线段的长

3.(2020·宁德蕉城期末)如图,a∥b,点A在直线a上,点C在直线b上,

∠BAC=90°,AB=AC,点B到a的距离为1,点C到a的距离为3,则△ABC的面积为　5　. 

·知识点2　平行四边形判定和性质的综合运用

4.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,当E,F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形              (C)

A.∠ADE=∠CBF  B.∠ABE=∠CDF

C.DE=BF    D.OE=OF

5.如图,在▱ABCD中,按以下步骤作图:

①以点A为圆心,AB的长为半径作弧,交AD于点F;

②分别以点F,B为圆心大于FB的长为半径作弧,两弧在∠DAB内交于点G;

③作射线AG,交边BC于点E,连接EF.若AB=5,BF=8,则四边形ABEF的面积

为(C)

A.12 B.20 C.24 D.48

6.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点G,连接BF并延长,交AD的延长线于点H,则图中共有　3　个平行四边形. 

7.(2021·福州马尾期末)如图,在下列网格中,每一个小正方形的边长为1,请在网格中找出一点D,使四边形ABCD为平行四边形,则平行四边形ABCD边AB上的高的长度为 　. 

1.(2021·厦门同安县期末)如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合的部分构成了一个四边形,转动其中一张纸条,则下列一定成立的是              (B)

A.AD=AB　　　　　　    B.AD=BC　　　　　　

C.∠DAC=∠ACD　　　　　 　 D.AO=BO

2.(2021·莆田涵江期末)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上,点C的对应点F在BC的延长线上,连接AD,AC,DE交于点O.下列结论一定正确的是              (D)

A.∠B=∠F　　　　　　 B.AC⊥DE　　　　　　

C.BC=DF　　　　　　  D.AC,DE互相平分

3.(2021·莆田仙游县期末)如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,△ABD,△ACE,△BCF都是等边三角形,下列结论中:①AB⊥AC;②四边形AEFD是平行四边形;③∠DFE=135°;④S四边形AEFD=20.正确的个数是              (B)

A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

4.如图,点A,E,F,C在一条直线上,若将△DEC的边EC沿AC方向平移,平移过程中始终满足下列条件:AE=CF,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,且AB=CD.则当点E,F不重合时,四边形EDFB的形状是　平行四边形　. 

5.(2021·泉州洛阳期末)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=

∠BCD=90°,AB=DC=4,AD=BC=8.延长BC到E,使CE=3,连接DE,由直角三角形的性质可知DE=5.动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,设点P运动的时间为t秒.(t>0)

(1)当t=3时,BP=　　　　; 

(2)当t=　　　　时,点P运动到∠B的角平分线上; 

(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S;

(4)当0<t<6时,直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值.

【解析】见全解全析

三定一动构造平行四边形

(2021·南平建阳期末)如图,平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,A(-3,0),B(3,0),C(0,4),连接OD,点E是线段OD的中点.

(1)求点E和点D的坐标;

(2)平面内是否存在一点N,使以C,D,E,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】见全解全析

第3课时

必备知识·基础练

【易错诊断】

1.×　2.√　3.√　4.×

【对点达标】

1.C　∵AC⊥b,AB=5 cm,BC=4 cm,

∴AC====3,

∴平行线a,b之间的距离为AC=3 cm.

2.D　平行线之间的距离:从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离.

3.【解析】

过C作CD⊥a于D,过B作BE⊥a于E,则CD=3,如图:

∵∠BAC=∠ADC=∠BEA=90°,

∴∠EAB+∠EBA=90°,∠DAC+∠EAB=90°,

∴∠EBA=∠DAC,

在△ABE与△CAD中,

∴△ABE≌△CAD(AAS),

∴AE=CD=3,

∵BE=1,

∴AB===,

∴AC=AB=,∴△ABC的面积=·AB·AC=××=5.

答案:5

4.C　A.在平行四边形ABCD中,

∴AO=CO,DO=BO,AD∥BC,AD=BC,

∴∠DAE=∠BCF,

若∠ADE=∠CBF,

在△ADE与△BCF中,

∴△ADE≌△BCF,

∴AE=CF,

∴AO-AE=CO-CF,

∴OE=OF,

又∵DO=BO,

∴四边形DEBF是平行四边形;

B.若∠ABE=∠CDF,

在△ABE与△CDF中,

∴△ABE≌△CDF,

∴AE=CF,

∵AO=CO,

∴AO-AE=CO-CF,

∴OE=OF,

∵OD=OB,

∴四边形DEBF是平行四边形;

C.若DE与AC不垂直,则满足AC上一定有一点DM=DE,同理有一点N使BF=BN,则四边形DEBF不一定是平行四边形,则选项错误;

D.若OE=OF,

∵OD=OB,

∴四边形DEBF是平行四边形.

5.C　由作图可得:AG是BF的垂直平分线,

∴BO=FO=BF=4,AE⊥FB,

∴∠AFB=∠ABF,AO==3,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AF∥BC,

∴∠AFB=∠EBF,

∴∠ABF=∠EBF,

在△AOB和△EOB中,

∴△AOB≌△EOB(ASA),

∴AO=EO,又BO=FO,

∴四边形ABEF是平行四边形,

∴四边形ABEF的面积=4S△AOB=4×AO·BO=2×3×4=24.

6.【解析】∵在平行四边形ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,

∴DF=BE,DF∥BE,

∴四边形BEDF为平行四边形,

图中四边形DHBG也是平行四边形.

答案:3

7.【解析】如图,过B作BE⊥CD于E,

由勾股定理得:AB==,

∵平行四边形ABCD的面积=AB×BE=5×4-×2×3-×3×1-×2×3-×3×1=11,

∴BE==,

即平行四边形ABCD边AB上的高的长度为.

答案:

关键能力·综合练

1.B　由题意可知:AB∥CD,AD∥BC,

∴四边形ABCD为平行四边形,

∴AD=BC.

2.D　∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF,使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上,

∴∠B=∠DEF,BE=CF=CE=AD,AD∥BC,DF=AC,

当∠BAC=90°时,AC⊥DE;

当BC=AC时,∠B=∠ACB=∠F,故选项A,B不符合题意;

当BC=AC时,BC=DF,故选项C不符合题意;

连接AE,CD,如图所示:

∵AD∥BC,AD=CF,

∴四边形AECD是平行四边形,

∴AC,DE互相平分,故选项D符合题意.

3.B　∵AB=6,AC=8,BC=10,又∵62+82=102,

∴AB2+AC2=BC2,

∴∠BAC=90°,

∴AB⊥AC,故①正确;

∵△ABD,△ACE都是等边三角形,

∴∠DAB=∠EAC=60°,∴∠DAE=360°-∠BAC-∠DAB-∠EAC=150°,

∵△ABD和△FBC都是等边三角形,

∴BD=BA,BF=BC,∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°,

∴∠DBF=∠ABC,

在△ABC与△DBF中,

∴△ABC≌△DBF(SAS),

∴AC=DF=AE=8,

同理可证:△ABC≌△EFC(SAS),

∴AB=EF=AD=6,

∴四边形AEFD是平行四边形,故②正确;

∴∠DFE=∠DAE=150°,故③错误;

过A作AG⊥DF于G,如图所示:

则∠AGD=90°,

∵四边形AEFD是平行四边形,

∴∠FDA=180°-∠DFE=180°-150°=30°,

∴AG=AD=6,

∴S▱AEFD=DF·AG=8×3=24,故④错误;

∴正确的个数是2个.

4.【解析】已知AE=CF,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,且AB=CD且点E,F不重合,

∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,

∴∠DEC=∠BFA=90°,

又∵AB=CD,

∴△ABF≌△CDE,

∴DE=BF,设EF与BD交于点O,

∵∠DOE=∠BOF,

∴△DOE≌△BOF,

∴OE=OF,OB=OD,

∴BD和EF互相平分.

∴四边形EDFB为平行四边形.

答案:平行四边形

5.【解析】(1)BP=2t=2×3=6;

答案:6

(2)作∠B的角平分线交AD于F,

∴∠ABF=∠FBC,

∵∠A=∠ABC=∠BCD=90°,

∴四边形ABCD是矩形,

∵AD∥BC,

∴∠AFB=∠FBC,

∴∠ABF=∠AFB,

∴AF=AB=4,

∴DF=AD-AF=8-4=4,

∴BC+CD+DF=8+4+4=16,

∴2t=16,解得t=8.

∴当t=8时,点P运动到∠ABC的角平分线上.

答案:8

(3)根据题意分三种情况讨论:

①当点P在BC上运动时,

S△ABP=×BP×AB=×2t×4=4t(0<t<4);

②当点P在CD上运动时,

S△ABP=AB·BC=×4×8=16(4≤t≤6);

③当点P在AD上运动时,

S△ABP=AB·AP=×4×(20-2t)=-4t+40(6<t≤10);

(4)当0<t<6时,点P在BC,CD边上运动,

根据题意分情况讨论:

①当点P在BC上,点P到四边形ABED相邻两边距离相等,

∴点P到AD边的距离为4,

∴点P到AB边的距离也为4,

即BP=4,

∴2t=4,解得t=2 s;

②当点P在BC上,点P到AD边的距离为4,

∴点P到DE边的距离也为4,

∴PE=DE=5,

∴PC=PE-CE=2,

∴8-2t=2,解得t=3 s;

③当点P在CD上,如图,过点P作PH⊥DE于点H,

点P到DE,BE边的距离相等,

即PC=PH,

∵PC=2t-8,

∵S△DCE=S△DPE+S△PCE,

∴×3×4=×5×PH+×3×PC,

∴12=8PH,

∴12=8(2t-8),

解得t= s.

综上所述:t=2或t=3或t=时,点P到四边形ABED相邻两边距离相等.

【解题模型】

【解析】(1)∵A(-3,0),B(3,0),

∴AB=6,

∵四边形ABCD为平行四边形,

∴AB∥CD,AB=CD=6,

又∵C(0,4),

∴D的坐标为(-6,4),

∵E是OD的中点,

∴E的坐标为(-3,2),

即D(-6,4),E(-3,2);

(2)存在一点N,使以C,D,E,N为顶点的四边形是平行四边形,

①当CE为平行四边形CDEN的对角线时,如图1,

∴EN∥CD,EN=CD=6,

∵CD∥AB,

∴EN∥AB,

又E的坐标为(-3,2),EN=6,

∴N的坐标为(3,2),

②当DE为平行四边形CDNE的对角线时,如图2,

∴EN∥CD∥AB,EN=CD=6,

∴N的坐标为(-9,2),

③当DC为平行四边形CNDE的对角线时,如图3,

则DE∥CN,DE=CN,

由坐标与平移关系可得,N(-3,6),

∴N点坐标为(3,2),(-9,2),(-3,6).