2024年新高考数学一轮复习 第八章 第二节 第三课时 圆与圆的位置关系

课时跟踪检测（五十八） 圆与圆的位置关系

一、全员必做题

1．(多选)设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是(　 )

A．内切     B．相交     C．外切     D．相离

解析：选CD　两圆的圆心距为d＝＝，两圆的半径之和为r＋4，因为＜r＋4，所以两圆不可能外切或相离，故选C、D.

2．(2023·合肥一六八中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C与圆O：x2＋y2＝1外切，且与直线x－y＋4＝0相切，则圆C的面积的最小值为(　 )

A.       B．π       C.  D．2π

解析：选A　由题可知，(0,0)到直线x－y＋4＝0的距离为＝2，又因为圆C与圆O外切，所以圆C的直径的最小值为2－1＝1，所以圆C的面积的最小值为π·2＝.故选A.

3．(2023·湖南长郡中学模拟)已知圆M的半径为，且圆M与圆C：(x－1)2＋y2＝1和y轴都相切，则这样的圆M有(　 )

A．2个     B．3个     C．4个     D．5个

解析：选C　圆C：(x－1)2＋y2＝1和y轴相切于原点，内切时圆M只能在圆C内部，因此相外切的圆M位于y轴右侧在x轴上方、下方各1个，位于y轴左侧切于原点的有1个；相内切的圆必过原点，有1个，共4个．故选C.

4．若圆x2＋y2＝1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2，则实数a的取值范围是(　 )

A．(－2，0)∪(0,2)  B．(－2，2)

C．(－1,0)∪(0,1)  D．(－1,1)

解析：选A　到点(a,1)的距离为2的点在圆(x－a)2＋(y－1)2＝4上，所以问题等价于圆(x－a)2＋(y－1)2＝4上总存在两个点也在圆x2＋y2＝1上，即两圆相交，故2－1<<2＋1，解得－2<a<0或0<a<2，所以实数a的取值范围为(－2，0)∪(0,2)，故选A.

5．(2023·湖南长沙一中模拟)若圆C1：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝1上，则r的取值范围是(　 )

A.  B．(－1，]

C.  D．(－1,1]

解析：选A　圆C1关于y轴的对称圆为圆C3，其方程为(x＋1)2＋y2＝r2，根据题意，圆C3与圆C2有交点，又圆C3与圆C2的圆心距为d＝，要满足题意，只需|r－1|≤≤r＋1，解得r∈，故选A.

6．(2023·潍坊模拟)(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是(　 )

A．若圆C2与x轴相切，则m＝2

B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离

C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0

D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点

解析：选BD　因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，故若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，故A错误；当m＝－3时，|C1C2|＝＝2>6>2＋，两圆相离，故B正确；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2,1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5<11，故点(2,1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．故选B、D.

7．(2022·湖北十堰三模)当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．

解析：由x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0，得(x－2)2＋(y＋k)2＝k2－2k＋4＝(k－1)2＋3，当k＝1时，(k－1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为.因此|CD|＝＝，－1<<＋1，所以两圆相交．

答案：相交

8．(2023·长沙模拟)与直线x＋y＝0和圆x2＋y2－8x－8y＋24＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．

解析：把圆A的方程化为(x－4)2＋(y－4)2＝8，∴圆心A(4,4)，半径R＝2，圆心A到直线l：x＋y＝0的距离为d＝＝4，如图，易知所求圆B的圆心B在直线m：y＝x上，且半径r＝＝，设B(a，a)，a>0，则B到l的距离为，∴＝，解得a＝1，∴所求圆B的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2

9．(2023·淮安模拟)已知大圆O1与小圆O2相交于A(2,1)，B(1,2)两点，且两圆都与两坐标轴相切，则|O1O2|＝________.

解析：由题知，大圆O1与小圆O2都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(a，a)(a>0)，其方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，将点(1,2)或(2,1)代入，解得a＝5或a＝1，所以O1：(x－5)2＋(y－5)2＝25，O2：(x－1)2＋(y－1)2＝1，可得O1(5,5)，O2(1,1)，所以|O1O2|＝＝4.

答案：4

10．若点O(0,0)，M(3,4)到直线l的距离分别为1和4，则这样的直线l共有________条．

解析：以O为圆心，1为半径的圆O方程为x2＋y2＝1，以M为圆心，4为半径的圆M方程为(x－3)2＋(y－4)2＝16，两圆的圆心距|OM|＝＝5＝1＋4，所以两圆相外切，有三条公切线．所以满足条件的直线l共有3条．

答案：3

11.如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点A(，0)，与直线y＝2x相切于点B.

(1)求圆M的方程；

(2)圆M和圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，求线段PQ的长度．

解：(1)已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点A(，0)，设圆心M(，b)，b＞0，则圆M的方程为(x－)2＋(y－b)2＝b2.

由于圆M与直线y＝2x相切于点B，

故有＝b，求得b＝1，

故圆M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1.

(2)因为圆M和圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，把两个圆的方程相减，可得PQ的方程为2x＋2y－3＝0.

由于点O到直线PQ的距离为d＝＝，故弦长|PQ|＝2＝2×＝1.

12．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．

(1)若动圆C过点(－5,0)，求圆C的方程．

(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

解：(1)依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.

又∵动圆C过点(－5,0)，∴(－5－a)2＋(0－b)2＝25.

解方程组可得或故所求圆C的方程为(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.

(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝＝5.

当r满足r＋5<d时，动圆C中不存在与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆；

当r满足r＋5>d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切；

当r满足r＋5＝d，即r＝5－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切．

二、重点选做题

1．(多选)已知圆C1：(x＋a)2＋y2＝1，圆C2：(x－a)2＋(y－2a)2＝2a2，下列说法正确的是(　 )

A．若△C1OC2(O为坐标原点)的面积为2，则圆C2的面积为2π

B．若a>，则圆C1与圆C2外离

C．若a＝，则y＝x－是圆C1与圆C2的一条公切线

D．若a＝，则圆C1与圆C2上两点间距离的最大值为6

解析：选BC　依题意C1(－a,0)，圆C1半径r1＝1，C2(a,2a)，圆C2半径r2＝|a|，对于选项A，S△C1OC2＝|－a|·|2a|＝a2＝2，则a＝±，所以r2＝|a|＝2，则圆C2的面积为πr＝4π，选项A错误；对于选项B，|C1C2|＝＝2|a|，r1＋r2＝1＋|a|，若圆C1与圆C2外离，则|C1C2|>r1＋r2，即2|a|>1＋|a|，得a>或a<－，选项B正确；对于选项C，当a＝时，C1，C2，r1＝r2＝1，|C1C2|＝2|a|＝2＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切，且kC1C2＝1，所以两圆的公切线中有两条的斜率为1，设切线方程为x－y＋b＝0，则＝1，解得b＝－或b＝，则一条切线方程为x－y－＝0，即y＝x－，选项C正确；对于选项D，当a＝时，C1(－，0)，C2(，2)，r1＝1，r2＝2，|C1C2|＝2|a|＝4，圆C1与圆C2上两点间距离的最大值为4＋r1＋r2＝7，选项D错误．

2．已知⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为________．

解析：⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，则圆心C(1,1)，半径r＝2.因为四边形MACB的面积S＝2S△CAM＝|CA||AM|＝2|AM|＝2，要使四边形MACB面积最小，则需|CM|最小，此时CM与直线l垂直，直线CM的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，联立解得M(0，－1)．则|CM|＝，则以CM为直径的圆的方程为2＋y2＝，与⊙C的方程作差可得直线AB的方程为x＋2y＋1＝0.

答案：x＋2y＋1＝0

3.如图，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0.

(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；

(2)当a＝4时，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)．问：是否存在圆O：x2＋y2＝r2，使得过点M的任一条直线与该圆的交点A，B，都有∠ANM＝∠BNM？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．

解：(1)因为由可得y2－ay＋a＝0，

由题意得Δ＝(－a)2－4a＝0，所以a＝4或a＝0，

故所求圆C的方程为x2－5x＋y2－4y＋4＝0或x2－x＋y2＝0.

(2)因为a＝4，所以令y＝0，得x2－5x＋4＝0，即(x－1)(x－4)＝0，求得x＝1或x＝4，所以M(1,0)，N(4,0)．假设存在圆O：x2＋y2＝r2，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入x2＋y2＝r2得(1＋k2)x2－2k2x＋k2－r2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，从而x1＋x2＝，x1x2＝.

因为NA，NB的斜率之和为＋＝，

而(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x2＋x1)＋8＝2×－5×＋8＝，

因为∠ANM＝∠BNM，所以，NA，NB的斜率互为相反数，即＋＝0，所以＝0，即r2＝4.

当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM＝∠BNM，即NA，NB的斜率互为相反数．综上，存在圆O：x2＋y2＝4，使得∠ANM＝∠BNM.