北师大版 (2019)1.1 平均变化率教学设计

第二章  导数及其应用

2.1 平均变化率与瞬时变化率

1. 从实例分析中理解平均变化率和瞬时变化率的意义，会求简单函数在某一区间的平均变化率和在某一点处的瞬时变化率；

2. 领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，使学生体会、理解平均变化率与瞬时变化率的联系．

重点：函数在某一点处的瞬时变化率．

难点：从平均变化率到瞬时变化率的逼近．

一、新课导入

问题1：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图：

比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？

答案：①根据图象可以看出在这两段时间下降的体温一样多；②这两段时间的长度不一样，因此在20 min到30 min这段时间内，体温变化较快．

我们可以用单位时间内的变化情况来刻画快慢；如，在0 min到20 min这段时间内，单位时间体温变化为：，在20 min到30 min这段时间内，单位时间体温变化为：，单位时间里，20 min到30 min这段时间内提问变化量大，这段时间内的体温变化就快．

二、新知探究

平均变化率：

对一般的函数来说，当自变量x从变为时，函数值从变为，它在区间[，]的平均变化率．

通常我们把自变量的变化称作自变量x的改变量，记作，函数值的变化称作函数值y的改变量，记作．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即

用它来刻画函数值在区间[，]上变化的快慢．

问题2：函数平均变化率有怎样的几何意义？

答案：函数的平均变化率的几何意义是函数图象上过，两点的直线的斜率(如图)，即．

设计意图：通过学生熟悉的生活体验，提炼出数学模型，归纳出函数平均变化率的概念，让学生体会“数学来源于生活”，感知如何探讨问题的本质，学会用数学语言和数学观点分析问题.

如果一块岩石突然松动，从峭壁顶上垂直下落，请估算岩石在时刻t=5s时的速度．

问题３：用数学语言表达岩石下落过程中的平均速度

答案：下落的岩石是自由落体，由物理学知识可得，其中是下落高度，是时间．

于是，取一小段时间由到，可得这一小段时间内的平均速度．

追问：你能计算某一时刻的速度吗？

答案：我们可以用平均速度逼近某一时刻的速度．

若想求时刻的速度，当很小时，时刻的速度就可以用[，]内的平均速度来表示，取=5，再取越来越小的，观察一下对应的平均速度的情况，列表如下

如果时间进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在=5 s这个时刻的瞬时速度．

从以上的计算可以看出，当时间趋于=5 s时，平均速度趋于49m/s．

瞬时变化率：

对于一般的函数，在自变量x从变到的过程中，若设，，则该函数的平均变化率为=，

如果当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在点的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．

问题4：平均变化率与瞬时变化率有什么关系？

答案：区别：平均变化率刻画函数值在区间[，]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点处变化的快慢；

联系：当趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在处的瞬时变化率，它是一个固定值．

（2）“趋于0”的含义

趋于0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，且始终．

三、应用举例

例1 已知函数，且时，求函数增量和平均变化率．

解 因为，所以 ．

所以当，时，，则

总结：求函数平均变化率的三个步骤：

第一步，求自变量的增量；

第二步，求函数值的增量；

第三步，求平均变化率．

例2. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)表示，求物体在t=1s时的瞬时速度．

解 ，

当趋于0时，趋于3，即物体在t=1s时的瞬时速度为3 m/s．

探究：若例题中的条件不变，试求物体的初速度．

解 求物体的初速度，即求物体在t=1s时的瞬时速度．

∵，

当趋于0时，趋于1，即物体在t=1s时的瞬时速度为1 m/s．

探究：若例题中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s．

解 设物体在时的瞬时速度为9m/s．

又，

当趋于0时，趋于，则，所以．

则物体在4s时的瞬时速度为9m/s．

总结： 求函数在点处的瞬时变化率的步骤：

(1)求；

(2)计算，并化简，直到当时有意义为止；

(3)将代入化简后的即得瞬时变化率．

四、课堂练习

1．在求解平均变化率时，自变量的变化量应满足(   )

A.>0     B.<0     C.    D.可为任意实数

2．函数在区间[m，n]上的平均变化率为_________．

3．一质点运动规律是(s的单位为m，t的单位为s），则在t=1 s时的瞬时速度估计是________m/s．

参考答案：

　1．答案C   解析 因平均变化率为，故

　2．答案８  解析 因平均变化率为

3．答案2   解析  

∴，当趋于0时，趋于2．

五、课堂小结

１.概念：平均变化率，瞬时变化率．

２.平均变化率与瞬时变化率的区别与联系：

区别：平均变化率刻画函数值在区间[，]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点处变化的快慢；

联系：当趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在处的瞬时变化率，它是一个固定值．

六、布置作业

教材第52页练习第2，3，4题．