2022年中考数学真题分类汇编几何证明压轴题圆类

这是一份2022年中考数学真题分类汇编几何证明压轴题圆类，共54页。试卷主要包含了设BQ=x，CP=y．，证明等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学真题分类汇编
几何证明压轴题圆类

1. (2022·内蒙古自治区鄂尔多斯市)
如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE=5，cos∠ABD=45，求OE的长．

2. (2022·青海省西宁市)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
(1)求证：四边形EMFC是矩形；
(2)若AE=5，⊙O的半径为2，求FM的长．




3. (2022·四川省绵阳市)
如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧BC的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
(1)求证：BC//PF；
(2)若⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长度；
(3)在(2)的条件下，求△DCP的面积．

4. (2022·青海省)
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
(1)求证：AF⊥EF；
(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．






5. (2022·甘肃省)
如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC=∠ABC．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若DE=45，AC=2BC，求线段CE的长．

6. (2022·广西壮族自治区柳州市)
如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是EB的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求sin∠FHG的值；
(3)若GH=42，HB=2，求⊙O的直径．






7. (2022·广西壮族自治区河池市)
如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D.且∠PCA=∠CBD．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC=22BO，PB=12，求⊙O的半径及BE的长．

8. (2022·黑龙江省大庆市)
如图，已知BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BC=16.点D为⊙O外的一点，∠ACD=∠B.点E为AC中点，弦FG过点E，EF=2EG，连接OE．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：(OC+OE)(OC-OE)=EG⋅EF；
(3)当FG/​/BC时，求弦FG的长．








9. (2022·黑龙江省绥化市)
如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM上的一个动点(不与A，M重合)，射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．
(1)求证：△CMA∽△CBD．
(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长．
(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求MENE的值．

10. (2022·黑龙江省哈尔滨市)
已知CH是⊙O的直轻，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC=2∠CHB．
(1)如图1，求证：∠ODC=∠OEC；
(2)如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC=FH；
(3)如图3，在(2)的条件下，点G是BH一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG=5：3，HG=2，求OF的长．

11. (2022·广西壮族自治区桂林市)
如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)延长AB和DC交于点E，若AE=4BE，求cos∠DAB的值；
(3)在(2)的条件下，求FHAF的值．

12. (2022·湖北省宜昌市)
已知，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，以BC为直径的⊙O与AB交于点H，将△ABC沿射线AC平移得到△DEF，连接BE．
(1)如图1，DE与⊙O相切于点G．
①求证：BE=EG；
②求BE⋅CD的值；
(2)如图2，延长HO与⊙O交于点K，将△DEF沿DE折叠，点F的对称点F'恰好落在射线BK上．
①求证：HK//EF'；
②若KF'=3，求AC的长．



13. (2022·江苏省苏州市)
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB交于点E.F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG.若CF=4，BF=2，求AG的长．


14. (2022·浙江省宁波市)
如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB-∠BFD=∠ACB，FG/​/AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG.设∠ACB=α．
(1)用含α的代数式表示∠BFD．
(2)求证：△BDE≌△FDG．
(3)如图2，AD为⊙O的直径．
①当AB的长为2时，求AC的长．
②当OF：OE=4：11时，求cosα的值．



15. (2022·浙江省温州市)
如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5，BE=3，点P，Q分别在线段AB，BE上(不与端点重合)，且满足APBQ=54.设BQ=x，CP=y．
(1)求半圆O的半径．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于QR的对称点F'，当点F'落在BC上时，求CF'BF'的值．


16. (2022·云南省)
如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O.P是⊙O的劣弧BC上的任意一点．连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD2=BC⋅BE．
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若四边形ABCD是正方形，连接AC.当P与C重合时，或当P与B重合时，把PA+PCPD转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得PA+PCPD=2.当P既不与C重合也不与B重合时，PA+PCPD=2是否成立？请证明你的结论．

17. (2022·四川省达州市)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O为AB边上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，分别交AB，AC边于点E，F．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若BD=3，tan∠CAD=12，求⊙O的半径．

18. (2022·浙江省舟山市)
如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．
(1)线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
(2)如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K.求证：KHCH=AKAC．
(3)如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．







19. (2022·四川省凉山彝族自治州)
如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO=6．
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长；
(3)连接BM并延长交⊙M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．

20. (2022·四川省成都市)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在CD上取一点E，使BE=CD，连接DE，作射线CE交AB边于点F．
(1)求证：∠A=∠ACF；
(2)若AC=8，cos∠ACF=45，求BF及DE的长．








21. (2022·四川省德阳市)
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD=2∠BAD．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)如果AB=10，CD=6，
①求AE的长；
②求△AEF的面积．

22. (2022·四川省泸州市)
如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
(1)求证：FD//AB；
(2)若AC=25，BC=5，求FD的长．







23. (2022·浙江省丽水市)
如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD.点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．
(1)求证：∠CAG=∠AGC；
(2)当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若EFCE=25，求DPCP的值；
(3)当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．

24. (2022·湖南省湘西土家族苗族自治州)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若CF=2，sinC=35，求AE的长．






25. (2022·四川省南充市)
如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若CE=OA，sin∠BAC=45，求tan∠CEO的值．

26. (2022·四川省遂宁市)
如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△ABD∽△DCP；
(3)若AB=6，AC=8，求点O到AD的距离．


参考答案
1.(1)证明：如图，


连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=EC=12BC，
在△DOE和△BOE中，
OD=OBDE=BEOE=OE，
∴△DOE≌△BOE(SSS)，
∴∠ODE=∠ABC=90°，
∴OD⊥DE
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：∵∠ABC=90°，
∴∠BAD+∠CBD=90°，
由(1)知：∠BDC=90°，BC=2DE，
∴∠C+∠DBC=90°，BC=2DE=10，
∴∠C=∠ABD，
在Rt△ABC中，
AC=BCcosC=1045=252，
∵OA=OB，BE=CE，
∴OE=12AC=254． 
2.(1)证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BFD=90°，
∴∠CFD=90°．
∵⊙O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC=∠OEA=90°．
又∵∠C=90°，
∴∠C=∠CFD=∠OEC=90°，
∴∠EMF=90°，
∴四边形EMFC是矩形．
(2)解：在Rt△AEO中，∠AEO=90°，AE=5，OE=2，
∴OA=AE2+OE2=(5)2+22=3，
∴AB=OA+OB=3+2=5．
∵∠AEO=∠C=90°，
∴OE/​/BC，
∴△AEO∽△ACB，
∴ACAE=ABAO，即AC5=53，
∴AC=553，
∴CE=AC-AE=553-5=253．
又∵四边形EMFC是矩形，
∴FM=CE=253． 
3.(1)证明：连接OD，如图，

∵D为劣弧BC的中点，
∴CD=BD，
∴OD⊥BC．
∵PF是⊙O的切线，
∴OD⊥PF，
∴BC//PF；
(2)连接OD，BD，如图，

设AE=x，则AD=1+x．
∵D为劣弧BC的中点，
∴CD=BD，
∴CD=BD，∠DCB=∠CAD．
∵∠CDE=∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CDDE=ADCD，
∴CD2=DE⋅AD=1×(1+x)=1+x．
∴BD2=1+x．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD2+BD2=AB2．
∵⊙O的半径为5，
∴AB=25．
∴(1+x)2+(1+x)=(25)2，
解得：x=3或x=-6(不合题意，舍去)，
∴AE=3．
(3)连接OD，BD，设OD与BC交于点H，如图，

由(2)知：AE=3，AD=AE+DE=4，DB=1+3=2，
∵∠ADB=90°，
∴cos∠DAB=ADAB=425=255．
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∴cos∠ADO=cos∠DAB=255．
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，cos∠ADO=DHDE，
∴DH=DE×255=255．
∴OH=OD-DH=5-255=355．
∴BH=OB2-OH2=455，
∴CH=BH=455．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由(1)知：OD⊥PD，OH⊥BC，
∴四边形CHDP为矩形，
∴∠P=90°，CP=DH=255，DP=CH=455，
∴△DCP的面积=12×CP⋅DP=45． 
4.(1)证明：连接OD，如图：

∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠FAD=∠ODA，
∴OD/​/AF，
∵EF是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF；
(2)解：连接CO并延长交⊙O于K，连接DK，DC，如图：

∵CK是⊙O的直径，
∴∠CDK=90°，
∴∠K+∠DCK=90°，
∵OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，即∠ODC+∠CDF=90°，
∵OC=OD，
∴∠DCK=∠ODC，
∴∠K=∠CDF，
∵CD=CD，
∴∠FAD=∠K，
∴∠FAD=∠CDF，
∵∠F=∠F，
∴△FAD∽△FDC，
∴FAFD=FDFC，
∵CF=1，AC=2，
∴FA=CF+AC=3，
∴1+2FD=FD1，
解得FD=3，
在Rt△AFD中，tan∠FAD=FDFA=33，
∴∠FAD=30°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE=2∠FAD=60°，
∴AE=AFcos60∘=312=6，
∵AB=4，
∴BE=AE-AB=6-4=2，
答：BE的长为2． 
5.(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵BC=BC，
∴∠A=∠D，
又∵∠DEC=∠ABC，
∴∠D+∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°，
∴CD⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A=∠D，AC=2BC，
∴tanA=tanD，
即BCAC=CECD=12，
∴CD=2CE，
在Rt△CDE中，CD2+CE2=DE2，DE=45，
∴(2CE)2+CE2=(45)2，
解得CE=4，
即线段CE的长为4． 
6.(1)证明：连接OF．
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∵EF=FB，
∴∠CAF=∠FAB，
∴∠CAF=∠AFO，
∴OF//AC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．

(2)解：∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFB=∠AFB=90°，
∴∠AFO=∠DFB，
∵∠OAF=∠OFA，
∴∠DFB=∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG=∠FDG，
∵∠FGH=∠OAF+∠ADG，∠FHG=∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH=∠FHG=45°，
∴sin∠FHG=22；

(3)解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM=HN，
∵S△DHFS△DHB=FHHB=12⋅DF⋅HM12⋅DB⋅HN=DFDB，
∵△FGH是等腰直角三角形，GH=42，
∴FH=FG=4，
∴DFDB=42=2，
设DB=k，DF=2k，
∵∠FDB=∠ABF，∠DFB=∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2=DB⋅DA，
∴AD=4k，
∵GD平分∠ADF，
∴FGAG=DFAD=12，
∴AG=8，
∵∠AFB=90°，AF=12，FB=6，
∴AB=AF2+BF2=122+62=65，
∴⊙O的直径为65． 
7.(1)证明：连接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∵∠PCA=∠CBD，
∴∠PCA=∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；

(2)解：连接AE，设OB=OC=r，
∵PC=22OB，
∴PC=22r，
∴OP=OC2+PC2=r2+(22r)2=3r，
∵PB=12，
∴4r=12，
∴r=3，
由(1)可知，∠OCB=∠CBD，
∴OC/​/BD，
∴OCBD=OPPB，∠D=∠PCO=90°，
∴3BD=912，
∴BD=4，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠D=90°，
∴AE/​/PD，
∴BEBD=BABP，
∴BE4=912，
∴BE=3． 
8.(1)证明：∵BC是△ABC外接圆⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)证明：连接AF，CG，如图：

∵AG=AG，
∴∠AFE=∠GCE，
∵∠AEF=∠GEC，
∴△AEF∽△GEC，
∴AEEG=EFCE，
∴AE⋅CE=EG⋅EF，
∵E为AC的中点，
∴AE=CE，OE⊥AC，
∴CE2=OC2-OE2，AE⋅CE=CE⋅CE=CE2=EG⋅EF，
∴OC2-OE2=EG⋅EF，
∴(OC+OE)(OC-OE)=EG⋅EF；
(3)解：过O作ON⊥FG于N，延长EG交CD于M，如图：

∵∠OCD=∠ONM=90°，FG/​/BC，
∴四边形MNOC是矩形，
∴MN=OC=12BC=8，
∵ON⊥FG，
∴FN=GN，
∵EF=2EG，
∴FG=3EG，
∴NG=32EG，
∴NE=12EG，
∴EM=MN-NE=8-12EG，
由(2)知CE2=EG⋅EF=2EG2，
∴CM2=CE2-EM2=2EG2-(8-12EG)2=ON2，
而ON2=OE2-NE2=(OC2-CE2)-NE2，
∴2EG2-(8-12EG)2=(82-2EG2)-(12EG)2，
解得EG=33-1(负值已舍去)，
∴FG=3EG=333-3． 
9.(1)证明：连接BM，如图：

∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，
∴∠DCA=∠ABM，
∵∠MAN=90°，
∴MN为⊙O的直径，
∵AB⊥MN，
∴AM=BM，
∴∠ABM=∠BAM，
∴∠DCA=∠BAM，
∵BM=BM，
∴∠BAM=∠BCM，
∴∠DCA=∠BCM，
∴∠DCB=∠ACM，
∵AC=AC，
∴∠DBC=∠AMC，
∴△CMA∽△CBD；
(2)解：连接OC，如图：

由AM=2MN，设AN=x，则AM=2x，
∵MN为直径，
∴∠NAM=90°，
∴x2+(2x)2=102，
解得x=25，
∴AN=25，AM=45，
∵AB⊥MN，
∴2S△AMN=AN⋅AM=MN⋅AP，
∴AP=BP=AN⋅AMMN=25×4510=4，
∴PM=AM2-AP2=8，
∵MC=NC，
∴OC⊥MN，
∵OC=OM，
∴∠CMO=45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，CM=2OM=52，
∴PD=PM=8，
∴BD=PD+BP=12，
由(1)知△CMA∽△CBD，
∴BCCM=BDAM，即BC52=1245，
∴BC=310；
(3)解：连接CN交AM于K，连接KE，如图：

∵MN是⊙O直径，
∴∠MCN=90°=∠DPM，
∴∠CNM=90°-∠CMP=∠D，
∵tan∠MDB=34，
∴tan∠CNM=34，
∵AB⊥MN，
∴AN=BN，
∴∠KCE=∠KME，
∴C、K、E、M四点共圆，
∵∠NCM=90°，
∴∠KEM=90°=∠KEN，
而tan∠CNM=34，
∴KENE=34，
设KE=3m，则NE=4m，
∵tan∠KME=KEEM=ANAM=12，
∴EM=6m，
∴MENE=6m4m=32． 
10.(1)证明：如图1，∵点D，点E分别是半径OA，OB的中点，
∴OD=12OA，OE=12OB，
∵OA=OB，
∴OE=OD，
∵∠AOC=2∠CHB，∠BOC=2∠CHB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OC=OC，
∴△OCD≌△OCE(SAS)，
∴∠ODC=∠OEC；
(2)证明：∵CD⊥OA，
∴∠CDO=90°，
由(1)知：∠ODC=∠OEC=90°，
∴sin∠OCE=OEOC=12，
∴∠OCE=30°，
∴∠COE=60°，
∵∠H=12∠COE=30°，
∴∠H=∠OCE，
∴FC=FH；
(3)解：∵CO=OH，FC=FH，
∴FO⊥CH，
∴∠FOH=90°，
如图，连接AH，
∵∠AOC=∠BOC=60°，
∴∠AOH=∠BOH=120°，
∴AH=BH，∠AGH=60°，
∵AG：BG=5：3，
∴设AG=5x，BG=3x，
在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH，过点H作HN⊥CM于N，

∵∠HAM=∠HBG，
∴△HAM≌△HBG(SAS)，
∴MH=GH，
∴△MHG是等边三角形，
∴MG=HG=2，
∵AG=AM+MG，
∴5x=3x+2，
∴x=1，
∴AG=5，BG=AM=3，
∴MN=12GM=12×2=1，HN=3，
∴AN=MN+AM=4，
∴HB=HA=NA2+HN2=42+(3)2=19，
∵∠FOH=90°，∠OHF=30°，
∴∠OFH=60°，
∵OB=OH，
∴∠BHO=∠OBH=30°，
∴∠FOB=∠OBF=30°，
∴OF=BF，
在Rt△OFH中，∠OHF=30°，
∴HF=2OF，
∴HB=BF+HF=3OF=19，
∴OF=193． 
11.(1)证明：如图1，连接OC，

∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD/​/OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵AE=4BE，OA=OB，
设BE=x，则AB=3x，
∴OC=OB=1.5x，
∵AD/​/OC，
∴∠COE=∠DAB，
∴cos∠DAB=cos∠COE=OCOE=1.5x2.5x=35；
(3)解：由(2)知：OE=2.5x，OC=1.5x，
∴EC=OE2-OC2=(2.5x)2-(1.5x)2=2x，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF=90°，
∴∠AFG+∠FAG=90°，
∵∠COE+∠E=90°，∠COE=∠DAB，
∴∠E=∠AFH，
∵∠FAH=∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴FHAF=CEAE=2x4x=12． 
12.(1)①证明：∵将△ABC沿射线AC平移得到△DEF，
∴BE//CF，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE=∠ACB=90°，
连接OG，OE，

∵DE与⊙O相切于点G，
∴∠OGE=90°，
∴∠OBE=∠OGE=90°，
∵OB=OG，OE=OE，
∴Rt△BOE≌Rt△GOE(HL)，
∴BE=GE；

②解：过点D作DM⊥BE于M，

∴∠DMB=90°，
由(1)知∠CBE=∠BCF=90°，
∴四边形BCDM是矩形，
∴CD=BM，DM=BC，
由(1)可知BE=GE，
同理可证CD=DG，
设BE=x，CD=y，
在Rt△DME中，MD2+EM2=DE2，
∴(x-y)2+62=(x+y)2，
∴xy=9，
即BE⋅CD=9；

(2)①证明：延长HK交BE于点Q，

设∠ABC=α，
∵OB=OH，
∴∠BHO=∠OBH=α，
∴∠BOQ=∠BHO+∠OBH=2α，
∴∠BQO=90°-2α，
∵△ABC沿射线AC平移得到△DEF，△DEF沿DE折叠得到△DEF'，
∴∠DEF=∠DEF'=∠ABC=α，
∴∠BEF'=90°-2α，
∴∠BQO=∠BEF'，
∴HK//EF'；
②解：连接FF'，交DE于点N，

∵△DEF沿DE折叠，点F的对称点为F'，
∴ED⊥FF'，FN=12FF'，
∵HK是⊙O的直径∵，
∴∠HBK=90°，点F'恰好落在射线BK上，
∴BF'⊥AB，
∵△ABC沿射线AC方向平移得到△DEF，
∴AB/​/DE，BC=EF，
∴点B在FF'的延长线上，
∵BC是⊙O的直径，
∴HK=EF，
在△HBK和△ENF中，
∠HBK=∠ENF∠BHO=∠NEFHK=EF，
∴△HBK≌△ENF(AAS)，
∴BK=NF，
设BK=x，则BF=BK+KF'+FF'=x+3+2x=3x+3，
∵OB=OK，
∴∠OBK=∠OKB，
又∵∠HBK=∠BCF=90°，
∴△HBK∽△FCB，
∴BKBC=HKBF，
∴x6=63x+3，
解得：x1=3，x2=-4(不合题意，舍去)，
∴BK=3，
在Rt△HBK中，sin∠BHK=BKKH=36=12，
∴∠BHK=30°，
∴∠ABC=30°，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=tan30°=ACBC，
∴AC=6⋅tan30°=6×33=23，
即AC的长为23． 
13.(1)证明：如图，连接OC，OD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC，
∵∠OED=∠FEC，
∴∠OED=∠FCE，
∵AB是直径，D是AB的中点，
∴∠DOE=90°，
∴∠OED+∠ODC=90°，
∴∠FCE+∠OCD=90°，即∠OCF=90°，
∵OD是半径，
∴CF是⊙O的切线．

(2)解：过点G作GH⊥AB于点H．
设OA=OD=OC=OB=r，则OF=r+2，
在Rt△COF中，42+r2=(r+2)2，
∴r=3，
∵GH⊥AB，
∴∠GHB=90°，
∵∠DOE=90°，
∴∠GHB=∠DOE，
∴GH//DO，
∴BHBO=BGBD，
∵G为BD的中点，
∴BG=12BD，
∴BH=12BO=32，GH=12OD=32，
∴AH=AB-BH=6-32=92，
∴AG=GH2+AH2=(32)2+(92)2=3102． 
14.解：(1)∵∠AFB-∠BFD=∠ACB=α，①
又∵∠AFB+∠BFD=180°，②
②-①，得2∠BFD=180°-α，
∴∠BFD=90°-α2；
(2)由(1)得∠BFD=90°-α2，
∵∠ADB=∠ACB=α，
∴∠FBD=180°-∠ADB-∠BFD=90°-α2，
∴DB=DF，
∵FG/​/AC，
∴∠CAD=∠DFG，
∵∠CAD=∠DBE，
∴∠DFG=∠DBE，
在△BDE和△FDG中，
DB=DF∠DFG=∠DBEBE=FG，
∴△BDE≌△FDG(SAS)；
(3)①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG=∠BDE=α，
∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α，
∵DE=DG，
∴∠DGE=12(180°-∠FDG)=90°-α2，
∴∠DBG=180°-∠BDG-∠DGE=90°-3α2，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=3α2，
∴AC与AB所对的圆心角度数之比为3：2，
∴AC与AB的长度之比为3：2，
∵AB=2，
∴AC=3；
②如图，连接BO，

∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=α，
∴∠BOF=∠OBD+∠ODB=2α，
∵∠BDG=2α，
∴∠BOF=∠BDG，
∵∠BGD=∠BFO=90°-α2，
∴△BDG∽△BOF，
设△BDG与△BOF的相似比为k，
∴DGOF=BDBO=k，
∵OFOE=411，
∴设OF=4x，则OE=11x，DE=DG=4kx，
∴OB=OD=OE+DE=11x+4kx，BD=DF=OF+OD=15x+4kx，
∴BDOB=15x+4kx11x+4kx=15+4k11+4k，
由15+4k11+4k=k，得4k2+7k-15=0，
解得k=54或-3(舍去)，
∴OD=11x+4kx=16x，BD=15x+4kx=20x，
∴AD=2OD=32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB=BDAD=20x32x=58，
∴cosα=58． 
15.解：(1)如图1，连接OD，设半径为r，

∵CD切半圆于点D，
∴OD⊥CD，
∵BE⊥CD，
∴OD/​/BE，
∴△COD∽△CBE，
∴ODBE=COCB，
∴r3=5-r5，
解得r=158，
∴半圆O的半径为158；
(2)由(1)得，CA=CB-AB=5-2×158=54，
∵APBQ=54，BQ=x，
∴AP=54x，
∴CP=AP+AC，
∴y=54x+54；
(3)①显然∠PRQ<90°，所以分两种情形，
当∠RPQ=90°时，则四边形RPQE是矩形，
∴PR=QE，
∵PR=PC×sinC=35y=34x+34，
∴34x+34=3-x，
∴x=97，
当∠PQR=90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，

则四边形PHER是矩形，
∴PH=RE，EH=PR，
∵CR=CP⋅cosC=45y=x+1，
∴PH=RE=3-x=EQ，
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴∠PQH=45°=∠QPH，
∴HQ=HP=3-x，
由EH=PR得：(3-x)+(3-x)=34x+34，
∴x=2111，
综上，x的值为97或2111；
②如图，连接AF，QF'，由对称可知QF=QF'，∠F'QR=∠EQR=45°，

∴∠BQF'=90°，
∴QF=QF'=BQ⋅tanB=43x，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴BF=AB⋅cosB=94，
∴43x+x=94，
∴x=2728，
∴CF'BF'=BC-BF'BF'=BCBF'-1=3x-1=199． 
16.解：(1)DE与⊙O相切，理由如下：
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵BD2=BC⋅BE，
∴BDBC=BEBD，
∵∠CBD=∠DBE，
∴△BCD∽△BDE，
∴∠BDE=∠BCD=90°，
∵点D在圆上，
∴DE是⊙O的切线，
即：DE与⊙O相切；
(2)如图，

PA+PCPD=2仍然成立，理由如下：
作ED⊥PD，交PC的延长线于E，
∴∠EDP=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD，∠ADC=90°，AC⊥BD，
∴∠COD=∠AOD=90°，∠ADC=∠EDP，
∴∠ADC-∠PDC=∠EDP-∠PDC，
即：∠ADP=∠CDE，
∵CD=CD，
∴∠CPD=12∠COD=45°，
同理可得：∠APD=12∠AOD=45°，
∴∠E=90°-∠DPE=90°-45°=45°，
∴∠E=∠EPD，cosE=PDPE=22，
∴DE=PD，PEPD=2，
∴PC+CEPD=2，
在△PAD和△ECD中，
AD=CD∠ADP=∠EDCPD=DE，
∴△PAD≌△ECD(SAS)，
∴PA=CE，
∴PA+PCPD=2． 
17.(1)证明：连接OD．
∵BC是⊙O的切线，OD是⊙半径，D是切点，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD/​/AC，
∴∠ODA=∠CAD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；

(2)解：连接DE，过点D作DT⊥AB于点T，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∵tan∠CAD=tan∠DAE=12，
∴DEAD=12，
设DE=k，AD=2k，则AE=5k，
∵12⋅DE⋅AD=12⋅AE⋅DT，
∴DT=255k，
∴OT=OD2-DT2=(52k)2-(255k)2=3510k，
∵tan∠DOT=DTTO=BDOD，
∴255k3510k=352k，
∴k=9510，
∴OD=52k=94，
∴⊙O的半径为94． 
18.(1)解：线段AC与FH垂直，理由如下：
在正方形ABCD中，CD=CB，∠D=∠B=90°，∠DCA=∠BCA=45°，
在Rt△DCF和Rt△BCH中
CD=CBCF=CH，
∴Rt△DCF≌Rt△BCH(HL)，
∴∠DCF=∠BCH，
∴∠FCA=∠HCA，
又∵CF=CH，
∴AC⊥FH；
(2)证明：∵∠DAB=90°，
∴FH为圆的直径，
∴∠FPH=90°，
又∵CF=CH，AC⊥FH，
∴点E为FH的中点，
∴∠CFD=∠KHA，
又∵Rt△DCF≌Rt△BCH，
∴∠CFD=∠CHB，
∴∠KHA=∠CHB，
过点K作KM⊥AH，交AH于点M，

∴∠KMH=∠B=90°，
∴△KMH∽△CBH，KM//BC，
∴KHCH=KMBC，KMBC=AKAC，
∴KHCH=AKAC．
(3)解：设∠FHP=α，则∠FCA=∠HCA=∠FHP=α，
设⊙E的半径为r，则EF=AE=EH=r，
在Rt△EHK中，EHKH=cosα，即KH=EHcosα=rcosα，
在Rt△ECH中，EHCH=sinα，即CH=EHsinα=rsinα，
又∵点K是AC的中点，
∴KHCH=rcosαrsinα=tanα=AKAC=12，
∴cosα=255，sinα=55，
在Rt△CPK中，CPCK=cosα，即CP=CK⋅cosα，
在Rt△FPH中，PFFH=sinα，即PF=2r⋅sinα，
∵点K是线段AC的中点，
∴CK=AK=12AC=12(AE+CE)，
∴r+r⋅tanα=12(r+rtanα)，
解得：tana=12，
在Rt△EHK中，EKEH=tanα，即EK=r⋅tanα，
CK=AK=AE+EK=r+r⋅tanα=32r，
∴CP=CK⋅cosα=32r⋅255=355r，PF=2r⋅sinα=2r⋅55=255r，
∴CPPF=355r255r=32． 
19.解：(1)猜测⊙M与x轴相切，理由如下：
如图，连接OM，
∵AC平分∠OAM，
∴∠OAC=∠CAM，
又∵MC=AM，
∴∠CAM=∠ACM，
∴∠OAC=∠ACM，
∴OA/​/MC，
∵OA⊥x轴，
∴MC⊥x轴，
∵CM是半径，
∴⊙M与x轴相切．
(2)如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
∴AN=BN=12AB，
∵∠MCO=∠AOC=∠MNA=90°，
∴四边形MNOC是矩形，
∴NM=OC，MC=ON=5，
设AO=m，则OC=6-m，
∴AN=5-m，
在Rt△ANM中，由勾股定理可知，AM2=AN2+MN2，
∴52=(5-m)2+(6-m)2，
解得m=2或m=9(舍去)，
∴AN=3，
∴AB=6．
(3)如图，连接AD与CM交于点E，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
∴AD//x轴，
∴AD⊥MC，
由勾股定理可得AD=8，
∴D(8,-2)．
由(2)可得C(4,0)，
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
∴4k+b=08k+b=-2，解得k=-12b=2．
∴直线CD的解析式为：y=-12x+2． 
20.(1)证明：∵BE=CD，
∴∠BCF=∠FBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠FBC=90°，∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠A=∠ACF；

(2)解：连接CD．
∵∠A=∠ACF，∠FBC=∠BCF，
∴AF=FC=FB，
∴cos∠A=cos∠ACF=45=ACAB，
∵AC=8，
∴AB=10，BC=6，
∵BC是直径，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD，
∴CD=6×810=245，
∴BD=BC2-CD2=62-(245)2=185，
∵BF=AF=5，
∴DF=BF-BD=5-185=75，
∵∠DEF+∠DEC=180°，∠DEC+∠B=180°，
∴∠DEF=∠B=∠BCF，
∴DE/​/CB，
∴△DEF∽△BCF，
∴DEBC=DFFB，
∴DE6=755，
∴DE=4225． 
21.(1)证明：连接OC，如图，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴∠CAB=∠DAB．
∵∠COB=2∠CAB，
∴∠COB=2∠BAD．
∵∠ECD=2∠BAD，
∴∠ECD=∠COB．
∵AB⊥CD，
∴∠COB+∠OCH=90°，
∴∠OCH+∠ECD=90°，
∴∠OCE=90°．
∴OC⊥CF．
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
(2)解：①∵AB=10，
∴OA=OB=OC=5，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CH=DH=12CD=3．
∴OH=OC2-CH2=4，
∵OC⊥CF，CH⊥OE，
∴△OCH∽△OEC，
∴OCOE=OHOC，
∴5OE=45，
∴OE=254．
∴AE=OA+OE=5+254=454；
②过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，如图，

∵∠OCF=∠FGE=90°，∠CEO=∠GEF，
∴△OCE∽△FGE．
∴OCOE=FGFE=45，
设FG=4k，则FE=5k，
∴EG=EF2-FG2=3k，
∵DH⊥AB，FG⊥AB，
∴DH//FG．
∴AHAG=DHFG，
∴9454+3k=34k，
解得：k=54．
∴FG=4k=5．
∴△AEF的面积=12×AE⋅FG=2258． 
22.(1)证明：连接OD．
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=DB，
∴OD⊥AB，
∴AB/​/DF；

(2)解：过点C作CH⊥AB于点H．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=5，AC=25，
∴AB=AC2+BC2=(25)2+(5)2=5，
∵S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CH，
∴CH=25×55=2，
∴BH=BC2-CH2=1，
∴OH=OB-BH=52-1=32，
∵DF/​/AB，
∴∠COH=∠F，
∵∠CHO=∠ODF=90°，
∴△CHO∽△ODF，
∴CHOD=OHDF，
∴252=32DF，
∴DF=158． 
23.(1)证明：∵AH是⊙O的切线，
∴AH⊥AB，
∴∠GAB=90°，
∵A，E关于CD对称，AB⊥CD，
∴点E在AB上，CE=CA，
∴∠CEA=∠CAE，
∵∠CAE+∠CAG=90°，∠AEC+∠AGC=90°，
∴∠CAG=∠AGC；

(2)解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴AC=AD，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠CAD=∠ECD，
∴∠ADC=∠ECD，
∴CF/​/AD，
∴DPCP=ADCF，
∵CE=AC=AD，
∴DPCP=CECF，
∵EFCE=25，
∴CECF=57，
∴DPCP=57；

(3)解：如图1中，当OF/​/AC时，连接OC，BF，设CD交AB于点J，设CE=CA=x，BE=y．

∵OF//CA，
∴∠FOE=∠CAE=∠CEA，
∴FO=EF=1，
∵∠EFB+∠CFB=180°，∠EAC+∠CFB=180°，
∴∠EFB=∠EAC，
∵∠FEB=∠AEC，
∴△EFB∽△EAC，
∴EF：EA=EB：EC，
∴1⋅x=y⋅(2+y)，
∴x=y(2+y)①，
∵CE=CA.AJ⊥AE，
∴AJ=EJ=12(2+y)，
∵CJ2=OC2-OJ2=CE2-EJ2，
∴12-(2+y2-1)2=x2-(2+y2)2，
∴2+y=x2②，
由①②可得x=y⋅x2，
∴x=1y，
∴2+y=1y2，
∴y3+2y2-1=0，
∴(y3+1)+2(y2-1)=0，
∴(y+1)(y2-y+1)+2(y+1)(y-1)=0，
∴(y+1)(y2+y-1)=0，
∵y+1≠0，
∴y2+y-1=0，
∴y=5-12或-5-12(舍去)，
∴BE=5-12，
∴AE=AB+BE=2+5-12=3+52． 
24.(1)证明：连接OE，

方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠BAC=2∠OAE，
∵∠FOE=2∠OAE，
∴∠FOE=∠BAC，
∴OE/​/AB，
∵∠B=90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
方法二：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠OAE=∠BAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠BAE=∠OEA，
∴OE/​/AB，
∵∠B=90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：连接EF，

∵CF=2，sinC=35，
∴OEOF+CF=35，
∵OE=OF，
∴OE=OF=3，
∵OA=OF=3，
∴AC=OA+OF+CF=8，
∴AB=AC⋅sinC=8×35=245，
∵∠OAE=∠BAE，
∴cos∠OAE=cos∠BAE，
即ABAE=AEAF，
∴245AE=AE3+3，
解得AE=1255(舍去负数)，
∴AE的长为1255． 
25.(1)证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠OCB+∠DCB=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

(2)解：过点O作OH⊥BC于点H．
∵sin∠BAC=BCAB=45，
∴可以假设BC=4k，AB=5k，则AC=OC=CE=3k，
∵OH⊥BC，
∴CH=BH=2k，
∵OA=OB，
∴OH=12AC=32k，
∴EH=CE-CH=3k-2k=k，
∴tan∠CEO=OHEH=32kk=32． 
26.(1)证明：如图1，连接OD．

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴∠BOD=∠COD=90°，
∵BC//PD，
∴∠ODP=∠BOD=90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
(2)证明：∵BC//PD，
∴∠PDC=∠BCD．
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BAD=∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠PCD=180°，
∴∠ABD=∠PCD，
∴△ABD∽△DCP；
(3)解：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵AB=6，AC=8，
∴BC=62+82=10，
∵BD=CD，
∴BD=CD=52，
由(2)知：△ABD∽△DCP，
∴ABDC=BDCP，即652=52CP，
∴CP=253，
∴AP=AC+CP=8+253=493，
∵∠ADB=∠ACB=∠P，∠BAD=∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴ABAD=ADAP，即6AD=AD493，
∴AD2=6×493=98，
∴AD=72，
∵OE⊥AD，
∴DE=12AD=722，
∴OE=OD2-DE2=52-(722)2=22，
即点O到AD的距离是22．