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专题3.24 用函数解决实际问题（一）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用）
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这是一份专题3.24 用函数解决实际问题（一）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用），共40页。试卷主要包含了之间的函数关系如图中抛物线所示，之间满足如图所示的一次函数关系，，，交于点，连接，设，的面积为，之间的函数图象，与x之间的关系式为y＝﹣x+9，近似满足函数关系等内容，欢迎下载使用。
专题3.24 用函数解决实际问题（一）
1．（2021·山东青岛·统考中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
2．（2022·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1) 求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2) 若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3) 设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
3．（2012·湖北武汉·中考真题）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m) 随时间t(单位：h) 的变化满足函数关系h＝－(t－19) 2＋8(0≤t≤40) 且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
4．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）求与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．
5．（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1) 若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2) 当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
6．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
(1) 请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
(2) 若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
7．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
(1) 填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2) 求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3) 出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
8．（2022·湖北荆门·统考中考真题）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．
(1) 求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
(2) 若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？
9．（2022·北京·统考中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．
某运动员进行了两次训练．
(1) 第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2) 第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．
10．（2022·江西·统考中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
(1) c的值为__________；
(2) ①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3) 若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
11．（2022·浙江宁波·统考中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
(1) 求y关于x的函数表达式．
(2) 每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
12．（2021·山东德州·中考真题）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的成本（万元）与产品数量（件之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为60万元．
(1) 当城生产多少件产品时，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？
(2) 从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和3万元件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和2万元件．地需要90件，地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使，两城运费的和最小？
13．（2020·浙江台州·统考中考真题）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2 y2-y3．
14．（2018·四川广元·中考真题）某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走．
（1）假如每天能运x立方米，所需时间为y天，写出y与x之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
（3）在（2）的条件下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
15．（2017·浙江丽水·中考真题）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午00之前到达杭州市场？请说明理由；
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
16．（2017·四川乐山·中考真题）某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．
17．（2023·云南·校考一模）云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天．
(1) 写出y与x之间的函数表达式；
(2) 如果每天用水立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？
18．（2022·安徽合肥·校考二模）已知某商品的进价为每件元，我班数学兴趣小组经过市场调查，整理出该商品在第x（）天的售价与销量的相关信息如下表：
第x天
日销售单价（元/千克）
日销售量（千克）
(1) 第几天该商品的销售单价是元？
(2) 在这天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
19．（2023·辽宁阜新·校考一模）某玩具连锁店研制出一种新式文具，试销一段时间后发现，若每件文具的售价不超过元，每天可销售件；若每件文具售价超过元，每提高元，每天的销量就会减少件，但每件文具售价不得高于元，这家文具连锁店每天需要支付因这种文具而产生的其他费用（不含文具成本）元，设每件文具的售价为（元），文具连锁店每件利润为元，文具连锁店每天销售这种文具的纯收入为（元）．（注：纯收入＝销售额﹣成本﹣其他费用）
(1) 根据题意，填写下表：
文具的销售量（件）
…
___
___
…
每件文具售价（元）
…
…
(2) 经调查，该文具店每天销售这种文具的每件收入为（元）与零售价（元/件）满足一次函数关系，其图象如图，求出与之间的函数关系式；
(3) 如果这种文具每件的售价不超过元，那么如何定价才能使该文具连锁店每天销售这种文具的纯收入最高？最高纯收入为多少元？
20．（2023·云南昭通·校考一模）如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点．
(1) 求抛物线所对应的函数表达式；
(2) 当的面积为4时，求点D的坐标；
(3) 过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 当的面积最大时，求点P的坐标；
(3) 在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在；说明理由
22．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，，三点．
(1) 求该抛物线的表达式与顶点坐标；
(2) 点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．
23．（2023·辽宁鞍山·统考一模）某超市春节期间出售某种品牌大米，进价为39元/袋，每周销售量y（袋）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当以50元每袋出售时，每周可以卖300袋；当以65元每袋出售时，每周可以卖150袋．
(1) 求y与x之间的函数关系式；
(2) 为了捐资助学，超市决定每销售一袋大米就捐赠1元钱给贫困山区学生，如果每周这种大米的销售量不低于240袋，当销售单价为多少元时，每周获取的利润最大，最大利润是多少？
24．（2022·四川凉山·统考中考真题）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
(1) 求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
(2) 该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
参考答案
1．（1）；（2）；（3）70米
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
（2）∵时，，
∵的图象是过原点的抛物线，
∴设，
∴点，在抛物线上．
∴，即，
解得，
∴．
答：与的函数关系式为．
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，
由得或.
①时，
，
∵，∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，的最大值为；
②时，
，
∵，∴拋物线开口向上，
又∵对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，的最大值为70．
∵，
∴高度差的最大值为70米．
答：高度差的最大值为70米．
【点拨】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
2．(1) ；(2) 40元或20元；(3) 当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
3．(1) y＝－x2＋11(2) 禁止船只通行时间为32小时．
解：二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系．
（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解．
（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．
4．(1) AD=；(2) ，2≤x＜4.
【分析】(1) 由比例求出CD与CP的关系式,再求出AD.
(2) 把AD当作底,CP当作高,利用三角形面积公式求出S与x的函数表达式,再由条件求出范围即可.
解：(1) ∵PD∥AB,AC=3,BC=4,CP=x,
∴,即.
∴.
∴AD=.
(2) .
对称轴为,二次函数开口向下,
∴S随x增大而减小时x的取值为2≤x＜4.
【点拨】本题考查三角形动点问题和二次函数图象问题,关键在于熟练掌握基础运算方法.
5．(1) x的值为2m；
(2) 当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD) =8-x，
依题意得：3x(8-x) =36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去) ，
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x) =-3(x-4) 2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【点拨】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．(1) 且x为整数．(2) 李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【分析】（1）根据题意列出，得到结果．
（2）根据销售利润=销售量（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．
（1）解：由题意得
∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是，且x为整数．
（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元
则
∵
∴抛物线开口向下
∵对称轴是直线
∴当时，w的值随x值的增大而增大
∵x为正整数，∴此时，当时，
当时，w的值随x值的增大而减小
∵x为正整数，∴此时，当时，
∵
∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【点拨】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．
7．(1) 300，800(2) （）(3) 分钟，分钟，6分钟
【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进而可求甲的速度；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围；
（3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可．
（1）解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，
∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，
∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，
∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，
故答案为：300，800；
（2）解：由（1）可知G（6，2 400），
设直线FG的解析式为，
∵过F（3，0），G（6，2 400）两点，
∴，
解得：，
∴直线FG的解析式为：，
自变量x的取值范围是；
（3）解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，
①乙从B地到A地时，两人相距600米，
由题意得：300t＋800t＝600，
解得：；
②乙从A地前往C时，两人相距600米，
由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，
解得：或6，
答：出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点拨】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
8．(1) z＝﹣+12x﹣320，当x＝60时，z最大，最大利润为40(2) 45≤x≤75，x＝45时，销售量最大
【分析】（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣40，可得 z 与x的函数解析式，再求出时，z最大，代入即可．
（2）当 z =17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出 x的范围，结合 y 与 x的函数关系式，从而解决问题．
解：（1）由题可知：
z＝y（x﹣30）﹣50
＝（﹣）（x﹣30）﹣50
＝﹣+12x﹣320，
∴当时，z最大，
∴最大利润为：﹣＝40；
（2）当z＝17.5时，17.5＝﹣+12x﹣320，
∴x1＝45，x2＝75，
∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0，
∴45≤x≤75，
∵y＝﹣x+9．y随x的增大而减小，
∴x＝45时，销售量最大．
【点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出 z 关于x的函数的解析式是解题的关键．
9．(1) 23.20 m；(2)
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；
（2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可．
（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，
∴，，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m，
根据表格中的数据可知，当时，，代入得：
，解得：，
∴函数关系关系式为：．
（2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，
解得：或，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，
第二次训练时，，
解得：或，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键．
10．(1) 66
(2) ①基准点K的高度h为21m；②b＞；
(3) 他的落地点能超过K点，理由见分析．
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
（1）解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
11．(1) （，且x为整数）(2) 每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴（，且x为整数）；
（2）解：设每平方米小番茄产量为W千克，
．
∴当时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
12．(1) A城生产20件，最小值是5700万元；
(2) 从城把该产品运往地的产品数量为20件，则从城把该产品运往地的产品数量为0件；从城把该产品运往地的产品数量为70件，则从城把该产品运往地的产品数量为10件时，可使，两城运费的和最小．
【分析】（1）设A，两城生产这批产品的总成本的和为（万元），则W等于A城生产产品的总成本加上B城生产产品的总成本，由此可列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，分别用含n的式子表示出从A城把该产品运往D地的产品数量、从B城把该产品运往C地的产品数量及从B城把该产品运往D地的产品数量，再列不等式组求得n的取值范围，然后用含n的式子表示出A，B两城总运费之和P，根据一次函数的性质可得答案．
（1）解：设A，两城生产这批产品的总成本的和为（万元），
则
，
∴当时，取得最小值，最小值为5700万元，
∴城生产20件，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；
（2）设从A城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，从城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，运费的和为（万元），
由题意得：，
解得，
，
根据一次函数的性质可得：
P随n增大而减小，
∴当时，取得最小值，最小值为110，
∴从城把该产品运往地的产品数量为20件，则从城把该产品运往地的产品数量为0件；
从城把该产品运往地的产品数量为70件，则从城把该产品运往地的产品数量为10件时，可使A、两城运费的和最小．
【点拨】本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数和二次函数的性质．
13．（1）；（2）
【分析】(1) 设反比例函数解析式为，将点(3,400) 代入求出即可，最后注意自变量的取值范围.
(2) 分别将x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3的值求出，然后再比较大小求解.
解：(1) 设反比例函数解析式为
将点(3,400) 代入，即得
故反比例函数的解析式为：.
故答案为：.
(2) 当x=6时，代入反比例函数中，解得，
当x=8时，代入反比例函数中，解得，
当x=10时，代入反比例函数中，解得，
∴
∴.
故答案为：>.
【点拨】本题考查了反比例函数的解析式求法、反比例函数的图像性质等，点在反比例函数上，则将点的坐标代入解析式中，得到等式进而求解.
14．（1）；（2）20；（3）5
解：【分析】（1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式；
（2）把x=12×5=60代入，即可求得天数；
（3）首先算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解．
解：（1）∵xy＝1200，∴y＝；
（2）x＝12×5＝60，将x＝60代入y＝，
得y＝＝20，
答：5辆这样的拖拉机要用20天才能运完；
（3）运了8天后剩余的垃圾有1200－8×60＝720（米3），
剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，则每天至少运720÷6＝120（米3），则需要拖拉机120÷12＝10（辆），10－5＝5（辆），
即至少需要增加5辆这样的拖拉机才能按时完成任务．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义求解．
15．（1）；（2）不能；（3）75≤v≤．
解：试题分析：（1）根据表格中数据，可知V是t的反比例函数，设V=，利用待定系数法求出k即可；
（2）根据时间t=2.5，求出速度，即可判断；
（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可；
解：（1）根据表格中数据，可知V=，
∵v=75时，t=4，
∴k=75×4=300，
∴．
（2） ∵10﹣7.5=2.5，
∴t=2.5时，v=300÷2.5=120＞100，
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午00之前到达杭州市场．
（3）∵3.5≤t≤4，∴75≤v≤．
答：平均速度v的取值范围是75≤v≤．
考点：反比例函数的应用．
16．（1）；（2）①0.4；②1.13．
试题分析：（1）根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；
②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解；
解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b，当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6，∴，解得k=﹣2.4，b=13.2，∴一次函数解析式为y=﹣2.4x+13.2．
把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，左边≠右边，∴其不是一次函数．
同理．其也不是二次函数．
设其为反比例函数．解析式为．
当x=2.5时，y=7.2，可得：7.2=，解得k=18
∴反比例函数是．
验证：当x=3时，y==6，符合反比例函数．
同理可验证x=4时，y=4.5，x=4.5时，y=4成立．
可用反比例函数表示其变化规律．
（2）①当x=5万元时，y=3.6．
4﹣3.6=0.4（万元），∴生产成本每件比2009年降低0.4万元．
②当y=3.2万元时，3.2=，∴x=5.625，∴5.625﹣4.5=1.125≈1.13（万元）
∴还约需投入1.13万元．
考点：反比例函数的应用．
17．(1)
(2) 36天
【分析】（1）求出蓄水池总储水量，然后得出关系式即可；
（2）根据（1）中的关系式求出当时的y值即可．
（1）解：（立方米），
∴y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：当时，（天），
∴蓄水池剩余的水能维持36天．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质和意义是解题的关键．
18．(1) 第天或天该商品的销售单价是元(2) 在这天中，第天获得的利润最大，最大利润是元
【分析】（1）根据该商品的销售单价是元，可求出x的值，此题得解；
（2）设每天获得的利润为y元，分及两种情况找出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质及反比例函数的性质，可求出当及时y的最大值，比较后即可得出结论．
（1）解：当时，；
当时，，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第天或天该商品的销售单价是元；
（2）设每天获得的利润为y元，
当时，，
即，
∵，
∴当时，y取得最大值，最大值为；
当时，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值，最大值，
∵，
∴在这天中，第天获得的利润最大，最大利润是元．
【点拨】本题考查了二次函数的应用以及反比例的应用，分及两种情况，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
19．(1) ；(2) ；(3) 当售价为元时可该使该文具连锁店每天销售这种文具的的纯收入最高，最高纯收入为元
【分析】（1）根据表中文具的销售量和售价的变化情况填空即可；
（2）利用表中的对应值确定一次函数解析式即可；
（3）分和两种情况，根据“纯收入=（售价进价）×销售量每天固定成本”可得函数解析式，当时，利用一次函数的增减性求解；当时将二次函数配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解；综合以上两种情况下的最值，从而得出答案．
（1）解：根据题意，当时，销售量为300件，
当时，销售量为（件），
补全表格如图：
文具的销售量（件）
…
…
每件文具售价（元）
…
…
（2）解：与之间的函数关系式为，
把点和代入上式得
，
解得，
即与之间的函数关系式为；
（3）解：时，，
解得，
所以文具的进价为元，每件利润，
当每件文具售价不超过元，即时，；
当每件文具售价超过元，即时，；
①当时，中随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值；
②当时，，
，
∴当时，随的增大而增大，
，
∴当时，取得最大值；
综上，当时，取得最大值；
答：当售价为元时可该使该文具连锁店每天销售这种文具的的纯收入最高，最高纯收入为元．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此正确列出函数解析式，还要熟练掌握一次函数和二次函数的性质．
20．(1) (2) 点D的坐标为；(3) 存在点D，使得，点D的坐标为
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形面积公式可求与平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；
（3）取点，连接，则，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标．
（1）解：将代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如下图，过点D作，交y轴与点M，连接，设点M的坐标为，使得的面积为4，
，
则，
，
点，
直线的解析式为，
的解析式为，
联立抛物线解析式，
解得：，
点D的坐标为；
（3）存在，
取点，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
点，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：
，
解得：（舍去），，
点D的坐标为，
综上所述：存在点D，使得，点D的坐标为．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式．
21．(1) (2) (3) 存在，或
【分析】(1) 首先根据二次函数的解析式，可求得点C的坐标，根据对称性质即可求得点D的坐标，即可求得一次函数解析式及点B的坐标，再利用待定系数法，即可求得抛物线的解析式；
(2) 设，则，，可求得，再根据及二次函数的性质，即可解决问题；
(3) 由(2) 知，，，，再分两种情况，即可分别求解．
（1）解：令，则，
，
∵点C与点D关于x轴对称．
，
把代入，得，
，
，
，
令，得，
解得，
，
把B点坐标代入中，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设，则，，
则，
，
，
∴当时，的面积最大，
此时，P点的坐标为；
（3）解：存在，
由(2) 知，，，
，
点Q在y轴上，
，
当时，以Q，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形，
，且点Q在y轴上，
点Q的纵坐标为：可
或．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，平行四边形的判定，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
22．(1) ，顶点坐标为(2) 或或
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，然后化成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）设，然后分当为对角线时， 当为对角线时， 当为对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
（1）解：设抛物线解析式为，
把点代入抛物线解析式中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为
（2）解：设，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知：
，
∴，
∴，
∴；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知：
，
∴，
∴，
∴；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知：
，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点P的坐标为或或．
【点拨】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
23．(1) (2) 当销售单价为元时，每周获取的利润最大，最大利润是元
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设每周获取的利润为W，根据利润（销售单价进价1）销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意得，，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设每周获取的利润为W，
由题意得，
，
∵每周这种大米的销售量不低于240袋，
∴，
∴，
∵，
∴当时，W最大，最大为，
∴当销售单价为元时，每周获取的利润最大，最大利润是元．
【点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，正确列出每周利润关于销售单价的二次函数关系式是解题的关键．
24．(1) 型羽毛球拍的单价为40元，型羽毛球拍的单价为32元(2) 最省钱的购买方案是采购20副型羽毛球拍，10副型羽毛球拍；最少费用为1120元，理由见分析
【分析】（1）设型羽毛球拍的单价为元，型羽毛球拍的单价为元，根据“购买3副型羽毛球拍和4副型羽毛球拍共需248元；购买5副型羽毛球拍和2副型羽毛球拍共需264元”建立方程组，解方程组即可得；
（2）设该班采购型羽毛球拍副，购买的费用为元，则采购型羽毛球拍副，结合（1）的结论可得，再根据“型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍”求出的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得．
（1）解：设型羽毛球拍的单价为元，型羽毛球拍的单价为元，
由题意得：，
解得，
答：型羽毛球拍的单价为40元，型羽毛球拍的单价为32元．
（2）解：设该班采购型羽毛球拍副，购买的费用为元，则采购型羽毛球拍副，
由（1）的结论得：，
型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，
，
解得，
在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为，
此时，
答：最省钱的购买方案是采购20副型羽毛球拍，10副型羽毛球拍；最少费用为1120元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和函数关系式是解题关键．
专题3.24 用函数解决实际问题（一）
1．（2021·山东青岛·统考中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
2．（2022·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1) 求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2) 若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3) 设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
3．（2012·湖北武汉·中考真题）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m) 随时间t(单位：h) 的变化满足函数关系h＝－(t－19) 2＋8(0≤t≤40) 且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
4．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）求与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．
5．（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1) 若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2) 当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
6．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
(1) 请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
(2) 若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
7．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
(1) 填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2) 求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3) 出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
8．（2022·湖北荆门·统考中考真题）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．
(1) 求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
(2) 若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？
9．（2022·北京·统考中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．
某运动员进行了两次训练．
(1) 第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2) 第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．
10．（2022·江西·统考中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
(1) c的值为__________；
(2) ①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3) 若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
11．（2022·浙江宁波·统考中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
(1) 求y关于x的函数表达式．
(2) 每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
12．（2021·山东德州·中考真题）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的成本（万元）与产品数量（件之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为60万元．
(1) 当城生产多少件产品时，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？
(2) 从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和3万元件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和2万元件．地需要90件，地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使，两城运费的和最小？
13．（2020·浙江台州·统考中考真题）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2 y2-y3．
14．（2018·四川广元·中考真题）某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走．
（1）假如每天能运x立方米，所需时间为y天，写出y与x之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
（3）在（2）的条件下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
15．（2017·浙江丽水·中考真题）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午00之前到达杭州市场？请说明理由；
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
16．（2017·四川乐山·中考真题）某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．
17．（2023·云南·校考一模）云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天．
(1) 写出y与x之间的函数表达式；
(2) 如果每天用水立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？
18．（2022·安徽合肥·校考二模）已知某商品的进价为每件元，我班数学兴趣小组经过市场调查，整理出该商品在第x（）天的售价与销量的相关信息如下表：
第x天
日销售单价（元/千克）
日销售量（千克）
(1) 第几天该商品的销售单价是元？
(2) 在这天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
19．（2023·辽宁阜新·校考一模）某玩具连锁店研制出一种新式文具，试销一段时间后发现，若每件文具的售价不超过元，每天可销售件；若每件文具售价超过元，每提高元，每天的销量就会减少件，但每件文具售价不得高于元，这家文具连锁店每天需要支付因这种文具而产生的其他费用（不含文具成本）元，设每件文具的售价为（元），文具连锁店每件利润为元，文具连锁店每天销售这种文具的纯收入为（元）．（注：纯收入＝销售额﹣成本﹣其他费用）
(1) 根据题意，填写下表：
文具的销售量（件）
…
___
___
…
每件文具售价（元）
…
…
(2) 经调查，该文具店每天销售这种文具的每件收入为（元）与零售价（元/件）满足一次函数关系，其图象如图，求出与之间的函数关系式；
(3) 如果这种文具每件的售价不超过元，那么如何定价才能使该文具连锁店每天销售这种文具的纯收入最高？最高纯收入为多少元？
20．（2023·云南昭通·校考一模）如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点．
(1) 求抛物线所对应的函数表达式；
(2) 当的面积为4时，求点D的坐标；
(3) 过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 当的面积最大时，求点P的坐标；
(3) 在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在；说明理由
22．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，，三点．
(1) 求该抛物线的表达式与顶点坐标；
(2) 点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．
23．（2023·辽宁鞍山·统考一模）某超市春节期间出售某种品牌大米，进价为39元/袋，每周销售量y（袋）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当以50元每袋出售时，每周可以卖300袋；当以65元每袋出售时，每周可以卖150袋．
(1) 求y与x之间的函数关系式；
(2) 为了捐资助学，超市决定每销售一袋大米就捐赠1元钱给贫困山区学生，如果每周这种大米的销售量不低于240袋，当销售单价为多少元时，每周获取的利润最大，最大利润是多少？
24．（2022·四川凉山·统考中考真题）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
(1) 求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
(2) 该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
参考答案
1．（1）；（2）；（3）70米
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
（2）∵时，，
∵的图象是过原点的抛物线，
∴设，
∴点，在抛物线上．
∴，即，
解得，
∴．
答：与的函数关系式为．
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，
由得或.
①时，
，
∵，∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，的最大值为；
②时，
，
∵，∴拋物线开口向上，
又∵对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，的最大值为70．
∵，
∴高度差的最大值为70米．
答：高度差的最大值为70米．
【点拨】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
2．(1) ；(2) 40元或20元；(3) 当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
3．(1) y＝－x2＋11(2) 禁止船只通行时间为32小时．
解：二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系．
（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解．
（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．
4．(1) AD=；(2) ，2≤x＜4.
【分析】(1) 由比例求出CD与CP的关系式,再求出AD.
(2) 把AD当作底,CP当作高,利用三角形面积公式求出S与x的函数表达式,再由条件求出范围即可.
解：(1) ∵PD∥AB,AC=3,BC=4,CP=x,
∴,即.
∴.
∴AD=.
(2) .
对称轴为,二次函数开口向下,
∴S随x增大而减小时x的取值为2≤x＜4.
【点拨】本题考查三角形动点问题和二次函数图象问题,关键在于熟练掌握基础运算方法.
5．(1) x的值为2m；
(2) 当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD) =8-x，
依题意得：3x(8-x) =36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去) ，
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x) =-3(x-4) 2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【点拨】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．(1) 且x为整数．(2) 李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【分析】（1）根据题意列出，得到结果．
（2）根据销售利润=销售量（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．
（1）解：由题意得
∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是，且x为整数．
（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元
则
∵
∴抛物线开口向下
∵对称轴是直线
∴当时，w的值随x值的增大而增大
∵x为正整数，∴此时，当时，
当时，w的值随x值的增大而减小
∵x为正整数，∴此时，当时，
∵
∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【点拨】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．
7．(1) 300，800(2) （）(3) 分钟，分钟，6分钟
【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进而可求甲的速度；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围；
（3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可．
（1）解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，
∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，
∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，
∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，
故答案为：300，800；
（2）解：由（1）可知G（6，2 400），
设直线FG的解析式为，
∵过F（3，0），G（6，2 400）两点，
∴，
解得：，
∴直线FG的解析式为：，
自变量x的取值范围是；
（3）解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，
①乙从B地到A地时，两人相距600米，
由题意得：300t＋800t＝600，
解得：；
②乙从A地前往C时，两人相距600米，
由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，
解得：或6，
答：出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点拨】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
8．(1) z＝﹣+12x﹣320，当x＝60时，z最大，最大利润为40(2) 45≤x≤75，x＝45时，销售量最大
【分析】（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣40，可得 z 与x的函数解析式，再求出时，z最大，代入即可．
（2）当 z =17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出 x的范围，结合 y 与 x的函数关系式，从而解决问题．
解：（1）由题可知：
z＝y（x﹣30）﹣50
＝（﹣）（x﹣30）﹣50
＝﹣+12x﹣320，
∴当时，z最大，
∴最大利润为：﹣＝40；
（2）当z＝17.5时，17.5＝﹣+12x﹣320，
∴x1＝45，x2＝75，
∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0，
∴45≤x≤75，
∵y＝﹣x+9．y随x的增大而减小，
∴x＝45时，销售量最大．
【点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出 z 关于x的函数的解析式是解题的关键．
9．(1) 23.20 m；(2)
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；
（2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可．
（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，
∴，，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m，
根据表格中的数据可知，当时，，代入得：
，解得：，
∴函数关系关系式为：．
（2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，
解得：或，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，
第二次训练时，，
解得：或，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键．
10．(1) 66
(2) ①基准点K的高度h为21m；②b＞；
(3) 他的落地点能超过K点，理由见分析．
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
（1）解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
11．(1) （，且x为整数）(2) 每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴（，且x为整数）；
（2）解：设每平方米小番茄产量为W千克，
．
∴当时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
12．(1) A城生产20件，最小值是5700万元；
(2) 从城把该产品运往地的产品数量为20件，则从城把该产品运往地的产品数量为0件；从城把该产品运往地的产品数量为70件，则从城把该产品运往地的产品数量为10件时，可使，两城运费的和最小．
【分析】（1）设A，两城生产这批产品的总成本的和为（万元），则W等于A城生产产品的总成本加上B城生产产品的总成本，由此可列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，分别用含n的式子表示出从A城把该产品运往D地的产品数量、从B城把该产品运往C地的产品数量及从B城把该产品运往D地的产品数量，再列不等式组求得n的取值范围，然后用含n的式子表示出A，B两城总运费之和P，根据一次函数的性质可得答案．
（1）解：设A，两城生产这批产品的总成本的和为（万元），
则
，
∴当时，取得最小值，最小值为5700万元，
∴城生产20件，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；
（2）设从A城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，从城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，运费的和为（万元），
由题意得：，
解得，
，
根据一次函数的性质可得：
P随n增大而减小，
∴当时，取得最小值，最小值为110，
∴从城把该产品运往地的产品数量为20件，则从城把该产品运往地的产品数量为0件；
从城把该产品运往地的产品数量为70件，则从城把该产品运往地的产品数量为10件时，可使A、两城运费的和最小．
【点拨】本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数和二次函数的性质．
13．（1）；（2）
【分析】(1) 设反比例函数解析式为，将点(3,400) 代入求出即可，最后注意自变量的取值范围.
(2) 分别将x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3的值求出，然后再比较大小求解.
解：(1) 设反比例函数解析式为
将点(3,400) 代入，即得
故反比例函数的解析式为：.
故答案为：.
(2) 当x=6时，代入反比例函数中，解得，
当x=8时，代入反比例函数中，解得，
当x=10时，代入反比例函数中，解得，
∴
∴.
故答案为：>.
【点拨】本题考查了反比例函数的解析式求法、反比例函数的图像性质等，点在反比例函数上，则将点的坐标代入解析式中，得到等式进而求解.
14．（1）；（2）20；（3）5
解：【分析】（1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式；
（2）把x=12×5=60代入，即可求得天数；
（3）首先算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解．
解：（1）∵xy＝1200，∴y＝；
（2）x＝12×5＝60，将x＝60代入y＝，
得y＝＝20，
答：5辆这样的拖拉机要用20天才能运完；
（3）运了8天后剩余的垃圾有1200－8×60＝720（米3），
剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，则每天至少运720÷6＝120（米3），则需要拖拉机120÷12＝10（辆），10－5＝5（辆），
即至少需要增加5辆这样的拖拉机才能按时完成任务．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义求解．
15．（1）；（2）不能；（3）75≤v≤．
解：试题分析：（1）根据表格中数据，可知V是t的反比例函数，设V=，利用待定系数法求出k即可；
（2）根据时间t=2.5，求出速度，即可判断；
（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可；
解：（1）根据表格中数据，可知V=，
∵v=75时，t=4，
∴k=75×4=300，
∴．
（2） ∵10﹣7.5=2.5，
∴t=2.5时，v=300÷2.5=120＞100，
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午00之前到达杭州市场．
（3）∵3.5≤t≤4，∴75≤v≤．
答：平均速度v的取值范围是75≤v≤．
考点：反比例函数的应用．
16．（1）；（2）①0.4；②1.13．
试题分析：（1）根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；
②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解；
解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b，当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6，∴，解得k=﹣2.4，b=13.2，∴一次函数解析式为y=﹣2.4x+13.2．
把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，左边≠右边，∴其不是一次函数．
同理．其也不是二次函数．
设其为反比例函数．解析式为．
当x=2.5时，y=7.2，可得：7.2=，解得k=18
∴反比例函数是．
验证：当x=3时，y==6，符合反比例函数．
同理可验证x=4时，y=4.5，x=4.5时，y=4成立．
可用反比例函数表示其变化规律．
（2）①当x=5万元时，y=3.6．
4﹣3.6=0.4（万元），∴生产成本每件比2009年降低0.4万元．
②当y=3.2万元时，3.2=，∴x=5.625，∴5.625﹣4.5=1.125≈1.13（万元）
∴还约需投入1.13万元．
考点：反比例函数的应用．
17．(1)
(2) 36天
【分析】（1）求出蓄水池总储水量，然后得出关系式即可；
（2）根据（1）中的关系式求出当时的y值即可．
（1）解：（立方米），
∴y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：当时，（天），
∴蓄水池剩余的水能维持36天．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质和意义是解题的关键．
18．(1) 第天或天该商品的销售单价是元(2) 在这天中，第天获得的利润最大，最大利润是元
【分析】（1）根据该商品的销售单价是元，可求出x的值，此题得解；
（2）设每天获得的利润为y元，分及两种情况找出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质及反比例函数的性质，可求出当及时y的最大值，比较后即可得出结论．
（1）解：当时，；
当时，，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第天或天该商品的销售单价是元；
（2）设每天获得的利润为y元，
当时，，
即，
∵，
∴当时，y取得最大值，最大值为；
当时，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值，最大值，
∵，
∴在这天中，第天获得的利润最大，最大利润是元．
【点拨】本题考查了二次函数的应用以及反比例的应用，分及两种情况，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
19．(1) ；(2) ；(3) 当售价为元时可该使该文具连锁店每天销售这种文具的的纯收入最高，最高纯收入为元
【分析】（1）根据表中文具的销售量和售价的变化情况填空即可；
（2）利用表中的对应值确定一次函数解析式即可；
（3）分和两种情况，根据“纯收入=（售价进价）×销售量每天固定成本”可得函数解析式，当时，利用一次函数的增减性求解；当时将二次函数配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解；综合以上两种情况下的最值，从而得出答案．
（1）解：根据题意，当时，销售量为300件，
当时，销售量为（件），
补全表格如图：
文具的销售量（件）
…
…
每件文具售价（元）
…
…
（2）解：与之间的函数关系式为，
把点和代入上式得
，
解得，
即与之间的函数关系式为；
（3）解：时，，
解得，
所以文具的进价为元，每件利润，
当每件文具售价不超过元，即时，；
当每件文具售价超过元，即时，；
①当时，中随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值；
②当时，，
，
∴当时，随的增大而增大，
，
∴当时，取得最大值；
综上，当时，取得最大值；
答：当售价为元时可该使该文具连锁店每天销售这种文具的的纯收入最高，最高纯收入为元．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此正确列出函数解析式，还要熟练掌握一次函数和二次函数的性质．
20．(1) (2) 点D的坐标为；(3) 存在点D，使得，点D的坐标为
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形面积公式可求与平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；
（3）取点，连接，则，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标．
（1）解：将代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如下图，过点D作，交y轴与点M，连接，设点M的坐标为，使得的面积为4，
，
则，
，
点，
直线的解析式为，
的解析式为，
联立抛物线解析式，
解得：，
点D的坐标为；
（3）存在，
取点，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
点，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：
，
解得：（舍去），，
点D的坐标为，
综上所述：存在点D，使得，点D的坐标为．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式．
21．(1) (2) (3) 存在，或
【分析】(1) 首先根据二次函数的解析式，可求得点C的坐标，根据对称性质即可求得点D的坐标，即可求得一次函数解析式及点B的坐标，再利用待定系数法，即可求得抛物线的解析式；
(2) 设，则，，可求得，再根据及二次函数的性质，即可解决问题；
(3) 由(2) 知，，，，再分两种情况，即可分别求解．
（1）解：令，则，
，
∵点C与点D关于x轴对称．
，
把代入，得，
，
，
，
令，得，
解得，
，
把B点坐标代入中，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设，则，，
则，
，
，
∴当时，的面积最大，
此时，P点的坐标为；
（3）解：存在，
由(2) 知，，，
，
点Q在y轴上，
，
当时，以Q，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形，
，且点Q在y轴上，
点Q的纵坐标为：可
或．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，平行四边形的判定，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
22．(1) ，顶点坐标为(2) 或或
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，然后化成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）设，然后分当为对角线时， 当为对角线时， 当为对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
（1）解：设抛物线解析式为，
把点代入抛物线解析式中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为
（2）解：设，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知：
，
∴，
∴，
∴；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知：
，
∴，
∴，
∴；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知：
，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点P的坐标为或或．
【点拨】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
23．(1) (2) 当销售单价为元时，每周获取的利润最大，最大利润是元
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设每周获取的利润为W，根据利润（销售单价进价1）销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意得，，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设每周获取的利润为W，
由题意得，
，
∵每周这种大米的销售量不低于240袋，
∴，
∴，
∵，
∴当时，W最大，最大为，
∴当销售单价为元时，每周获取的利润最大，最大利润是元．
【点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，正确列出每周利润关于销售单价的二次函数关系式是解题的关键．
24．(1) 型羽毛球拍的单价为40元，型羽毛球拍的单价为32元(2) 最省钱的购买方案是采购20副型羽毛球拍，10副型羽毛球拍；最少费用为1120元，理由见分析
【分析】（1）设型羽毛球拍的单价为元，型羽毛球拍的单价为元，根据“购买3副型羽毛球拍和4副型羽毛球拍共需248元；购买5副型羽毛球拍和2副型羽毛球拍共需264元”建立方程组，解方程组即可得；
（2）设该班采购型羽毛球拍副，购买的费用为元，则采购型羽毛球拍副，结合（1）的结论可得，再根据“型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍”求出的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得．
（1）解：设型羽毛球拍的单价为元，型羽毛球拍的单价为元，
由题意得：，
解得，
答：型羽毛球拍的单价为40元，型羽毛球拍的单价为32元．
（2）解：设该班采购型羽毛球拍副，购买的费用为元，则采购型羽毛球拍副，
由（1）的结论得：，
型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，
，
解得，
在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为，
此时，
答：最省钱的购买方案是采购20副型羽毛球拍，10副型羽毛球拍；最少费用为1120元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和函数关系式是解题关键．
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