2023年河北省中考数学试卷（含解析）

2023年河北省中考数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  代数式的意义可以是(    )

A. 与的和 B. 与的差 C. 与的积 D. 与的商

2.  淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的(    )

A. 南偏西方向
B. 南偏东方向
C. 北偏西方向
D. 北偏东方向

3.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  有张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是(    )

A. 黑桃
B. 红心
C. 梅花
D. 方块

5.  四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化当为等腰三角形时，对角线的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若为任意整数，则的值总能(    )

A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除

7.  若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形是其作图过程．
作的垂直平分线交于点；
连接，在的延长线上截取；
连接，，则四边形即为所求．

在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是(    )

A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等

9.  如图，点是的八等分点若，四边形的周长分别为，，则下列正确的是(    )

A.
B.
C.
D. ，大小无法比较

10.  光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于，下列正确的是(    )

A.  B.
C. 是一个位数 D. 是一个位数

11.  如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形若，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，一个的平台上已经放了一个棱长为的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图，平台上至少还需再放这样的正方体(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

13.  在和中，，，，已知，则(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

14.  如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且现有两个机器人看成点分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和若移动时间为，两个机器人之间距离为则与关系的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

15.  如图，直线，菱形和等边在，之间，点，分别在，上，点，、、在同一直线上若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

16.  已知二次函数和是常数的图象与轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）

17.  如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______ ．

18.  根据表中的数据，写出的值为______ ，的值为______ ．

19.  将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图，正六边形边长为且各有一个顶点在直线上两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点则图中：
______ 度；
中间正六边形的中心到直线的距离为______ 结果保留根号．

 

三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
某惯性飞镖游戏的靶盘如图珍珍玩了两局，每局投次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投计分规则如下：

在某一局中，珍珍投中区次，区次脱靶次．
求珍珍第一局的得分；
第二局，珍珍投中区次，区次，其余全部脱靶若本局得分比第一局提高了分，求的值．

21.  本小题分
现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示某同学分别用张卡片拼出了两个矩形不重叠无缝隙，如表和表，其面积分别为，．
表


表


请用含的式子分别表示，，当时，求的值；
比较与的大小，并说明理由．

22.  本小题分
某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为分，分，分，分，分，共档公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于分，则该部门需要对服务质量进行整改工作人员从收回的问卷中随机抽取了份，如图是根据这份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．
求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
监督人员从余下的问卷中又随机抽取了份，与之前的份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与相比，中位数是否发生变化？

23.  本小题分
嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表长嘉嘉在点处将沙包看成点抛出，其运动路线为抛物线：的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线：的一部分．
写出的最高点坐标，并求，的值；
若嘉嘉在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的的整数值．

24.  本小题分
装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图和图所示，为水面截线，为台面截线，．
计算：在图中，已知，作于点．
求的长．
操作将图中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动如图其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．
探究在图中．
操作后水面高度下降了多少？
连接并延长交于点，求线段与的长度，并比较大小．

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．
例点从原点出发连续移动次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按次甲方式和次乙方式，最终移动到点．
设直线经过上例中的点、，求的解析式，并直接写出将向上平移个单位长度得到的直线的解析式；
点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点其中，按甲方式移动了次．
用含的式子分别表示，；
请说明：无论怎样变化，点都在一条确定的直线上设这条直线为，在图中直接画出的图象；
在和中的直线，，上分别有一个动点，，，横坐标依次为，，，若，，三点始终在一条直线上，直接写出此时，，之间的关系式．

26.  本小题分
如图和图，平面上，四边形中，，，，，点在边上，且将线段绕点顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．
若点在上，求证：；
如图，连接．
求的度数，并直接写出当时，的值；
若点到的距离为，求的值；
当时，请直接写出点到直线的距离用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：代数式的意义可以是与的积．
故选：．
直接利用代数式的意义分析得出答案．
此题主要考查了代数式，掌握代数式是由运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或表示数的字母连接而成的式子是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图：

由题意得：，，
，
淇淇家位于西柏坡的北偏东方向，
故选：．
根据题意可得：，，然后利用平行线的性质可得，从而根据方向角的定义，即可解答．
本题考查了方向角的定义，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：

，
故选：．
先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算．
本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘法法则、乘方法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：抽到黑桃的概率为，抽到红心的概率为，抽到梅花的概率为，抽到方块的概率为，
抽到的花色可能性最大的是红心，
故选：．
根据概率公式分别求出各花色的概率判断即可．
本题考查了可能性的大小，熟练掌握概率公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：为等腰三角形，
或，
当时，，此时不满足三角形三边关系定理，
当时．满足三角形三边关系定理，
．
故选：．
分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三边关系定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：


，
为任意整数，
的值总能被整除，
故选：．
先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
本题考查了因式分解的应用，能求出是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
把、的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作图得：，，
四边形为平行四边形，
故选：．
根据：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，．

点是的八等分点，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
利用三角形的三边关系，正多边形的性质证明即可．
本题考查正多边形于圆，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：是一个位数．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
又，
，
，
在中，点是斜边的中点，
，
即，
在中，，
，
，
故选：．
先根据正方形的面积求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后根据勾股定理求出的长，然后即可求出直角三角形的面积．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的面积计算公式，直角三角形面积的计算公式，勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：平台上至少还需再放这样的正方体个，
故选：．
根据题意主视图和左视图即可得到结论．
本题考查了由三视图判断几何体，正确地得出小正方体的个数是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，≌，
，
当时，如图，
，
，
，
或，
故选：．
分两种情况讨论，当时，则≌，得出，当时，如图，利用等腰三角形的性质求得，从而求得．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得：机器人看成点分别从，两点同时出发，设圆的半径为，
两个机器人最初的距离是，
两个人机器人速度相同，
同时到达点，，
两个机器人之间的距离越来越小，故排除、；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是半径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除；
故选：．
设圆的半径为，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点，两个机器人之间的距离越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是半径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，据此得出结论即可．
本题考查动点函数图象，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，延长，

，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
由平角的定义求得，由外角定理求得，根据平行线的性质得，进而求得．
本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角度之间的数量关系是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：令，则和，
或或或，
这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
不妨假设，则，
，
抛物线的对称轴，抛物线的对称轴，
这两个函数图象对称轴之间的距离．
故选：．
求出三个交点的坐标，再构建方程求解．
本题考查二次函数图象有系数的关系，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
 

17.【答案】答案不唯一 

【解析】解：由图可知：，
反比例函数的图象与线段有交点，且点，，
把 代入得，，
把代入得，，
满足条件的值的范围是，
故答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
把点，代入即可得到的值，从而得结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：当时，
，
即；
当时，
，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
那么当时，
，
即，
故答案为：；．
将代入中计算即可求得的值；将代入可得关于的分式方程，解得的值后代入中计算即可求得的值．
本题考查代数式求值及解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
 

19.【答案】   

【解析】解：作图如图所示，
多边形是正六边形，
，
直线，
，
；
故答案为：；
取中间正六边形的中心为，
作图如图所示，由题意得，，，，
四边形为矩形，
，
，，
≌，
，
在中，，，
由图知，，
，
，
，
，
，
．
中间正六边形的中心到直线的距离为，
故答案为：．
作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；
把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线的距离转化为求，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出，即可．
本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可得：分，
答：珍珍第一局的得分为分；
由题意可得：，
解得：． 

【解析】根据题意列出算式可求解；
由题意列出方程可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
 

21.【答案】解：由图可知，，
当时，；
，
理由：，
． 

【解析】根据图形，利用长方形的面积公式计算即可；
利用作差法比较即可．
本题考查了多项式乘多项式，关键是能列出整式或算式表示几何图形的面积．
 

22.【答案】解：由条形图可知，第个数据是分，第个数据是分，
中位数为分，
由统计图可得平均数为分，
客户所评分数的平均数或中位数都不低于分，
该部门不需要整改．
监督人员抽取的问卷所评分数为分，则有
，
解得，
满意度从低到高为分，分，分，分，分，共档．
监督人员抽取的问卷所评分数为分，
，
加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列后，第个数据不变还是分，即加入这个数据后，中位数是分，
与相比，中位数是发生了变化，由分变成分． 

【解析】先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可．
根据重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分列出不等式，从而求出监督人员抽取的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可．
本题考查条形统计图，中位数和平均数，一元一次不等式的应用，掌握求中位数和平均数的方法是解题关键．
 

23.【答案】解：抛物线：，
的最高点坐标为，
点在抛物线：上，
，
，
抛物线：，
当时，；
嘉嘉在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
此时，点的坐标范围是，
当经过时，，
解得：，
当经过时，，
解得：，
，
为整数，
符合条件的的整数值为和． 

【解析】将点坐标代入解析式可求，即可求解；
根据点的取值范围代入解析式可求解．
本题考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

24.【答案】解：连接，

为圆心，于点，，
，
，
，
在中，；
与半圆的切点为，
，
，
于点，
，，
，
操作后水面高度下降高度为：；
于点，，
，
半圆的中点为，
，
，
，
，
的长为，
，
． 

【解析】连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案；
由切线的性质证明，进而得到，利用锐角三角函数的定义求出，再与中相减即可得出答案；
由半圆的中点为得到，得到，分别求出线段与的长度，再相减比较即可．
本题是圆的综合题，考查了垂径定理，直角三角形的性质，圆的切线的性质，弧长公式和解直角三角形的知识，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：设的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
的解析式为，
将向上平移个单位长度得到的直线的解析式为；
点按照甲方式移动了次，点从原点出发连续移动次，
点按照乙方式移动了次，
点按照甲方式移动次后得到的点的坐标为，
点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，
，；
，
直线的解析式为；
函数图象如图所示：

点，，，横坐标依次为，，，
点，点，点，
设直线的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
直线的解析式为，
点，点，点三点始终在一条直线上，
，
，
，，之间的关系式为． 

【解析】由待定系数法可求直线的解析式；由平移的性质可求直线的解析式；
由题意可得：点按照甲方式移动次后得到的点的坐标为，再得出点，按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
由的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象；
由题意可得点，点，点的坐标，由待定系数法可求直线的解析式，即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，平移的性质，掌握平移的性质和一次函数的性质是解题的关键．
 

26.【答案】证明：将线段绕点顺时针旋转得到，
，
的平分线所在的直线交折线于点，
，
，
≌，
；

解：，，，
，
又，，
，，
，
；
如图所示，当时，

平分，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，
．
如图所示，当点在上时，，，

，，，
，
，
，
，
，
如图所示，当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，

，
，
∽，
，即，
，，
，
，，
，
∽，
，
解得：，
，
综上所述，的值为或；

解：当时，
在上，
如图所示，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，
，，
≌，
，
，
又，
，
又，
∽，
，
，，设，，
即
，，
，
整理得，
即点到直线的距离为． 

【解析】根据旋转的性质和角平分线的概念得到，，然后证明出≌，即可得到；
首先根据勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；画出图形，然后证明出∽，利用相似三角形的性质求出，然后证明出∽，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可；
当点在上时，，，分别求得，，根据正切的定义即可求解；当在上时，则，过点作的延长线于点，延长交的延长线于点，证明∽，得，进而求得，证明∽，即可求解；
如图所示，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，染练掌握以上知识且分类讨论是解题的关键．