高中数学1.3 直线的方程教学设计

《直线的方程（第一课时）》教案

1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；

2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；

3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.

4.通过直线方程概念的学习，培养数学抽象的核心素养．

5.通过直线方程及适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．

教学重点：利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程.

教学难点：结合具体实例，明确直线的方程和方程的直线的概念.

一、新课导入

情境：如图，如果把风筝看作一个点，随着风筝的高低起伏，线的方向也会发生变化，这条线可以看做是满足某种运动规律的点的集合.如何从数学的角度解释线的变化情况呢？那就来学习本节内容吧！

二、新知探究

问题1：在平面内，需要知道哪几个条件，才能确定直线的位置？

答：两点或一点 + 斜率.

问题2：若直线l经过点，斜率为2，点在直线上运动，那么

点的坐标和之间满足什么关系？

答：设上不同于点的任意一点,如图所示.

即得方程.

这说明：直线上任一点的坐标都满足.

可以验证,以方程的解为坐标的点都在直线上,所以就把方程叫做直线的方程.

定义概念

一般地,如果一条直线l每一点的坐标都是一个方程的解,并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,那么这个方程称为直线l的方程.

问题3：直线经过点，斜率为，点在直线上运动，那么点的坐标满足什么条件？

答：设上不同于点的任意一点,

由直线的斜率得：

即得方程.

由上述推导过程,我们可知：经过点且斜率为的直线的每一个点的坐标都是方程的解；反之,以方程的解为坐标的每个点都在直线上.               

定义概念

如果已知直线上一点，斜率为，方程称为直线方程的点斜式.

想一想：点斜式方程能不能表示平面内所有的直线?  

答：不能，当斜率不存在时，不能使用点斜式.

想一想：那这个时候直线的方程是什么？

答：当直线的斜率不存在时，直线的方程是 .

三、应用举例

例1 求出经过点P(1,2)且满足下列条件的直线的方程，并画出图像：

（1）倾斜角为  （2）与x轴垂直    （3）与x轴平行

分析：直接套用直线的点斜式方程.

解: （1）斜率 所以 (x+1),

化简得.

（2）与x轴垂直，倾斜角为，斜率不存在，

直线方程为x=1.　

（3）与x轴平行,倾斜角为,斜率,

       直线方程为.

例2求经过两点的直线方程. 

分析：先求出直线的斜率，再套用直线的点斜式方程.

解：由经过两点的斜率公式计算,

可得：

所以该直线的点斜式为：

即.

归纳总结：利用点斜式求直线方程的步骤：

(1)确定直线要经过的定点(x0,y0);

(2)明确直线的斜率k;

(3)由点斜式直接写出直线方程.

注意:点斜式使用的前提条件是斜率存在,当斜率不存在时,直线没有点斜式方程,其方程为x=x0.

定义概念

如果已知直线上一点及斜率,它的点斜式方程：

,即,我们称为直线在轴上的截距,称为直线方程的斜截式.

说一说：利用斜截式方程求直线方程，需要知道哪些要素？

答：用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意截距和距离的区别.

例3 已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,求直线l的斜截式方程.

分析：由条件先求出直线的斜率和y轴上的截距，再套用直线的斜截式方程.

解:由题意知,直线的斜率为,

故设直线的方程为

在轴上的截距为在轴上的截距为,

所以

所以直线的斜截式方程为

归纳总结：利用斜截式求直线方程的步骤：

(1)明确直线的斜率k;

(2)确定直线在y轴的截距b;

(3)由斜截式直接写出直线方程.

设计意图：从学生的认知出发，通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出直线方程的点斜式和斜截式，发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

四、课堂练习

1. 已知直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为(　)

2．已知直线l过点P(2,1),且直线l的斜率为直线x-4y+3=0的斜率的2倍,则直线l的点斜式方程为　　　　　　. 

3. 求斜率是直线x-y+1=0的斜率的3倍,且分别满足下列条件的直线方程.

(1)经过点P(3,4);

(2)在x轴上的截距是-5.

4. 求满足下列条件的直线的方程:

(1)过点P(-4,3),斜率k=-2;

(2)过点P(2,-5),且与x轴平行;

(3)过点P(3,-1),且与y轴平行.

参考答案：

1. 解：∵,∴,

∴直线l的方程为

2. 解：由得其斜率为,

故所求直线l的斜率为,

又直线l过点

所以直线l的点斜式方程为.

3. 解:由x-y+1=0,得y=x+1,

∴直线x-y+1=0的斜率为1.

由题意可得,所求直线的斜率k=3.

(1)所求直线的方程是y-4=3(x-3),即3x-y-5=0.

(2)由题意知直线经过点(-5,0),

所求直线的方程是y-0=3(x+5),即3x-y+15=0.

4. 解:(1)直线过点P(-4,3),斜率k=-2,由点斜式得y-3=-2(x+4),

所以所求方程为2x+y+5=0.

(2)直线过点P(2,-5),且与x轴平行,则斜率k=0,

故所求直线方程为y+5=0(x-2),即y=-5.

(3)直线与y轴平行,说明斜率不存在,

又因为直线过点P(3,-1),所以直线的方程为x=3.

五、课堂小结

直线方程：已知直线方向和一个点

六、布置作业

教材第11页练习1、3.