2023年浙江省宁波市中考数学试卷（含解析）

2023年浙江省宁波市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  据中国宁波网消息：年一季度宁波全市实现地区生产总值元，同比增长数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数单位：环及方差单位：环如下表所示：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.  如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，的取值范围是(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

8.  茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业某村有土地公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的倍少公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为公顷，种粮食的面积为公顷，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 点在该函数的图象上
B. 当且时，
C. 该函数的图象与轴一定有交点
D. 当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧

10.  如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，，设，，的面积分别为，，，若要求出的值，只需知道(    )

A. 的面积
B. 的面积
C. 的面积
D. 矩形的面积

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  要使分式有意义，的取值应满足______ ．

13.  一个不透明的袋子里装有个绿球、个黑球和个红球，它们除颜色外其余相同从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为______ ．

14.  如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为______ 结果保留

15.  如图，在中，，为边上一点，以为直径的半圆与相切于点，连结，，是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为______ ．

16.  如图，点，分别在函数图象的两支上在第一象限，连结交轴于点点，在函数图象上，轴，轴，连结，若，的面积为，四边形的面积为，则的值为______ ，的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
．
．

18.  本小题分
在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形顶点均在格点上．

在图中先画出一个以格点为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移个单位后的．
将图中的格点绕点按顺时针方向旋转，画出经旋转后的．

19.  本小题分
如图，已知二次函数图象经过点和．
求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
当时，请根据图象直接写出的取值范围．

20.  本小题分
宁波象山作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校名学生中随机抽取部分学生进行知识测试测试满分为分，得分均为不小于的整数，并将测试成绩分为四个等第：合格，一般，良好，优秀，制作了如下统计图部分信息未给出．

由图中给出的信息解答下列问题：
求测试成绩为一般的学生人数，并补全频数分布直方图．
求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
这次测试成绩的中位数是什么等级？
如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？

21.  本小题分
某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图所示．
如图，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上，两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
如图，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点，分别测得气球的仰角为，为，地面上点，，在同一水平直线上，，求气球离地面的高度参考数据：，，

 

22.  本小题分
某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午：，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路如图到爱国主义教育基地进行研学上午：，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程与所用时间的函数关系如图所示．

求大巴离营地的路程与所用时间的函数表达式及的值．
求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．

23.  本小题分
定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

如图，在四边形中，，，对角线平分求证：四边形为邻等四边形．
如图，在的方格纸中，，，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点．
如图，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连结，过作交的延长线于点若，，求四边形的周长．

24.  本小题分
如图，锐角内接于，为的中点，连结并延长交于点，连结，，过作的垂线交于点，点在上，连结，，若平分且．

求的度数．
求证：．
若，求的值，
如图，当点恰好在上且时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
则最小的数为：，
故选：．
正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此进行判断即可．
本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：、和不是同类项，不能进行合并，故选项不符合题意；
B、，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、，运算计算正确，故选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项的法则、同底数幂除法、幂的乘方以及同底数幂乘法的运算法则计算即可．
本题考查了合并同类项的法则、同底数幂除法、幂的乘方以及同底数幂乘法的运算法则，解题的关键是熟记相关的运算法则并灵活运用．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，上边是一个长方形，下边也是一个长方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图判断即可．
本题考查了简单几何体的三视图，需掌握：从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
，
解集表示在数轴上如图：

故选：．
解出每个不等式，取公共解集，再表示在数轴上即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取公共解集的方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
甲、丙、丁三人中，丁的方差较小，
丁发挥最稳定，
选择丁参加比赛．
故选：．
根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．
本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图象可知，当时，的取值范围是或，
故选：．
根据图象即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．
 

8.【答案】 

【解析】解：设茶园的面积为公顷，种粮食的面积为公顷，
由题意得：，
故选：．
根据“茶园的面积比种粮食面积的倍少公顷”和“茶园的面积与种粮食面积的和为公顷”列方程组求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，当时，
，
，
点不在该函数的图象上，
故选项A不正确；
当时，抛物线的解析式为：，
抛物线的顶点坐标为，
即当时，，
故得选项B不正确；
令，则，
，
该函数的图象与轴一定有交点，
故选项C正确；
该抛物线的对称轴为：，
又，
，
该抛物线的对称轴一定在直线的右侧，
故选项D不正确．
故选：．
将点代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断；将代入抛物线的解析式求出顶点坐标为，据此可对选项B进行判断；令，则，然后判断该方程判别式的符号即可对选项C进行判断；求出抛物线的解析式为：，然后根据得，据此可对选项C进行判断．
此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求二次函数的顶点、对称轴以及判定与轴有无交点的方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：作于点，交于点，
四边形是矩形，
，，，，
四边形是矩形，，
，，
，
只需知道，就可求出的值，
故选：．
作于点，交于点，可证明四边形是矩形，，可推导出，所以只需知道，就可求出的值，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的判定与性质、三角形的面积公式、矩形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

解：．
故答案是：．
【分析】利用平方差公式分解即可．
本题考查了运用公式法因式分解，属于基础题．  

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
当分母不等于时，分式有意义．
本题考查了分式有意义的条件，掌握解不等式的方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：袋子里装有个绿球、个黑球和个红球，
从袋中任意摸出一个球是绿球的概率为．
故答案为：．
根据概率公式可知，用绿球的个数除以球的总数即可．
此题考查了概率公式，熟知概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：烟囱帽的侧面积为：，
故答案为：．
根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的侧面展开图是扇形以及扇形面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，连接，，
半圆与相切于点，
，
在中，，．
，
，
解得，
，
当时，此时与重合，
；
如图，当时，
在中，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
；
如图，当时，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
过点作于点，
，，
，
≌，
，
，
为边上一点，不符合题意，舍去，
综上所述：当为等腰三角形时，的长为或．
故答案为：或．
连接，，根据切线的性质和勾股定理求出，然后分三种情况讨论：当时，此时与重合，如图，当时，如图，当时，分别进行求解即可．
此题属于圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性强，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
 

16.【答案】   

【解析】解：设，
轴，且点在函数上，

，且点在函数上，

轴，点在函数上，

的面积为，
．
．
的面积为，四边形的面积为，
．
．
又．
．
故答案为：，．
依据题意，设，再由轴，轴，，可得，，，再结合的面积为，四边形的面积为，即可得解．
本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】根据零指数幂的定义、绝对值的代数意义以及二次根式的性质解答即可；
根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂的定义、平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则．
 

18.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求． 

【解析】根据等腰三角形的定义，平移变换的性质作出图形即可；
根据旋转变换的性质作出图形即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：把和代入得：
，
解得，
二次函数的表达式为，
，
顶点坐标为；
如图：

点关于对称轴直线的对称点，
当时，的范围是． 

【解析】用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
求出关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．
 

20.【答案】解：被调查的总人数为人，
测试成绩为一般的学生人数为人，
补全图形如下：

，
答：扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为；
这组数据的中位数是第、个数据的平均数，而这个数据均落在良好等级，
所以这次测试成绩的中位数是良好；
人，
答：估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有人． 

【解析】由优秀人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出一般等级人数，从而补全图形；
用乘以样本中“良好”等级人数所占比例即可；
根据中位数的定义求解即可；
用总人数乘以样本中良好和优秀人数和所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是计算出抽取的人数，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：根据题意得：；
设，
，，
，
，
，
在中，，
，即，
解得：，
，
答：气球离地面的高度是． 

【解析】由已知直接可得答案；
设，可得，，而，有，即可解得答案．
本题考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
 

22.【答案】解：由函数图象可得，大巴速度为，
；
当时，，
解得，
；
大巴离营地的路程与所用时间的函数表达式为，的值为；
由函数图象可得，军车速度为，
设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为，
根据题意得：，
解得：，
答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 

【解析】求出大巴速度为，即得；令得；
求出军车速度为，设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为，可得：，即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
 

23.【答案】证明：在四边形中，，，
，
对角线平分，
，
，
，
，
，
四边形为邻等四边形；
解：如图，，点、即为所求；


解：如图，四边形是邻等四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
设，
，
，
过点作于点，得矩形，

，，
，
在和中，根据勾股定理得：
，，
，
，
整理得，
解得，不符合题意，舍去，
，
四边形的周长． 

【解析】根据邻等四边形定义证明即可；
根据邻等四边形定义利用网格即可画图；
先证明四边形是平行四边形，得，设，得，过点作于点，得矩形，得，，所以，根据勾股定理得，求出的值，进而可得四边形的周长．
本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，矩形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是理解邻等四边形定义．
 

24.【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：，为中点，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
解：如图，过点作于点，

设，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
的值为；
解：如图，过点作于点，连结交于点，

，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
设，
，
∽，
，
，
解得或舍去，
．
的长为． 

【解析】根据同弧圆周角相等得，然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题；
证明≌，即可解决问题；
过点作于点，设，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题；
过点作于点，连结交于点，分别证明≌，≌，得，设，然后由∽，对应边成比例，求出的值，进而可求的长．
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题．