第14讲 一元二次方程（八大题型综合归纳）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

第14讲 一元二次方程（八大题型综合归纳）

目录：

题型1：一元二次方程的相关概念；   题型2：一元二次方程的解法

题型3：一元二次方程根的判别式；   题型4：一元二次方程根与系数的关系

题型5：配方法的应用；             题型6：一元二次方程的实际应用

题型7：一元二次方程的几何应用；   题型8：材料信息题

题型1：一元二次方程的相关概念

1．下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（    ）

①，②，③，④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．写出一个以和5为两根且二次项系数为1的一元二次方程：___________．

3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）

A．1，4，5 B．0，，  C．1，，5 D．1，，

4．当______时，关于的方程是一元二次方程．

5．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是(    )

A．1 B． C． D．2

6．若是关x的方程的解，则的值为___________．

7．若实数，分别满足，，且，则的值为______．

8．设，是方程的两个根，则_______．

题型2：一元二次方程的解法

9．解方程：

(1)．

(2)．

(3)．

(4)．

10．用适当方法解下列方程：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

11．用配方法解方程：，开始出现错误的一步是（    ）

①，②，③，④．

A．① B．② C．③ D．④

12．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（   ）

A． B． C． D．

13．以为根的一元二次方程可能是（    ）

A． B． C． D．

14．若，则的值为（    ）

A． B．4 C．或4 D．3或4

题型3：一元二次方程根的判别式

15．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值有可能是（    ）

A． B． C．1 D．

16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）

A．且 B．且

C．且 D．

17．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则________（写出一个满足条件的值）．

18．已知，关于的一元二次方程，

(1)若，求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若，为整数，且方程有两个整数根，求的值．

19．关于的一元二次方程有两个实数根．

(1)求的取值范围；

(2)若的两条直角边的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．

题型4：一元二次方程根与系数的关系

20．若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ）

A．4 B．8 C．12 D．16

21．已知方程的两根分别为、，则的值为（    ）

A．1 B． C．2023 D．

22．已知，是方程的两根，则的值为（   ）

A． B． C． D．

23．关于的方程有实数根，方程的两根分别是、，且，则值是（    ）

A． B． C． D．

24．已知关于x的一元二次方程．

(1)若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围；

(2)若此方程的两根互为倒数，求的值．

题型5：配方法的应用

25．已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（　　）

A． B． C． D．不能确定

26．若，则p的最小值是（    ）

A．2021 B．2015 C．2016 D．没有最小值

27．若（为实数），则的最小值为__________．

28．已知，则的值是_____．

29．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．

如：①用配方法分解因式：，

解：原式

②，利用配方法求的最小值，

解：

∵，

∴当时，有最小值1．

请根据上述材料解决下列问题：

(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______．

(2)用配方法因式分解：．

(3)若，求的最小值．

(4)已知，则的值为______．

题型6：一元二次方程的实际应用

30．某县年人均可支预收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

31．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（    ）个人．

A．8 B．9 C．10 D．11

32．空地上有一段长为a米的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若，，则（　　）

A．有一种围法 B．有两种围法 C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法

33．如图，在宽为 ，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是______．

34．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（    ）

A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元

35．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步，”意思是：一个矩形的面积为平方步，宽比长少步，问宽和长各多少步？如果设矩形的长为步，由题意，可列方程为______．

36．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数．

37．年7月1日是建党周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）．

38．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条

（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．

（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？

题型7：一元二次方程的几何应用

39．将一个边长为4的正方形分割成如图所示的9部分，其中全等，也全等，中间小正方形的面积与面积相等，且是以为底的等腰三角形，则的面积为（   ）

A．2 B． C． D．

40．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，

(1)的面积等于平方厘米？

(2)五边形的面积最小？最小值是多少？

41．如图1，在平面直⻆坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，连接，，的面积为32．

(1)求的长；

(2)如图2，点D是第一象限内一点，连接，，，，求度数；

(3)如图3，在（2）的条件下，点E是第四象限内一点，连接，且，点F在的延长线上，2∠EFB=∠ODE+∠DOE，OF=OE+OA，求点D的坐标．

42．已知正方形，为上动点，，于，延长交于点．

(1)如图1，当时，；

(2)如图2，，求；

(3)如图3，若，直线写出的值______．

题型8：材料信息题

43．根据绝对值的定义可知，下列结论正确的个数有（    ）

①化简一共有8种不同的结果；

②的最大值是5；

③若，（为正整数），则当时，；

④若关于的方程有2个不同的解，其中为常数，则或

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

44．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为________．

45．对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是______．

46．阅读材料，解答问题：

【材料1】

为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

【材料2】

已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程的解为 ；

(2)间接应用：

已知实数，满足：，且，求的值．