2021-2022学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知，则在复平面内复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数的除法运算，和共轭复数的概念求得，由复数的几何意义可得结论．

【详解】由题意，

，对应点坐标为，在第一象限，

故选：A．

2．从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：

①至少有1个白球与至少有1个黄球；

②至少有1个黄球与都是黄球；

③恰有1个白球与恰有1个黄球；

④至少有1个黄球与都是白球．

其中互斥而不对立的事件共有（    ）

A．0组 B．1组 C．2组 D．3组

【答案】A

【分析】利用互斥事件和对立事件的定义判断

【详解】解：对于①，至少有个白球包括1个白球1个黄球，2个都是白球；至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以这两个事件有可能同时发生，所以不是互斥事件，

对于②，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生，所以不是互斥事件，

对于③，恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件，所以不是互斥事件，

对于④，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，与都是白球不可能同时发生，且一次试验中有一个必发生，所以是对立事件，

所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组，

故选：A

3．下列命题正确的是（    ）

（1）已知平面，和直线，，若，，，，则；

（2）已知平面和直线，，若，，则；

（3）已知平面，和直线，，且m，n为异面直线，，.若直线l满足，，，，则与相交，且交线平行于；

（4）在三棱锥中，，，，垂足都为P，则P在底面上的射影是三角形ABC的垂心.

A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）

【答案】C

【分析】根据空间直线、平面间位置关系判断（1）（2），由线面垂直的判定定理的性质定理判断（3）（4）．

【详解】（1）中只有当是相交直线时才有，否则与可能相交，（1）错；

（2）中直线可能平行，也可能是异面直线，（2）错；

（3）平面与不可能平行（否则有），因此与相交，设交线为，如图，

则由线面垂直的性质得，，

过直线上任一点作直线，则是相交直线，设直线确定平面，

由得，，

因此由线面垂直的判定定理得，，所以，（3）正确；

（4）如图，

因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，

是在底面内的射影，即平面，又平面，所以，

因为，平面，所以平面，而平面，所以，同理，所以是的垂心，（4）正确．

故选：C．

4．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆，且该圆锥的体积为，则r=（    ）

A． B．2 C．3 D．

【答案】B

【分析】用表示出圆锥的母线、底面半径、高，再由圆锥体积公式列方程求解．

【详解】由题意圆锥的母线长为，

设圆锥底面半径为，高为，则，，

，

所以，．

故选：B．

5．已知向量，点，，记为在向量上的投影向量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据投影向量的定义求解．

【详解】由已知，，，

在向量上的投影向量为，

所以，

故选：B．

6．由下列条件解，其中有两解的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】只有是已知两边及一边的对角，且已知角为锐角才可能出现两解，此时先求另一边所对的角，再结合边角关系来判断解的个数

【详解】对于A，,由正弦定理可得,

由和可知和只有唯一解,

所以只有唯一解，所以A错误；

对于B，由余弦定理可知只有唯一解，

由余弦定理可得,又且在上单调递减，

所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，

所以只有唯一解，所以B错误；

对于C，由正弦定理可得,所以,由可知，

因此满足的有两个，

所以有两解，所以C正确；

对于D.由余弦定理可知只有唯一解，

由余弦定理可得,又且在上单调递减,

所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，

所以只有唯一解,所以D错误

故选：C

7．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合点坐标可得点的坐标．

【详解】为坐标原点，

由已知，

，

又，所以点坐标为，

故选：A．

8．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.对于图2.下列结论不正确的是（    ）

A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形

B．若，，则

C．若AB=2AʹBʹ，则

D．若Aʹ是ABʹ的中点，则三角形ABC的面积是三角形AʹBʹCʹ面积的7倍

【答案】C

【分析】利用线段相等得出点重合判断A，利用正弦定理求解判断B，利用余弦定理解三角形判断CD．

【详解】选项A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，则，从而三点重合，不合题意，A正确；

选项B，若，，设，则，

，

，

在中由正弦定理得，解得，B正确；

选项C，若AB=2AʹBʹ，记，，设，则，

在中由余弦定理得，，（负值舍去），

，C错误；

选项D，若Aʹ是ABʹ的中点，设，则，，

由余弦定理得，

，而，所以，D正确．

故选：C．

9．一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的（    ）

A．众数为7 B．极差为6

C．中位数为8 D．方差为

【答案】ABD

【分析】由平均数定义求得参数，然后再由众数、极差、中位数、方差的定义求解．

【详解】由题意，，

因此众数是7，极差是，

5 个数从小到大排列为，中位数是7，

方差为，

故选：ABD．

二、多选题

10．若复数（为虚数单位），其中真命题为（    ）

A．若 B．若，则

C．若，则 D．

【答案】AB

【分析】利用共轭复数的定义计算判断A，由复数的乘方的模的运算法则计算后判断BCD．

【详解】由已知,，A正确；

时，，，B正确；

时，，C错误；

，，显然D错误．

故选：AB．

11．已知点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．若A、B、C三点共线，则   

B．存在实数m，使得

C．若三角形是直角三角形，则或

D．设，当时，三角形与三角形的面积相等

【答案】AD

【分析】由斜率的性质判断AC，由向量的夹角公式判断B，由三角形面积公式判断D．

【详解】由题意在直线上，如图，

选项A，则已知，解得，A正确；

选项B，由已知，，，若存在实数，使得，

则，此方程无解，因此不存在，B错误；

选项C，若三角形是直角三角形，

由图可知若，则，解得，

若，则，解得，

若，则，解得，C错误；

选项D，与不共线，而到直线（即直线）的距离相等，

因此角形与三角形的面积相等，D正确．

故选：AD．

12．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（    ）

A．平面平面

B．平面

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．三棱锥的体积不变

【答案】ABD

【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用面面垂直的判定定理即可判断；

对于B，利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面平面，从而得以判断；

对于C，利用线线平行将异面直线与所成角转化为与所成的角，从而在等边中即可求得该角的范围，由此判断即可；

对于D，先利用线线平行得到点到面平面的距离不变，再利用等体积法即可判断.

【详解】对于A，连接，如图，

因为在正方体中，平面，

又平面，所以，

因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面，

因为平面，所以，同理可得，

因为与为平面内两条相交直线，可得平面，

又平面，从而平面平面，故A正确；

.  

对于B，连接，，如图，

因为，，所以四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面，同理平面，

又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，

因为平面，所以平面，故B正确；

对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，

因为，所以为等边三角形，

当与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值；

当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值；

所以与所成角的范围是，故C错误；

对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，

即点到面平面的距离不变，不妨设为，则，

所以三棱锥的体积不变，故D正确．

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握线面垂直与面面垂直的判定定理、线面平行与面面平行的判定定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化严密推理.

三、填空题

13．某校共有师生2400人，其中教师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用比例分配的分层随机抽样方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为80，那么___________.

【答案】192

【分析】根据女学生的抽样比与总体的抽样比相等列等式可求出的值.

【详解】由于女学生的抽样比与总体的抽样比相等，则，

解得.

故答案为：.

14．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高_________m.（结果用d、、、表示）

【答案】

【分析】用山高表示出，然后在中应用正弦定理可得．

【详解】设山高，则，延长交于，如图，

则，因此，，，

，

在中由正弦定理得，

所以，

故答案为：．

15．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球和内切球的半径之比为_______.

【答案】/

【分析】证明是鳖臑外接球直径，然后设，由体积法求得其内切球半径，再计算比值．

【详解】由题意，，

又平面，平面，则，同理，，

，平面，所以平面，

而平面，所以，

所以是鳖臑外接球直径，

设，则，因此，，

，，

，

设鳖臑内切球半径为，

则，

所以，

因此鳖臑外接球半径与内切球半径比为，

故答案为：．

16．已知三角形ABC中，点G、O分别是的重心和外心，且，，则边的长为________.

【答案】6

【分析】由数量积的定义得出外心满足性质：，，由中线向量性质，再由数量积的运算得出，利用平方后求得，即，然后由直角三角形性质得长．

【详解】如图，延长交于，连接，作于，则分别是的中点，

，

同理，

，

，

，

又，

即，，

所以，即，

所以，

故答案为：6．

四、解答题

17．我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求全市家庭月均用水量不低于 6t的频率；

(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值；

(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.

【答案】(1)0.3

(2)4.92（t）

(3)6.56

【分析】（1）直接由频率分布直方图计算；

（2）用每组区间的中点值乘以相应的频率再相加可得均值；

（3）由频率分布直方图分别求出前3组和前4组的频率，得出75%分位数在第4组，求出频率0.75对应的值即可得．

【详解】（1）全市家庭月均用水量不低于6t的频率为.

（2）全市家庭月均用水量平均数的估计值为（t）；

（3）因为，，

所以全市家庭月均用水量的75％分位数为.

18．已知复数是纯虚数，是实数.

(1)求；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设且，代入化简，然后由复数的分类求解；

（2）由（1）代入求得，再由复数模的性质与定义计算．

【详解】（1）设且.

则为实数，

所以，所以，

所以 ；

（2）由（1），，

所以．

19．（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“两枚骰子点数之和为3的倍数”，判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由.

（2）甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少有一次中靶，则考核通过.已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙两人射击互不影响.求两人中恰有一人通过考核的概率.

【答案】（1）事件A与B独立，理由见解析；（2）0.2212.

【分析】（1）验证是否有即可得；

（2）设C=“甲通过考核”，D=“乙通过考核”，由对立事件和互斥事件的概率公式计算．

【详解】（1），

，

，

则，所以事件A与B独立；

（2）设C=“甲通过考核”，D=“乙通过考核”.

，

，

.

即恰有一人通过考核的概率为0.2212.

20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.

(1)求A；

(2)若a=2，求△ABC面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由余弦定理化角为边，再结合余弦定理、商数关系可求得；

（2）由余弦定理结合基本不等式求得的最大值后可得面积最大值．

【详解】（1）因为，由余弦定理得，

整理得，

因为，所以，所以，则，所以.

（2）由余弦定理得，即，

则，当且仅当时，等号成立，

所以三角形ABC的面积最大值为．

21．如图，在直三棱柱中，平面平面.

(1)求证：；

(2)若，平面与平面的夹角的大小是与平面所成角的大小的2倍，求侧棱BB1的长度.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在平面中，过点A作，垂足为D，由面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直，然后证明平面后可证得线线垂直；

（2）以BC、BA、BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，用空间向量法求二面角和线面角后根据已知可求得．

【详解】（1）证明：在平面中，过点A作，垂足为D.

因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面.

又平面A1BC，则.

在直三棱柱中，平面ABC，BC平面ABC，则.

又，平面，则平面，

又平面ABC，所以.

（2）分别以BC、BA、BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，，则,，，.

，，，，

设平面的一个法向量是，

则，取，得平面A1BC的法向量为，

设平面的一个法向量是，

则，取，得平面A1B1C的法向量为，

设平面与平面的夹角的大小为，与平面所成角的大小为.

，

，

因为，所以，所以，解得，又，所以，即.

22．在三角形ABC中，，E为AC中点，，线段AD与BE交于点M.

(1)用向量和表示；

(2)若.在直线BC上是否存在点H，使得线段AH长度为定值，若存在，则求出线段AH的长度，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）由B、M、E三点共线设，由又A、M、D三点共线，设，都用表示后，由向量相等求得，从而得出结论；

（2）假设存在点H，设，则，，由已知，，求得，再由定值得出值，从而可得线段AH的长度．

【详解】（1）因为B、M、E三点共线，设，则，

又A、M、D三点共线，设，则，

因为不共线，所以，解得.

所以.

（2），

，

由可得，，

假设存在点H，设，则.

则

当时，.所以存在点H，使得AH长度为定值．