2023年新疆乌鲁木齐市天山区幸福中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年新疆乌鲁木齐市天山区幸福中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示，则其对应的几何体是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  小明在计算一组数据的方差时，列出的公式如下，根据公式信息，下列说法中，错误的是(    )

A. 数据个数是 B. 数据平均数是 C. 数据众数是 D. 数据方差是

6.  某中学八年级学生去距学校千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的倍．设骑车学生的速度为千米小时，则所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的直径，为弦，，在上任取一点，且点与点位于直径的两侧，连接和，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在四边形中，，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点若点是的中点，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，平面直角坐标系中，过原点的直线与双曲线交于、两点，在线段左侧作等腰三角形，底边轴，过点作轴交双曲线于点，连接，若，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

10.  我县九年级考生约人，该人口数精确到千位大约为______．

11.  分解因式：______．

12.  如图，掷铁饼者是希腊雕刻家米隆于约公元前年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为______．

13.  从，两个数中随机选取一个数记为，再从，，三个数中随机选取一个数记为，则、的取值使得一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是______．

14.  如图，在中，，，，，的平分线交于点，则______．

15.  如图，和都是等腰直角三角形，，点是边上的动点不与点、重合，与交于点，连结下列结论：；；若，则；在内存在唯一一点，使得的值最小，若点在的延长线上，且的长为，则其中含所有正确结论的选项是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

16.  计算．

四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

18.  本小题分
如图，菱形中，，分别为，上的点，且，连接并延长，与的延长线交于点，连接．
求证：四边形是平行四边形；
连接，若，，求的长．

19.  本小题分
某初中举行硬笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合图中相关信息解答下列问题：
扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是______度；
请将条形统计图补全；
获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自九年级，其他同学来自八年级．现准备从获得一等奖的同学中任选人参加市级硬笔书法大赛．请通过列表或画树状图的方法求所选出的人中既有七年级同学又有九年级同学的概率．

20.  本小题分
如图所示，某钓鱼爱好者周末到渭河边钓鱼，经测量某段河堤的坡角为，堤坡面长为米，钓竿的倾斜角即是，钓竿长为米，若与钓鱼线的夹角为，求浮漂与河提下端之间的距离．注：在本题中我们将钓竿和钓鱼线都分别看成段
 

21.  本小题分
为迎接“国家创卫”检查，我市环卫局准备购买，两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱需元；购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元．
求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？
该市现需要购买，两种型号的垃圾箱个，其中购买型垃圾箱不超过个．求购买垃圾箱的总花费元与型垃圾箱个之间的函数关系式；
在中，当购买型垃圾箱个数多少时总费用最小，最小费用是多少？

22.  本小题分
如图，已知是的直径，点在上，点在上，作交的延长线于点，过点作的切线交于点．
求证：．
若点为中点，，，求的半径．

23.  本小题分
已知抛物线与轴相交于点，，且，是方程的两个实数根，点为抛物线与轴的交点．
求，的值；
分别求出直线和的解析式；
若动直线与线段，分别相交于，两点，则在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数和绝对值的意义．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
【解答】
解：的相反数是，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：根据三视图可得这个几何体的名称是三棱柱；
故选：．
利用主视图以及俯视图即可得出该几何体是三棱柱，进而得出答案；
此题考查了由三视图判断几何体的知识，正确判断出几何体的形状是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、平方差公式逐一计算可得．
本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则，平方差公式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可求，利用邻补角的定义即可求的度数．
【解答】
解：如图，

，，
，
，，
，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，
样本容量是，故选项A不合题意；
样本平均数是：，故选项B不合题意；
样本众数是，故选项C不合题意；
样本方差是：，故选项D符合题意．
故选：．
根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查方差、样本容量、算术平均数、众数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的方差、样本容量、算术平均数、众数．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据八年级学生去距学校千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示，

是的直径，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由圆周角定理的推论得，得，再由圆周角定理的推论得解．
此题考查了圆周角定理的推论、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的两个推论是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出与是解题的关键．
连接，根据基本作图，可得垂直平分，由垂直平分线的性质得出再根据证明≌，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出然后在直角中利用勾股定理求出的长．
【解答】
解：如图，连接，则．

，
．
在与中，
，
≌，
，
，．
在中，，
，
，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，设与轴交于，

则，
是等腰三角形，且底边轴，
，
过原点的直线与双曲线交于、两点，
、关于原点对称，即为的中点，
点为的中点，
，
，
设，则，，
，，，，
，
，
，
解得：，
故选：．
过点作于，设与轴交于，则，由是等腰三角形得到，由、关于点中心对称得到点是的中点，则，即有，设，则，得到点、点和点的坐标，再由的面积求得的值．
本题考查了等腰三角形的性质，中心对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知等腰三角形的性质设出点的坐标．
 

10.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
先用科学记数法表示，再根据四舍五入法，可以将题目中的数据精确到千位表示即可．
本题考查近似数，科学记数法，解答本题的关键是明确近似数的含义．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设“弓”所对的圆心角度数为，
弧长，
，
即“弓”所对的圆心角度数为，
故答案为：．
由弧长公式进行变形计算即可．
本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：和树状图如下：

共有种等可能的结果，其中、的取值使得一元二次方程有两个不相等的实数根的结果有种，
、的取值使得一元二次方程有两个不相等的实数根的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中、的取值使得一元二次方程有两个不相等的实数根的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及根的判别式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】

【解答】
解：，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
在中，
，
，
故答案为：．
【分析】
本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
由，，，所以，再证明，根据相似比求出的长．  

15.【答案】 

【解析】解：如图中，

，
，
，，
≌，
，，故正确，
，
，
，
，
取的中点，连接，，，则，
，，，四点共圆，
，故正确，
设，则，，
过点作于点，
，
，
，，
，
，故正确．
如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，

，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，值最小，此时，，，
，
设，则，
，
，
，故错误．
故答案为：．
正确．证明≌，可得结论；
正确．证明，，，四点共圆，利用圆周角定理证明；
正确．设，则，，过点作于点，求出，，可得结论；
错误．将绕点顺时针旋转得到，连接，当点，点，点，点共线时，值最小，此时，，，设，则，构建方程求出，可得结论．
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】本题涉及平方、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简等知识点的运算．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】证明：连接，如图：

四边形是菱形，
平分，且，
，
，
．
又菱形中，，
四边形是平行四边形．
过点作于．

，
，
，
，
，
在中，，
，．
，
． 

【解析】连接，再根据菱形的性质得出，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．
过点作，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．
 

19.【答案】 

【解析】解：被调查的总人数为人，
扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是，
故答案为：；

一等奖人数为人，
补全图形如下：


一等奖中七年级人数为人，九年级人数为人，则八年级的有人，
画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中所选出的人中既有七年级同学又有九年级同学的有种结果，
所以所选出的人中既有七年级同学又有九年级同学的概率为．
先根据参与奖的人数及其所占百分比求得总人数，再用乘以三等奖人数所占比例即可得；
用总人数减去其它奖项的人数求出一等奖的人数，从而补全图形；
画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式计算可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比
 

20.【答案】解：延长交直线于，
河堤的坡角为，
，
钓竿的倾斜角是，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
则，
答：浮漂与河堤下端之间的距离为米 

【解析】延长交于，根据题意得到，利用正切的概念求出，判断为等边三角形，求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用--坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
由题意可得：，
解得，
答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元；
设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，
由题意可得：，
即，且为整数；
由知，，
随的增大而减小．
，且为整数，
当，取得最小值，此时，
即当购买型垃圾箱个数时总费用最小，最小费用是元． 

【解析】根据购买个型垃圾箱和个型垃圾箱需元；购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据题意和题目中的数据，可以写出购买垃圾箱的总花费元与型垃圾箱个之间的函数关系式；
根据中的函数关系式和一次函数的性质、的取值范围，可以求得总费用的最小值．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

22.【答案】证明：连接，如图，

为切线，
，
，
，
，
，
，
而，
，
，
；

解：连接交于，如图，

为直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
的半径为． 

【解析】连接，如图，利用切线的性质得，则，再利用和互余可得到，所以；
连接交于，计算，进而得、，再解直角三角形得便可．
本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．
 

23.【答案】解：由，得，．
，，
把，两点的坐标分别代入联立求解，
得，．

由可得，
当时，，
．
设：，把，两点坐标分别代入，联立求得，．
直线的解析式为．
同理可求得直线的解析式是．

假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为．
当为腰时，分别过点，作轴于，作轴于，如图，
则和都是等腰直角三角形，，．
，
∽，
，即．
解得．
点的纵坐标是，
点在直线上，
，解得，

，同理可求．
当为底边时，
过的中点作轴于点，如图，

则，
由∽，
得，即，
解得．
同方法．求得，，

，
．
结合图形可知，，，
，
是，
也满足条件．
综上所述，满足条件的点共有个，即或或 

【解析】求出方程两根代入抛物线解析式即可；
设所求的解析式为，用待定系数法求解；
若为等腰直角三角形，应分情况进行讨论，需注意应符合两个条件：等腰，有直角．
本题考查的知识点较为全面：解一元二次方程，用待定系数法求函数解析式，相似的应用以及勾股定理，等腰三角形的性质等，需耐心分析，加以应用．