2023年新高二数学暑假讲义+习题（人教A版） 第6讲 直线的方程

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根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。
知识梳理
1.直线的点斜式方程
2.直线的斜截式方程
3.直线的两点式方程和截距式方程
4.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))
5.直线的一般式方程
6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
3.2.1 直线的点斜式方程
名师导学
知识点1 求直线的点斜式方程
【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；
(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；
(4)过点D(2，1)和E(3，－4)．
【分析】求直线的点斜式方程的思路
【解答】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)]．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的方程为y－4＝－(x＋1)．
(3)∵直线与y轴平行，斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的横坐标都是－1，
故这条直线的方程为x＝－1.
(4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，
∴斜率k＝eq \f(－4－1,3－2)＝－5.
由点斜式得y－1＝－5(x－2)．
【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
【解析】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；
(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线方程为y－3＝x－2；
(3)y＝－1.
知识点2 直线的斜截式方程
【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【分析】直线的斜截式方程的求解策略：
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可．
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．
【解答】 (1)由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3).
由斜截式可得方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3).
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3.
【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
【解析】 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.
(2)∵k＝tan 60°＝eq \r(3)，∴y＝eq \r(3)x＋5.
(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，
∴直线过点(4，0)和(0，－2)．
∴k＝eq \f(－2－0,0－4)＝eq \f(1,2)，
∴y＝eq \f(1,2)x－2.
知识点3 点斜式、斜截式方程的综合应用
【例3-1】（新华区校级期末）(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
【分析】在解决有关直线位置关系的问题时，常常用到数形结合思想和待定系数法．数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法．而待定系数法是解析几何中求直线方程或其他曲线方程的重要方法．
【解答】(1)∵l1∥l2，∴a2－2＝－1，
又2a≠2，解得a＝－1.
(2)∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8).
【变式训练3-1】（黄冈期末）求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．
【证明】 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3)，
由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限．
法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3.))
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．
∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．
【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?
【解析】 假设存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.由题意可知，直线l的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k(k≠0)，则直线方程为y＋4＝k(x＋5)，则分别令y＝0，x＝0，可得直线l与x轴的交点为(eq \f(－5k＋4,k)，0)，与y轴的交点为(0，5k－4)．因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，
所以eq \f(1,2)|eq \f(－5k＋4,k)|·|5k－4|＝5，所以eq \f(－5k＋4,k)·(5k－4)＝±10，即25k2－30k＋16＝0(无解)或25k2－50k＋16＝0，所以k＝eq \f(8,5)或k＝eq \f(2,5)，
所以存在直线l满足题意，直线l的方程为y＋4＝eq \f(8,5)(x＋5)或y＋4＝eq \f(2,5)(x＋5).
名师导练
A组-[应知应会]
1．（宣城期末）过点，斜率是的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵直线过点且斜率为，
由直线方程的点斜式得：，
整理得：.
故选C.
2．（绵阳期末）已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
【答案】C
【解析】方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C.
3．（上饶期末）直线y＝eq \r(3)(x－eq \r(3))的斜率与在y轴上的截距分别是( )
A．eq \r(3)，eq \r(3) B．eq \r(3)，－3 C．eq \r(3)，3 D．－eq \r(3)，－3
【答案】B
【解析】由直线方程知直线斜率为eq \r(3)，令x＝0可得在y轴上的截距为y＝－3.故选B.
4．（通州区期末）直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
【答案】 B
【解析】 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
5．（龙凤区校级期末）过点且与直线垂直的直线l的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为所求直线与直线垂直，
所以其斜率为，
又所求直线过点，
因此，所求直线方程为：，即.
故选D.
6．（南关区校级期末）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线与直线平行，
直线的斜率与的斜率相等，即直线的斜率：；
又直线过点，
则由点斜式可知直线方程为
整理可得：
故选C.
7．（兴庆区校级期末）直线y＝2x－5在y轴上的截距是________．
【答案】 －5
【解析】 ∵令x＝0，则y＝－5，
∴直线y＝2x－5在y轴上的截距是－5.
8．（无锡期末）在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是________．
【答案】 y＝eq \r(3)x－6或y＝－eq \r(3)x－6
【解析】 与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为：
k＝tan 60°＝eq \r(3)，或k＝tan 120°＝－eq \r(3)，
∴y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是：y＝eq \r(3)x－6或y＝－eq \r(3)x－6.
9．（金牛区校级期末）与直线l：y＝eq \f(3,4)x＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为________．
【答案】 y＝eq \f(3,4)x－3
【解析】 根据题意知直线l的斜率k＝eq \f(3,4)，
故直线l1的斜率k1＝eq \f(3,4).
设直线l1的方程为y＝eq \f(3,4)x＋b，
则令y＝0，得它在x轴上的截距a＝－eq \f(4,3)b.
∵a＋b＝－eq \f(4,3)b＋b＝－eq \f(1,3)b＝1，
∴b＝－3.
∴直线l1的方程为y＝eq \f(3,4)x－3.
10．（南岗区校级期末）斜率为eq \f(3,4)，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．
【答案】 y＝eq \f(3,4)x±3
【解析】 设所求直线方程为y＝eq \f(3,4)x＋b，
令y＝0得x＝－eq \f(4b,3).
由题意得：|b|＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)b))＋eq \r(b2＋\f(16b2,9))＝12，
即|b|＋eq \f(4,3)|b|＋eq \f(5,3)|b|＝12，
即4|b|＝12，∴b＝±3，
∴所求直线方程为y＝eq \f(3,4)x±3.
11．（金华校级月考）写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2；
(2)直线过点A(3，1)且在y轴上的截距是－1.
【解析】 (1)斜率k＝tan 45°＝1，可得斜截式：y＝x＋2.
(2)k＝eq \f(－1－1,0－3)＝eq \f(2,3)，可得斜截式方程：y＝eq \f(2,3)x－1.
12．（洛龙区校级期末）(1)求经过点(1，1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的点斜式方程；
(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的斜截式方程．
【解析】 (1)∵所求直线与直线y＝2x＋7平行，
∴所求直线斜率为2，
由点斜式方程可得
y－1＝2(x－1)．
(2)∵所求直线与直线y＝3x－5垂直，
∴所求直线的斜率为－eq \f(1,3)，由点斜式方程得：
y＋2＝－eq \f(1,3)(x＋2)，
即y＝－eq \f(1,3)x－eq \f(8,3).
故所求的直线方程为y＝－eq \f(1,3)x－eq \f(8,3).
B组-[素养提升]
1．（诸暨市校级期中）已知三角形的顶点坐标是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程．
【解析】 直线AB的斜率kAB＝eq \f(－3－0,3－（－5）)＝－eq \f(3,8)，又过点A(－5，0)，∴直线AB的点斜式方程为y＝－eq \f(3,8)(x＋5)，
即所求边AB所在直线的斜截式方程为y＝－eq \f(3,8)x－eq \f(15,8).
同理，直线BC的方程为y－2＝－eq \f(5,3)x，即y＝－eq \f(5,3)x＋2.
直线AC的方程为y－2＝eq \f(2,5)x，即y＝eq \f(2,5)x＋2.
∴边AB，BC，AC所在直线的斜截式方程分别为y＝
－eq \f(3,8)x－eq \f(15,8)，y＝－eq \f(5,3)x＋2，y＝eq \f(2,5)x＋2.
3.2.2 直线的两点式方程
名师导学
知识点1 直线的两点式方程
【例1-1】（武侯区校级期末）已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程．
【分析】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
【解答】直线AB过A(1，3)，B(－2，－1)，其两点式方程为eq \f(y－3,－1－3)＝eq \f(x－1,－2－1)，整理，得4x－3y＋5＝0，这就是直线AB的方程．直线AC垂直于x轴，其方程为x＝1.直线BC平行于x轴，其方程为y＝－1.
【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( )
A．2x－y－1＝0 B．x－2y＋3＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
【答案】C
【解析】∵直线过两点(1，1)和(2，－1)，∴直线的两点式方程为eq \f(y－（－1）,1－（－1）)＝eq \f(x－2,1－2)，整理得2x＋y－3＝0，故选C.
知识点2 直线的截距式方程
【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
【分析】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况．
【解答】(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1.又l过点A(3，4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,－a)＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为eq \f(x,－1)＋eq \f(y,1)＝1，
即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点A(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
【解析】(1)当截距不为0时，设
直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，又知l过(3，4)，
∴eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，解得a＝7，
∴直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，直线方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
知识点3 直线的综合应用
【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．
【分析】(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
【解答】如图，过B(3，－3)，C(0，2)的两点式方程为eq \f(y－2,－3－2)＝eq \f(x－0,3－0)，
整理得5x＋3y－6＝0.
这就是BC边所在直线的方程．
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为(eq \f(3＋0,2)，eq \f(－3＋2,2))，
即(eq \f(3,2)，－eq \f(1,2))．过A(－5，0)，M(eq \f(3,2)，－eq \f(1,2))的直线的方程为eq \f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq \f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.
这就是BC边上中线所在直线的方程．
【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
【解析】当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意．
此时，直线的斜率为eq \f(1,2)，所以直线l的方程为y＝eq \f(1,2)x，即x－2y＝0.
当直线不过原点时，由题意可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.
又因为过点A，所以eq \f(4,a)＋eq \f(2,b)＝1. ①
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
所以|a|＝|b|. ②
由①②联立方程组，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝6，,b＝6))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2.))
所以所求直线的方程为eq \f(x,6)＋eq \f(y,6)＝1或eq \f(x,2)＋eq \f(y,－2)＝1，
化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2，
即直线l的方程为x＋y－6＝0或x－y－2＝0，
综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－6＝0或x－y－2＝0.
名师导练
A组-[应知应会]
1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为 ( )
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
【解析】 代入两点式得直线方程eq \f(y－1,4－1)＝eq \f(x＋2,1＋2)，整理得y＝x＋3.
【答案】 A
2．（红桥区期中）经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是 ( )
A.eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1 B.eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1
C.eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1 D.eq \f(x,3)－eq \f(y,4)＝1
【解析】 由P，Q两点坐标知直线在x轴、y轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1，即eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1.
【答案】 C
3．（江宁区校级月考）过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解析】 当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，把点P(4，－3)代入方程得a＝1.因而所求直线有2条．
【答案】 B
4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为 ( )
A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0
C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝0
【解析】 经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为：
eq \f(y－0,－5－0)＝eq \f(x－5,2－5)，整理，得5x－3y－25＝0.
故选B.
【答案】 B
5．（朝阳区校级月考）已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
【解析】 显然a≠0.把直线l：ax＋y－2＝0化为eq \f(x,\f(2,a))＋eq \f(y,2)＝1.
∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，
∴eq \f(2,a)＝2，解得a＝1，故选A.
【答案】 A
6．（庐江县校级期末）点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则 ( )
A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10
C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝5
【解析】 ∵M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，∴eq \f(4＋6,2)＝n，eq \f(m－9,2)＝－3；
∴n＝5，m＝3，故选D.
【答案】 D
7．（海淀区校级期末）已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________．
【解析】 由于A(2，－1)，B(6，1)，故线段AB中点的坐标为(4，0)，
又直线在y轴上的截距是－3，
∴直线方程为eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1，即3x－4y－12＝0.
【答案】 3x－4y－12＝0
8．（红岗区校级期末）过点P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．
【解析】 当直线过原点时，斜率等于eq \f(2－0,3－0)＝eq \f(2,3)，故直线的方程为y＝eq \f(2,3)x，即2x－3y＝0.
当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＋m＝0，把P(3，2)代入直线的方程得m＝－5，
故求得的直线方程为x＋y－5＝0，
综上，满足条件的直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
【答案】 2x－3y＝0或x＋y－5＝0
9．（兴庆区校级期末）求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
【解】 (1)当横截距、纵截距都是零时，
设所求的直线方程为y＝kx，将(－2，3)代入y＝kx中，得k＝－eq \f(3,2)，
此时，直线方程为y＝－eq \f(3,2)x，即3x＋2y＝0.
(2)当横截距、纵截距都不是零时，
设所求直线方程式为eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1，
将(－2，3)代入所设方程，解得a＝2，此时，直线方程为x＋2y－4＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋2y－4＝0或3x＋2y＝0.
10．（城关区校级期末）求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．
【解】 过A，B两点的直线的两点式方程是eq \f(y＋1,3＋1)＝eq \f(x－4,－2－4).
点斜式为：y＋1＝－eq \f(2,3)(x－4)，斜截式为：y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(5,3)，截距式为：eq \f(x,\f(5,2))＋eq \f(y,\f(5,3))＝1.
B组-[素养提升]
1．（鼓楼区校级期末）两条直线l1：eq \f(x,a)－eq \f(y,b)＝1和l2：eq \f(x,b)－eq \f(y,a)＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
【解析】 化为截距式eq \f(x,a)＋eq \f(y,－b)＝1，eq \f(x,b)＋eq \f(y,－a)＝1.
假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合．
【答案】 A
2.（秦州区校级期末）直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞)) D．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
【解析】 设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B(3，0)时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C(－3，0)时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝eq \f(1,2)，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
【答案】 D
3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．
【解析】 设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－eq \f(d,3)，－eq \f(d,4)，∴6＝eq \f(1,2)×|－eq \f(d,3)|×|－eq \f(d,4)|＝eq \f(d2,24)，∴d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.
【答案】 3或－3
4．（启东市校级月考）已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
【解析】 直线AB的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，设P(x，y)，则x＝3－eq \f(3,4)y，
∴xy＝3y－eq \f(3,4)y2＝eq \f(3,4)(－y2＋4y)＝eq \f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3，
即当P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))时，xy取得最大值3.
【答案】 3
5．（杨浦区校级期末）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．
【解】 (1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋5,2)，\f(y0－2,2)))，BC边的中点为Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋7,2)，\f(y0＋3,2))).
因为M在y轴上，所以eq \f(x0＋5,2)＝0，得x0＝－5.又因为N在x轴上，所以eq \f(y0＋3,2)＝0，
所以y0＝－3.所以C(－5，－3)．
(2)由(1)可得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,2)))，N(1，0)，
所以直线MN的方程为eq \f(x,1)＋eq \f(y,－\f(5,2))＝1，
即5x－2y－5＝0.
3.2.3 直线的一般式方程
名师导学
知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化
【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－eq \f(4,3)，且不经过第一象限的是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
(2)直线eq \r(3)x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )
A.eq \r(3) B．－5 C.eq \f(9,5) D．－3eq \r(3)
【分析】(1)当A≠0时，方程可化为x＋eq \f(B,A)y＋eq \f(C,A)＝0，只需求eq \f(B,A)，eq \f(C,A)的值；若B≠0，则方程化为eq \f(A,B)x＋y＋eq \f(C,B)＝0，只需确定eq \f(A,B)，eq \f(C,B)的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
【解答】(1)将一般式化为斜截式，斜率为－eq \f(4,3)的有：B、C两项．
又y＝－eq \f(4,3)x＋14过点(0，14)即直线过第一象限，
所以只有B项满足要求．
(2)令y＝0，则x＝－3eq \r(3).
【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是eq \r(3)，且经过点A(5，3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(4)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝eq \r(3)(x－5)，化为一般式为：eq \r(3)x－y＋3－5eq \r(3)＝0.
(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y＝4x－2，
化为一般式为：4x－y－2＝0.
(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：eq \f(y－5,－1－5)＝eq \f(x－（－1）,2－（－1）).
化为一般式方程为：2x＋y－3＝0.
(4)由截距式方程可得，所求直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,－1)＝1，化成一般式方程为：x＋3y＋3＝0.
知识点2 直线的一般式方程的应用
【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．
(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.
【解析】(1)若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋5m＋6＝0，,m2＋3m＝0，))得m＝－3，
所以m≠－3时，方程表示一条直线．
(2)因为已知直线的倾斜角为45°，
所以此直线的斜率是1，
所以－eq \f(2m2＋m－3,m2－m)＝1，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－m≠0，,2m2＋m－3＝－（m2－m），))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠0且m≠1，,m＝－1或m＝1.))所以m＝－1.
因为已知直线在x轴上的截距为1，
令y＝0得x＝eq \f(4m－1,2m2＋m－3)，
所以eq \f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m2＋m－3≠0，,4m－1＝2m2＋m－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠1且m≠－\f(3,2)，,m＝－\f(1,2)或m＝2.))
所以m＝－eq \f(1,2)或m＝2.
【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
【解析】l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3，
∴l的斜率为－eq \f(3,4).
法一 (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq \f(3,4).
又∵l′过点(－1，3)，
由点斜式知方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为eq \f(4,3)，又l′过点(－1，3)，
由点斜式可得方程为y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二 (1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x－y＋2＝0平行，那么直线l的方程是( )
A．2x－y－3＝0 B．x＋2y－4＝0
C．2x－y－4＝0 D．x－2y－4＝0
【解析】 由题意可设所求的方程为2x－y＋c＝0(c≠2)，
代入已知点(2，1)，可得4－1＋c＝0，即c＝－3，
故所求直线的方程为：2x－y－3＝0，故选A.
【答案】 A
【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0.若l1∥l2，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________．
【解析】 直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，分别化为：y＝－eq \f(a＋1,3)x－eq \f(2,3)，y＝－eq \f(1,2)x－eq \f(1,2).若l1∥l2，则－eq \f(a＋1,3)＝－eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(1,2).
若l1⊥l2，则－eq \f(a＋1,3)×(－eq \f(1,2))＝－1，解得a＝－7.
【答案】 eq \f(1,2) －7
名师导练
A组-[应知应会]
1．（芜湖校级月考）已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【解析】 由题意可把ax＋by＝c化为y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(c,b).
∵ab<0，bc＜0，∴直线的斜率k＝－eq \f(a,b)>0，
直线在y轴上的截距eq \f(c,b)<0.
由此可知直线通过第一、三、四象限．
【答案】 C
2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
【解析】 由题意，得所求直线斜率为eq \f(1,2)，且过点(1，0)．故所求直线方程为y＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0.
【答案】 A
3．（辽源期末）若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于( )
A．－1 B．1C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
【解析】 由两直线垂直，得1×2＋(－2)m＝0，解得m＝1.
【答案】 B
4．（宜兴县校级期中）直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )
【解析】 将l1与l2的方程化为斜截式得：
y＝ax＋b，y＝bx＋a，
根据斜率和截距的符号可得选C.
【答案】 C
5．（城关区校级期末）直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角45°，则m的值为( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
【解析】 ∵直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角45°，当m2＝4时，与题意不符，∴eq \f(2m2－5m＋2,m2－4)＝tan 45°＝1，解得m＝3或m＝2(舍去)．
故选D.
【答案】 D
6．（金凤区校级期末）若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相平行，那么a的值等于________．
【解析】 ∵直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0分别化为y＝－eq \f(a,2)x－eq \f(1,2)，y＝－x＋2，
则－eq \f(a,2)＝－1，
解得a＝2.
【答案】 2
7．（越秀区校级期末）已知过点A(－2，m)，B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0互相垂直，则m＝________．
【解析】 因为两条直线垂直，直线2x＋y－1＝0的斜率为－2，所以过点A(－2，m)，B(m，4)的直线的斜率eq \f(4－m,m＋2)＝－eq \f(1,2)，解得m＝2.
【答案】 2
8．（凯里市校级期末）已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________．
【解析】 由条件知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a1＋3b1＋4＝0，,2a2＋3b2＋4＝0，))易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求．
【答案】 2x＋3y＋4＝0
9．（和平区校级期中）若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m需满足的条件；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
【解】 (1)由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－3m＋2≠0，,m－2≠0，))解得m≠2.
(2)由题意知，m≠2，
由－eq \f(m2－3m＋2,m－2)＝1，解得m＝0.
10．（如东县期中）(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
【解】 法一 (1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，需eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2).
解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－eq \f(3,2)时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq \f(a＋2,1－a)，k2＝－eq \f(a－1,2a＋3).
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即(－eq \f(a＋2,1－a))·(－eq \f(a－1,2a＋3))＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二 (1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
B组-[素养提升]
1．（昌江区校级期末）若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3能构成三角形，则a满足的条件是________．
【解析】 由直线x＋y＝0与x－y＝0都过(0，0)点，而x＋ay＝3不过(0，0)点，故只需满足x＋ay＝3不与x＋y＝0与x－y＝0平行即可，故a≠±1.
【答案】 a≠±1
2．（河南校级月考）已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
(1)【证明】 将直线l的方程整理为y－eq \f(3,5)＝a(x－eq \f(1,5))，∴l的斜率为a，且过定点A(eq \f(1,5)，eq \f(3,5))，而点A(eq \f(1,5)，eq \f(3,5))在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．
(2)【解】 当a＝0时，直线l的方程为5y－3＝0，不符合题意，故要使l不经过第二象限，需a>0且l在y轴上的截距不大于零，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,－\f(a－3,5)≤0，))∴a≥3.
3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．
(1)求AB的中垂线方程；
(2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；
(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．
【解】 (1)因为eq \f(8＋2,2)＝5，eq \f(－6＋2,2)＝－2，
所以AB的中点坐标为(5，－2)．
因为kAB＝eq \f(－6－2,8－2)＝－eq \f(4,3)，
所以AB的中垂线的斜率为eq \f(3,4)，
故AB的中垂线的方程为y＋2＝eq \f(3,4)(x－5)
即3x－4y－23＝0.
(2)由(1)知kAB＝－eq \f(4,3)，
所以直线l的方程为y＋3＝－eq \f(4,3)(x－2)，
即4x＋3y＋1＝0.
(3)设B(2，2)关于直线l的对称点为B′(m，n)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n－2,m－2)＝\f(3,4)，,4×\f(m＋2,2)＋3×\f(n＋2,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(14,5)，,n＝－\f(8,5)，))
所以B′(－eq \f(14,5)，－eq \f(8,5))，kB′A＝eq \f(－6＋\f(8,5),8＋\f(14,5))＝－eq \f(11,27)，
所以反射光线所在直线方程为y＋6＝－eq \f(11,27)(x－8)．
即11x＋27y＋74＝0.
点斜式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
图示
方程形式
y－y0＝k(x－x0)
适用条件
斜率存在
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程式
y＝kx＋b
适用条件
斜率存在
名称
两点式
截距式
条件
两点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)
A(a，0)，B(0，b)且ab≠0
方程
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
形式
Ax＋By＋C＝0
条件
A，B不同时为0