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专题11-1 参数方程与极坐标大题15种归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）
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这是一份专题11-1 参数方程与极坐标大题15种归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版），共44页。试卷主要包含了热点题型归纳1，最新模考题组练36等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 消参难点1：分母二次分式型消参1
\l "_Tc26924" 【题型二】 消参难点2：正余弦对偶型4
\l "_Tc12217" 【题型三】 消参难点3：构造正切公式型5
\l "_Tc30563" 【题型四】 参数方程核心思维1：参数方程即动点坐标7
\l "_Tc30563" 【题型五】 参数方程核心思维2：抛物线的参数方程可化为斜率10
\l "_Tc30563" 【题型六】 极坐标思维1：极坐标弦长公式12
\l "_Tc30563" 【题型七】 极坐标思维2：两根韦达定理型14
\l "_Tc30563" 【题型八】 极坐标思维3：求最值与范围型16
\l "_Tc30563" 【题型九】 极坐标思维4：多线多交点型18
\l "_Tc30563" 【题型十】 极坐标思维5：极坐标分段型20
\l "_Tc30563" 【题型十一】直线参数方程思维1：换“起点”与标准化t23
\l "_Tc30563" 【题型十二】直线参数方程思维2：弦长公式26
\l "_Tc30563" 【题型十三】直线参数方程思维3：解析关于t的韦达定理28
\l "_Tc30563" 【题型十四】直线参数方程思维4：综合难度较大的题30
\l "_Tc30563" 【题型十五】综合：轨迹32
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练36
【题型一】消参难点1：分母二次分式型消参
【典例分析】
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．
解：（1）因为，且且，所以C的直角坐标方程为.的直角坐标方程为.
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.
C上的点到的距离为.
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.
【提分秘籍】
基本规律
【典例分析】这道题的具体消参计算过程
方法1：万能代换型 消去参数：
方法二：分析数据配凑法。
方法三：简洁的根本是计算中间一步的细节处理
发现x是对应齐次单变量参数形式，可以反解出
因为t是平方形式，所以需要y平方后代入，计算细节在于代入后，分母那个计算，一定要先通分，这样出来几乎没有计算量
【变式演练】
1.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求C的普通方程和的直角坐标方程；
(2)求C上的点到距离的最大值．
【答案】（1）C的普通方程为．的直角坐标方程为（2）3
【详解】（1）由（t为参数），因为，且，
所以C的普通方程为．由ρcsθρsinθ+4＝0，得xy+4＝0．
即直线l的直角坐标方程为得xy+4＝0；
（2）由(1)可设C的参数方程为(为参数，)．则P到直线得xy+4＝0的距离为：
C上的点到的距离为．
当时，取得最大值6，故C上的点到距离的最大值为3．
2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．
（1）写出曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）求上的点到距离的最小值．
【答案】（1）：，：；（2）．
【详解】（1）∵且，∴的普通方程为，
，即，∴的直角坐标方程为．
（2）由（1）可知：设的参数方程为（为参数），则可设上任意一点坐标为，
则上点到距离为，其中
当时，，∴曲线上的点到距离的最小值为．
【题型二】 消参难点2：正余弦对偶型
【典例分析】
在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于，两点，证明：为定值
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【详解】（1）由得由得，得，的普通方程是，的直角坐标方程为.
（2）由（1）知设的参数方程为为参数），代入的方程得，当时，设方程的两根为，所以为定值.
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为为参数)．(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若曲线与曲线有公共点，求的取值范围．
【答案】(1),；(2).
【详解】(1)由,得，
又由所以曲线可化为，
又由,得，即，所以所以曲线可化为.
(2)若曲线M，N有公共点，则当直线过点时满足要求，此时，
并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，
联立,得，由，解得.综上可求得t的取值范围是.
2.在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，，求的值．
【答案】（1）．．（2）
【详解】（1）曲线的参数方程消去参数得，曲线的普通方程为．
∵，∴，∴直线的直角坐标方程为．
（2）设直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程并化简得，∴，．∵点在直线上，∴．
【题型三】 消参难点3：构造正切公式型
【典例分析】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（2）射线与曲线交于点（异于原点）、与直线交于点，求的值.
【答案】（1）；；（2）
【详解】（1），，，即曲线的普通方程为：；
由得：，
直线的直角坐标方程为：.
（2）由可得曲线的极坐标方程为，当时，，，
.
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，曲线的参数方程为，(为参数，且)．（1）求与的普通方程，
（2）若分别为与上的动点，求的最小值．
【答案】（1）的普通方程为的普通方程为，；（2）
【详解】（1）消参可得的普通方程为；
又因为的参数方程为，可得，又，所以，
所以的普通方程为，
（2）由题意，设的平行直线为，联立消元可得：，
令，解得，又因为，经检验可知时直线与相切，
所以.
2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.
（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.
【答案】（1）的极坐标方程为，普通方程为；（2）
【详解】（1），
，即曲线的普通方程为，依题意得曲线的普通方程为，
令，得曲线的极坐标方程为；
（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，则
，，，异号
，
，，；
【题型四】 参数方程核心思维1：参数方程即动点坐标
【典例分析】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线、的直角坐标方程；
（2）若为曲线上的任意一点，求的最小值.
【答案】（1）：，：；（2）.
【详解】（1）消去参数得：，因为，所以.
所以.所以：.
（2）设，则，当且仅当（）时，.
【提分秘籍】
基本规律
椭圆为主的参数方程，理解成动点坐标。
【变式演练】
1.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．
（1）若直线与曲线交于两点，求的值；（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值．
【答案】（1）；（2）.
试题解析:（1）已知曲线的标准方程为，则其左焦点为，则，将直线
的参数方程与曲线的方程联立，
得，则
由曲线的方程为，可设曲线上的动点，则以为顶点的内接矩形周长为，因此该内接矩形周长的最大值为16
2.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 (为参数)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)设曲线经过伸缩变换后得到曲线，设为上任意一点，
求的最小值，并求相应的点的坐标.
【答案】（1），直线方程为 （2）1.或
解析：（1），故圆的方程为.直线的参数方程为， 直线方程为.
（2）由和得： .设点为，则，所以当或时，原式的最小值为.
3.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程以及曲线C的参数方程；
（2）过曲线C上任意一点M作与直线的夹角为的直线，交于点N，求的最小值
【答案】（1）0，（为参数）；（2）.
【详解】（1）将直线的参数方程消去参数，可得直线的普通方程为0．
将，代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直角坐标方程为，
即故曲线C的参数方程为（为参数）
（2）设，则M到的距离，其中．
如图，过点M作于点P，
则，则在中，．当时，取得最小值
故的最小值为．
【题型五】 参数方程核心思维2：抛物线的参数方程可化为斜率
【典例分析】
在平面真角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线与曲线交于M，N两点，直线OM和ON的斜率分别为和，求的值．
【答案】（1），（2）1
解：（1）．由，（t为参数），消去参数t，得，即的普通方程为，由，得，即，
将代入，得，即的直角坐标方程为．
（2）．由（t为参数），得，则的几何意义是抛物线上的点（原点除外）与原点连线的斜率．由题意知，将，（t为参数）代入，得．
由，且得，且．设M，N对应的参数分别为、，则，，
所以．
【提分秘籍】
基本规律
抛物线上动点，可转化为与原点连线的斜率或斜率倒数
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；
（Ⅱ）若与交于，两点，求的值.
【答案】（Ⅰ）的普通方程为；的直角坐标方程；（Ⅱ）.
【详解】（1）由（为参数），消去参数，得，即的普通方程为.
由，得，将，代入，得，
即的直角坐标方程.
（2）由（为参数），可得（），故的几何意义是抛物线上的点（原点除外）与原点连线的斜率.由题意知，当时，，则与只有一个交点不符合题意，故.把（为参数）代入，得，设此方程的两根分别为，，
由韦达定理可得，，，所以.
2.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求直线和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线和曲线交于，两点，直线，，的斜率分别为，，，求证：．
【答案】（1）直线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由代入中，可得直线的直角坐标方程，消参可得曲线的直角坐标方程．
（2）将曲线的参数方程代入直线的直角坐标方程，得．由一元二次方程的根与系数的关系和参数的意义可得证．
【详解】
（1）解：由，得，
则直线的直角坐标方程为；
曲线的直角坐标方程为．
（2）证明：将代入，得．
由直线和曲线交于、两点且，得；
设方程的两根分别为，，则；
而表示曲线上的点与原点连线的斜率，所以，，
所以．
又直线的斜率为，所以．
【题型六】 极坐标思维1：极坐标弦长
【典例分析】
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
（1）若，求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程：
（2）若直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．
【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）
【详解】（1）由题意，直线，可得直线是过原点的直线，故其极坐标方程为，
又，故；
（2）由题意，直线l的极坐标为，设、对应的极径分别为，，
将代入曲线的极坐标可得：，
故，，，
故，则，即 ，，所以
故直线的斜率是．
【提分秘籍】
基本规律
极坐标体系下的弦长公式
【变式演练】
1.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线上的点按坐标变换得到曲线.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若射线和与曲线的交点分别为点，求.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1），即，代入，得，即曲线的方程为.
由，所以的极坐标方程为，即. （未化简，保留上式也可）
（2）将代入，得，即，，
代入，得，即，.所以.
2.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线上的点按坐标变换得到曲线.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若射线和与曲线的交点分别为点，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1），即，代入，得，即曲线的方程为.由，所以的极坐标方程为；（2）由（1）得，将代入，得，即，，代入，得，即，，所以.
试题解析：
（1），即，
代入，得，即曲线的方程为.
由，所以的极坐标方程为，
即. （未化简，保留上式也可）
（2）将代入，得，即，，
代入，得，即，.
所以.
【题型七】 极坐标思维2：两根韦达定理型
【典例分析】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程；
（2）若射线与曲线交于，两点，求.
【答案】（1）..（2）
【详解】（1）由得，即，
故曲线的极坐标方程为.射线的直角坐标方程为.
（2）将代入，得，即，
设两点对应的为，则，，
所以.
【提分秘籍】
基本规律
极坐标体系中的一元二次方程与韦达定理
【变式演练】
1.直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(其中).
（1）点的直角坐标为(2,2)，且点在曲线内，求实数m的取值范围；
（2）若，当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
试题解析：（1）曲线的极坐标方程对应的直角坐标方程为，即，
由点在曲线的内部可得，解之得，即实数m的取值范围是.
（2）直线l的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程并整理可得，
设直线l与曲线的两个交点对应的极径分别为，则.
则直线l与曲线截得的弦长为，,
即直线l与曲线截得的弦长的取值范围是.
2.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
（1）若，求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程：
（2）若直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．
【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）
【详解】（1）由题意，直线，可得直线是过原点的直线，故其极坐标方程为，
又，故；
（2）由题意，直线l的极坐标为，设、对应的极径分别为，，
将代入曲线的极坐标可得：，
故，，，
故，则，即 ，，所以
故直线的斜率是．
3.已知在平面直角坐标系内，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）把曲线和直线化为直角坐标方程；
（2）过原点引一条射线分别交曲线和直线于，两点，射线上另有一点满足，求点的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．
【答案】（1），；（2）（除去原点）．
解：（1）由曲线的参数方程得：，
所以曲线的直角坐标方程为．又由，，
将极坐标与直角坐标的转化公式，代入上式，得
直线的直角坐标方程为．
（2）在极坐标系内，设，，，则，，
由得，，即，所以，
从而得，且，转化为直角坐标方程为，
所以点的轨迹方程为（除去原点）．
【题型八】 极坐标思维3：求最值与范围
【典例分析】
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的极坐标方程；
（2）射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）圆的参数方程为（为参数)，圆的普通方程是，
又，，圆的极坐标方程为．
（2）设，则有，设，且直线的方程是，
则有，，
，的取值范围为．
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为．（1）求直线l及曲线的极坐标方程；
（2）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.
【答案】（1）直线l的极坐标方程为.的极坐标方程为（2）
【详解】（1）消去直线l参数方程中的t，得，
由，得直线l的极坐标方程为，故．
由点Q在OP的延长线上，且，得，设，则，
由点P是曲线上的动点，可得，即，所以的极坐标方程为．
（2）因为直线l及曲线的极坐标方程分别为，，
所以，，
所以，
所以当时，取得最大值，为．
2.直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(其中).
（1）点的直角坐标为(2,2)，且点在曲线内，求实数m的取值范围；
（2）若，当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
试题解析：（1）曲线的极坐标方程对应的直角坐标方程为，即，
由点在曲线的内部可得，解之得，即实数m的取值范围是.
（2）直线l的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程并整理可得，
设直线l与曲线的两个交点对应的极径分别为，则.
则直线l与曲线截得的弦长为，,
即直线l与曲线截得的弦长的取值范围是.
3.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线上两点，有，求面积最小值.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）由曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为：，
将，代入，得曲线的极坐标方程为：.
（2）设，，代入曲线得：，，
则，
当，，，时可以取到等号，所以面积为.故面积最小值为
【题型九】 极坐标思维4：多线型
【典例分析】
知曲线C的参数方程为x=102csθy=sinθ（θ为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）P，Q为曲线C上两点，若OP⋅OQ=0，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2的值.
【答案】（Ⅰ）ρ2=53sin2θ+2； （Ⅱ）57.
【详解】
（Ⅰ）由x=102csθy=sinθ，得到曲线C的普通方程是：2x25+y2=1，又x=ρcsθ，y=ρsinθ，代入得，5ρ2sin2θ+2ρ2cs2θ=5，即ρ2=53sin2θ+2（ρ2=55sin2θ+2cs2θ也可得分）.
（Ⅱ）因为ρ2=55sin2θ+2cs2θ，所以1ρ2=sin2θ+2cs2θ5，由OP⋅OQ=0，故OP⊥OQ，设点P的极坐标为(ρ1,θ)，则点Q的极坐标可设为(ρ2,θ±π2)，所以|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2=11|OP|2+1|OQ|2=11ρ12+1ρ22= 1sin2θ+2cs2θ5+cs2θ+2sin2θ5 =11+25=57.
【提分秘籍】
基本规律
多曲线交点在极坐标体系中的计算
【变式演练】
1.已知曲线的参数方程是 （是参数， ），直线的参数方程是 （是参数），曲线与直线有一个公共点在轴上，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若点，，在曲线上，求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得x+y＝2，令y＝0，得x＝2．
∵曲线C的参数方程是（为参数，a＞0），消去参数得，
把点（2，0）代入上述方程得a＝2．∴曲线C普通方程为．
（Ⅱ）∵点在曲线C上，即A（ρ1csθ，ρ1sinθ），，在曲线C上，
∴
=
= =．
2.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点O）三点（1）求证：；
（2）当时，B，C两点在曲线上，求与的值
【答案】（1）见解析（2）
试题解析：（1）依题意 则
+4cs
=+= =
（2） 当时，B,C两点的极坐标分别为
化为直角坐标为B，C 是经过点且倾斜角为的直线，又因为经过点B,C的直线方程为 所以
【题型十】 极坐标思维5：极坐标分段型
【典例分析】
在直角坐标系中，曲线，如图将分别绕原点逆时针旋转，，得到曲线，，．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）分别写出曲线的极坐标方程；
（2）设交于两点，交于两点（其中均不与原点重合），若四边形的面积为，求的值.
【答案】（1）的极坐标方程为， 的极坐标方程为 的极坐标方程为， 的极坐标方程为． （2）
【详解】（1）将代入，得的极坐标方程为，
在一致的情况下：点旋转到点，且，所以，
所以的极坐标方程为， 点旋转到点，且，所以，所以的极坐标方程为，
点旋转到点，且，所以，
所以的极坐标方程为．
（2）将代入得， 将代入得，
因为
， 解得，因为，所以．
【提分秘籍】
基本规律
1.极坐标的定义；
2.数形结合思想与方程思想
【变式演练】
1.在极坐标系中，极点为，一条封闭的曲线由四段曲线组成：，，，.（1）求该封闭曲线所围成的图形面积；
（2）若直线：与曲线恰有3个公共点，求的值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，
则曲线的直角坐标方程为，，
，.如图所示：
曲线由弧，弧，弧，弧四段圆弧组成，每段圆弧均在半径为2的圆上，则该封闭曲线所围成的图形面积.
（2）直线的直角坐标方程为，即.当直线经过点，，时，.
当直线经过点，，时，，故的值为.
2.如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，A（2，），B（1，），C（1，），D（2，），弧所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线M1是弧，曲线M2是弧．
（1）分别写出M1，M2的极坐标方程：
（2）点E，F位于曲线M2上，且，求△EOF面积的取值范围．
【答案】（1）M1，M2的极坐标方程为和ρ＝4csθ（）．（2）．
【详解】（1）由题意可知：M1的极坐标方程为．记圆弧AD所在圆的圆心（2，0），
因为，所以极点O在圆弧AD上．设P（ρ，θ）为M2上任意一点，则ρ＝4csθ（）．
所以：M1，M2的极坐标方程为和ρ＝4csθ（）．
（2）设点E（ρ1，α），点F（），（），所以ρ1＝4csα，．
所以．
由于，所以．故．
3.如图，在以为极点，轴为极轴的板坐标系中，圆，，的方程分别为，，.
（1）若相交于异于极点的点，求点的极坐标；
（2）若直线与分别相交于异于极点的两点，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由，∴，∴，
∴，∴点的极坐标为；
（2）设
，∴的最大值为.
【题型十一】 直线参数方程思维1：换“起点”与化标准t
【典例分析】
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于、两点.
（1）求实数的取值范围；（2）若，点，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）曲线，故，则，
即，直线，故圆心到直线的距离，解得，即实数的取值范围为；
（2）直线的参数方程可化为（为参数），代入中，得.
记、对应的参数分别为、，则，.故.
2.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的右顶点到直线的距离；
（2）若点的坐标为，设直线与曲线交于，两点，求的值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）直线的普通方程为,曲线的普通方程为,曲线为双曲线,其右顶点为
利用点到直线距离公式可知；
（2）将直线的标准参数方程改为,并代入化简可得,设一元二次方程的两根为,,故.
【题型十二】 直线参数方程思维2：弦长公式
【典例分析】
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 (为参数)．
（I）分别求曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程；
（II）设曲线和直线相交于两点，求弦长的值．
【答案】（I）：； ：； （II）2.
【详解】（I）由题意，曲线的极坐标方程为，由，则，即；又由直线的参数方程为 (为参数)，消去参数可得，
所以曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为．
（II）将代入圆得：，解得：
由直线的参数的几何意义知：弦长.
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若l与C相交于AB两点，且，求m的值.
【答案】（1）l的普通方程：，C的直角坐标方程：. （2）
【详解】（1）l的普通方程为：，曲线C的直角坐标方程为：.
（2）把直线的参数方程（为参数）带入，整理得：由根与系数的关系知：，，所以，解得.
2.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于，两点，且，求直线的倾斜角的值.
【答案】（1）；（2）或
【详解】(1)由ρ＝4cs θ，得ρ2＝4ρcs θ.因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcs θ，所以x2＋y2＝4x，
即曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)将 代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4，得(tcs α－1)2＋(tsin α)2＝4，
化简得t2－2tcs α－3＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系，得所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，
故4cs2α＝1，解得cs α＝±.因为直线的倾斜角α∈[0，π)，所以α＝或.
3.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (t为参数，0<<)，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当变化时，求|AB|的最小值．
【答案】（I） ；（II） 4.
试题解析：（I）由，得，所以曲线C的直角坐标方程为;
（II）将直线l的参数方程代入，得，设两点对应的参数分别为，则， ，当时，的最小值为.
【题型十三】 直线参数方程思维3：解析关于t的韦达定理
【典例分析】
以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，（为参数).
（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线交于两点，求.
【答案】（1），；（2）1
【试题解析】（1）由，得，令，，得.
因为，消去得，所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.
（2）点的直角坐标为，点在直线上. 设直线的参数方程为，（为参数），代入，得.设点对应的参数分别为，，则，，
所以 .
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于两点.
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若点，求的值.
【答案】（1）;（2）
【详解】（1），；
.
（2）注意到在直线l上，直线倾斜角为，， ，解得直线参数方程为为参数），联立C的直角坐标方程与l的参数方程，
整理得，设方程的解为，则，，异号.
不妨设，,有.
2.在直角坐标系xOy中，已知直线l过点P（2，2）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣ρcs2θ﹣4csθ＝0.
（1）求C的直角坐标方程；
（2）若l与C交于A，B两点，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）曲线的极坐标方程为，两边同时乘以，得，把互化公式代入可得：，即，所以C的直角坐标方程为y2＝4x.
（2）设直线的倾斜角为，可得参数方程为：（为参数），代入抛物线方程可得：，则，，
∴，当且仅当时，等号成立，
的最大值为.
3.已知曲线C的参数方程为，（为参数）.
（1）若点在曲线C上，求m的值；
（2）过点的直线l和曲线C交于A，B两点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）已知曲线C的参数方程为，等价于，，由于，所以等价于.
整理得曲线C的普通方程为，将代入解得.
（2）设直线l的参数方程为（t为参数，为倾斜角），与联立得：，
由韦达定理，.由于，异号，故，
将韦达定理代入，并结合，得.
【题型十四】 直线参数方程思维4：综合难度较大的题
【典例分析】
直角坐标系中曲线C的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）经过点M（2,1）作直线交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）由曲线C的参数方程，得所以曲线C的直角坐标方程为.
设直线的倾斜角为，斜率k=tan，则直线的参数方程为：为参数）.此时P点坐标为P(2+tcs，1+tcs）
联立直线参数方程和椭圆方程，联立的方法就是把P点的参数坐标代入到代入椭圆C的直角坐标方程，化简后得：，此方程中，t是未知量，是已知的参数。关于t的一元二次方程出韦达定理
所以.这个过程中，始终是要待定的常数。由题意可知，P是三等分点，
则PB=2PA, PB=|t1|，PA=|t2|，且P（2,1）在椭圆内部，因而PA与PB方向相反。故有.把这个关系代入韦达定理，再把韦达定理的（1）式代入到（2）式中，化简
得：，即.所以直线的斜率为.
【变式演练】
1.在直角坐标系中，直线（为参数，），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点，若直线与曲线交于两点，且，求。
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
试题解析：（Ⅰ），得到，
因为则曲线的直角坐标方程为。
（Ⅱ）将代入，得到。
又因为，则，所以
解得：，或，则或。
2.在平面直角坐标系xy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|= 8/3，求点M轨迹的直角坐标方程．
【答案】（1）；（2）点的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段弧．
试题解析：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；
曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线
（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得： ，即：，x2+2y2=6表示一椭圆取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0 由△≥0得
故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧
【题型十五】 综合：轨迹
【典例分析】
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
解析 （1）设，则．
由，解得，化直角坐标方程为.
（2）联结，易知为正三角形，为定值．所以当高最大时，的面积最大，如图所示，过圆心作垂线，交于点，交圆于点，此时最大，
.
【提分秘籍】
基本规律
主要是极坐标体系下的轨迹，常规轨迹可参考圆准曲线求轨迹专题
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．
（1）写出的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．
解析 = 1 \* GB2 ⑴将参数方程转化为一般方程 = 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
，消可得，即点的轨迹方程为.
= 2 \* GB2 ⑵将极坐标方程转化为一般方程，联立，解得.
由，解得，即的极半径是．
2.在极坐标系中，为极点，点在曲线：上，直线过点且与垂直，垂足为.
（1）当时，求及的极坐标方程；
（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.
【答案】（1），：.（2），.
【详解】（1）因为在上，当时，.
由己知得，设为上除点外的任意一点，连接，
在中，.
经检验，点在曲线上.所以，的极坐标方程为.
（2）设，在中，，即.
因为在线段上，且，故的取值范围是.所以，点轨迹的极坐标方程为，.
3.在直角坐标系xOy中，直线l过点且倾斜角为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，l与C交于M，N两点.
（1）求C的直角坐标方程和的取值范围；
（2）求MN中点H的轨迹的参数方程.
【答案】（1）；或（2）（为参数，且或）.
解：(1)C的直角坐标方程为，即，是以原点为圆心的单位圆
当时，显然直线l与曲线C相离，不合题意.∴，所以直线l的斜率存在.∴直线l的方程可写为∵直线l与曲线C交于M，N两点，∴圆心O到直线l的距离，
解得∴或.
(2)(法一)直线l的参数方程为(t为参数，或)
设M，N，H对应的参数分别为，，，则，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：
∴，∴，又点H的坐标满足，
(t为参数，或)∴点H的轨迹的参数方程为
即(为参数，或)
(法二)设点，则由可知，当时有即，整理得
当时，点H与原点重合，也满足上式.∴点H的轨迹的参数方程为
(为参数，且或).
1.曲线C的参数方程为（为参数）,直线l的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线C的一般方程;
（2）求直线l被曲线C截得的弦长.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）∵曲线C的参数方程为（为参数）,∴,
即曲线C的一般方程为.
（2）∵直线l的参数方程为（为参数）,即 y•(),即 ,
圆心O到直线l的距离为,∴弦长为 2.
2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），为曲线上的动点，动点满足（且），点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；
（2）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，射线与的异于极点的交点为，已知面积的最大值为，求的值.
【答案】（1）见解析；（2）2
详解：（1）设，，由得.∴∵在上
∴即（为参数），消去参数得.
∴曲线是以为圆心，以为半径的圆.
（2）法1：点的直角坐标为.∴直线的普通方程为，即.
设点坐标为，则点到直线的距离.∴当时，
∴的最大值为
∴.
法2：将，代入并整理得：，令得.
∴∴
∴当时，取得最大值，依题意，∴.
3.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是.
（1）求直线l与圆C的公共点个数；
（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上一点，求的最大值，并求相应点M的坐标.
【答案】（1）1；（2）5，或.
【详解】（1）直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是，
圆C的极坐标方程化为直角坐标方程是；∵圆心到直线l的距离为，等于圆的半径r，∴直线l与圆C的公共点的个数是1；
（2）圆C的参数方程是，；∴曲线的参数方程是，；
∴；
当或时，取得最大值5，此时M的坐标为或.
4.平面直角坐标系中, 已知曲线,将曲线上所有点横坐标, 纵坐标分别伸长为原来的倍和倍后, 得到曲线.
（1）试写出曲线参数方程；
（2）在曲线上求点,使得点到直线的距离最大, 并求距离最大值.
【答案】（1）为参数）.（2）,点的坐标为.
试题解析：（1）曲线的参数方程为为参数）, 由得,
的参数方程为为参数）.
（2）由（1） 得点,点到直线的距离
,
此时点的坐标为.
5.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.
【答案】（1）曲线，曲线.（2）.
解：由和，得，化简得
故：将两边同时乘以，得
因为，所以得的直角坐标方程.
（2）设直线的极坐标方程由，得，
由，得故
当时，取得最大值此时直线的极坐标方程为：，其直角坐标方程为：
6.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）曲线的普通方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和曲线的极坐标方程；
（2）射线:依次与曲线和曲线交于、两点，射线:依次与曲线和曲线交于、两点，求的最大值.
【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）.
【详解】（1）由曲线的参数方程为（其中为参数），所以曲线的普通方程为，
由则曲线的极坐标方程为.又曲线的普通方程为，
由，得曲线的极坐标方程为；
（2）如图，由题意知，点、的极坐标分别为、，
将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得，
，
，
，
当且仅当，即，不等式取等号，因此，的最大值为.
7.在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为x=−1+csty=sint（t为参数），圆C2与圆C1外切于原点O，且两圆圆心的距离C1C2=3，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C1和圆C2的极坐标方程；
（2）过点O的直线l1，l2与圆C2异于点O的交点分别为点A，D，与圆C1异于点O的交点分别为点C，B，且l1⊥l2，求四边形面积ABCD的最大值.
【答案】（1）C1的极坐标方程为ρ=−2csθ，C2的极坐标方程为ρ=4csθ；（2）9.
试题解析：（1）由圆C1的参数方程（t为参数），得(x+1)2+y2=1，
所以，又因为圆C2与圆C1外切于原点O，且两圆圆心的距离|C1C2|=3，
可得C1(2,0),r2=2，则圆C2的方程为(x−2)2+y2=4，所以由x=ρcsθy=ρsinθ，得圆C1的极坐标方程为ρ=−2csθ，
圆C2的极坐标方程为ρ=4csθ.
（2）由已知设A(ρ1,θ)，则由l1⊥l2，可得B(ρ2,θ+π2)，C(ρ3,θ+π)，D(ρ4,θ+32π)，
由（1）得：ρ1=4csθρ2=−2cs(θ+π2)=2sinθρ3=−2cs(θ+π)=2csθρ4=4cs(θ+3π2)=4sinθ，所以S四边形ABCD=12|AC|⋅|BD|=12(ρ1+ρ3)(ρ2+ρ4)=18sinθcsθ=9sin2θ，
所以当sin2θ=1时，即θ=π4时，S四边形ABCD有最大值9.
8.试卷在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ = α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值。
【答案】（1），（2） .
试题解析：（Ⅰ）直线的极坐标方程分别是.圆的普通方程分别是 QUOTE QUOTE ，
所以圆 QUOTE 的极坐标方程分别是 QUOTE QUOTE .
（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为 QUOTE QUOTE 和所以，，
从而.同理，.所以，故当时，的值最大，该最大值是.
9.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.
【答案】（1）； （2）.
【详解】（1）由得曲线的直角坐标方程为，
直线的普通方程为.
(2)直线的参数方程的标准形式为代入，整理得：,
设所对应的参数为，则,所以.
10.在极坐标系中，已知圆的圆心，半径 （Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围
【答案】① ;② 试题解析：（Ⅰ）【法一】∵的直角坐标为，
∴圆的直角坐标方程为 化为极坐标方程是
【法二】设圆上任意一点，则如图可得，
化简得 4分
（Ⅱ）将代入圆的直角坐标方程，
得即有
故，
∵，∴ ，
即弦长的取值范围是 10分[
11.已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若过点的直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的最大值.
【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为（2）
解：（1）因为所以曲线的普通方程为，因为，
所以，所以，即曲线的直角坐标方程为.
（2）设直线的参数方程为（为参数），
又因为直线与曲线存在两个交点，因此.
联立直线与曲线，可得，则，
联立直线与曲线可得，则，
即，所以的最大值为.
12.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标系中，弧所在圆的圆心分别为，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出的极坐标方程；
（2）直线的参数方程为（为参数），点的直角坐标为，若直线与曲线有两个不同交点，求实数的取值范围，并求出的取值范围.
【答案】（1）；；；，或（2），
【详解】
（1）如图所示：
设弧上任意一点因为ABCD是边长为2的正方形，AB所在的圆与原点相切，其半径为1，
所以所以的极坐标方程为；
同理可得：的极坐标方程为；
的极坐标方程为；
的极坐标方程为，或
（2）因为直线的参数方程为所以消去t得，过定点，
直角坐标方程为如图所示：
因为直线与曲线有两个不同交点，所以
因为直线的标准参数方程为，代入直角坐标方程得
令
所以所以所以的取值范围是
13.在极坐标系中，已知点到直线的距离为3.
（1）求实数的值；
（2）设是直线上的动点，在线段上，且满足，求点轨迹方程，并指出轨迹是什么图形.
【答案】（1）；（2），点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
【详解】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为，由点到直线的距离为.
（2）由（1）得直线的方程为，设，则，①
因为点在直线上，所以，②将①代入②，得.
则点的轨迹方程为，化为直角坐标方程为，
则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 消参难点1：分母二次分式型消参1
\l "_Tc26924" 【题型二】 消参难点2：正余弦对偶型4
\l "_Tc12217" 【题型三】 消参难点3：构造正切公式型5
\l "_Tc30563" 【题型四】 参数方程核心思维1：参数方程即动点坐标7
\l "_Tc30563" 【题型五】 参数方程核心思维2：抛物线的参数方程可化为斜率10
\l "_Tc30563" 【题型六】 极坐标思维1：极坐标弦长公式12
\l "_Tc30563" 【题型七】 极坐标思维2：两根韦达定理型14
\l "_Tc30563" 【题型八】 极坐标思维3：求最值与范围型16
\l "_Tc30563" 【题型九】 极坐标思维4：多线多交点型18
\l "_Tc30563" 【题型十】 极坐标思维5：极坐标分段型20
\l "_Tc30563" 【题型十一】直线参数方程思维1：换“起点”与标准化t23
\l "_Tc30563" 【题型十二】直线参数方程思维2：弦长公式26
\l "_Tc30563" 【题型十三】直线参数方程思维3：解析关于t的韦达定理28
\l "_Tc30563" 【题型十四】直线参数方程思维4：综合难度较大的题30
\l "_Tc30563" 【题型十五】综合：轨迹32
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练36
【题型一】消参难点1：分母二次分式型消参
【典例分析】
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．
解：（1）因为，且且，所以C的直角坐标方程为.的直角坐标方程为.
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.
C上的点到的距离为.
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.
【提分秘籍】
基本规律
【典例分析】这道题的具体消参计算过程
方法1：万能代换型 消去参数：
方法二：分析数据配凑法。
方法三：简洁的根本是计算中间一步的细节处理
发现x是对应齐次单变量参数形式，可以反解出
因为t是平方形式，所以需要y平方后代入，计算细节在于代入后，分母那个计算，一定要先通分，这样出来几乎没有计算量
【变式演练】
1.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求C的普通方程和的直角坐标方程；
(2)求C上的点到距离的最大值．
【答案】（1）C的普通方程为．的直角坐标方程为（2）3
【详解】（1）由（t为参数），因为，且，
所以C的普通方程为．由ρcsθρsinθ+4＝0，得xy+4＝0．
即直线l的直角坐标方程为得xy+4＝0；
（2）由(1)可设C的参数方程为(为参数，)．则P到直线得xy+4＝0的距离为：
C上的点到的距离为．
当时，取得最大值6，故C上的点到距离的最大值为3．
2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．
（1）写出曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）求上的点到距离的最小值．
【答案】（1）：，：；（2）．
【详解】（1）∵且，∴的普通方程为，
，即，∴的直角坐标方程为．
（2）由（1）可知：设的参数方程为（为参数），则可设上任意一点坐标为，
则上点到距离为，其中
当时，，∴曲线上的点到距离的最小值为．
【题型二】 消参难点2：正余弦对偶型
【典例分析】
在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于，两点，证明：为定值
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【详解】（1）由得由得，得，的普通方程是，的直角坐标方程为.
（2）由（1）知设的参数方程为为参数），代入的方程得，当时，设方程的两根为，所以为定值.
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为为参数)．(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若曲线与曲线有公共点，求的取值范围．
【答案】(1),；(2).
【详解】(1)由,得，
又由所以曲线可化为，
又由,得，即，所以所以曲线可化为.
(2)若曲线M，N有公共点，则当直线过点时满足要求，此时，
并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，
联立,得，由，解得.综上可求得t的取值范围是.
2.在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，，求的值．
【答案】（1）．．（2）
【详解】（1）曲线的参数方程消去参数得，曲线的普通方程为．
∵，∴，∴直线的直角坐标方程为．
（2）设直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程并化简得，∴，．∵点在直线上，∴．
【题型三】 消参难点3：构造正切公式型
【典例分析】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（2）射线与曲线交于点（异于原点）、与直线交于点，求的值.
【答案】（1）；；（2）
【详解】（1），，，即曲线的普通方程为：；
由得：，
直线的直角坐标方程为：.
（2）由可得曲线的极坐标方程为，当时，，，
.
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，曲线的参数方程为，(为参数，且)．（1）求与的普通方程，
（2）若分别为与上的动点，求的最小值．
【答案】（1）的普通方程为的普通方程为，；（2）
【详解】（1）消参可得的普通方程为；
又因为的参数方程为，可得，又，所以，
所以的普通方程为，
（2）由题意，设的平行直线为，联立消元可得：，
令，解得，又因为，经检验可知时直线与相切，
所以.
2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.
（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.
【答案】（1）的极坐标方程为，普通方程为；（2）
【详解】（1），
，即曲线的普通方程为，依题意得曲线的普通方程为，
令，得曲线的极坐标方程为；
（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，则
，，，异号
，
，，；
【题型四】 参数方程核心思维1：参数方程即动点坐标
【典例分析】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线、的直角坐标方程；
（2）若为曲线上的任意一点，求的最小值.
【答案】（1）：，：；（2）.
【详解】（1）消去参数得：，因为，所以.
所以.所以：.
（2）设，则，当且仅当（）时，.
【提分秘籍】
基本规律
椭圆为主的参数方程，理解成动点坐标。
【变式演练】
1.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．
（1）若直线与曲线交于两点，求的值；（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值．
【答案】（1）；（2）.
试题解析:（1）已知曲线的标准方程为，则其左焦点为，则，将直线
的参数方程与曲线的方程联立，
得，则
由曲线的方程为，可设曲线上的动点，则以为顶点的内接矩形周长为，因此该内接矩形周长的最大值为16
2.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 (为参数)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)设曲线经过伸缩变换后得到曲线，设为上任意一点，
求的最小值，并求相应的点的坐标.
【答案】（1），直线方程为 （2）1.或
解析：（1），故圆的方程为.直线的参数方程为， 直线方程为.
（2）由和得： .设点为，则，所以当或时，原式的最小值为.
3.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程以及曲线C的参数方程；
（2）过曲线C上任意一点M作与直线的夹角为的直线，交于点N，求的最小值
【答案】（1）0，（为参数）；（2）.
【详解】（1）将直线的参数方程消去参数，可得直线的普通方程为0．
将，代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直角坐标方程为，
即故曲线C的参数方程为（为参数）
（2）设，则M到的距离，其中．
如图，过点M作于点P，
则，则在中，．当时，取得最小值
故的最小值为．
【题型五】 参数方程核心思维2：抛物线的参数方程可化为斜率
【典例分析】
在平面真角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线与曲线交于M，N两点，直线OM和ON的斜率分别为和，求的值．
【答案】（1），（2）1
解：（1）．由，（t为参数），消去参数t，得，即的普通方程为，由，得，即，
将代入，得，即的直角坐标方程为．
（2）．由（t为参数），得，则的几何意义是抛物线上的点（原点除外）与原点连线的斜率．由题意知，将，（t为参数）代入，得．
由，且得，且．设M，N对应的参数分别为、，则，，
所以．
【提分秘籍】
基本规律
抛物线上动点，可转化为与原点连线的斜率或斜率倒数
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；
（Ⅱ）若与交于，两点，求的值.
【答案】（Ⅰ）的普通方程为；的直角坐标方程；（Ⅱ）.
【详解】（1）由（为参数），消去参数，得，即的普通方程为.
由，得，将，代入，得，
即的直角坐标方程.
（2）由（为参数），可得（），故的几何意义是抛物线上的点（原点除外）与原点连线的斜率.由题意知，当时，，则与只有一个交点不符合题意，故.把（为参数）代入，得，设此方程的两根分别为，，
由韦达定理可得，，，所以.
2.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求直线和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线和曲线交于，两点，直线，，的斜率分别为，，，求证：．
【答案】（1）直线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由代入中，可得直线的直角坐标方程，消参可得曲线的直角坐标方程．
（2）将曲线的参数方程代入直线的直角坐标方程，得．由一元二次方程的根与系数的关系和参数的意义可得证．
【详解】
（1）解：由，得，
则直线的直角坐标方程为；
曲线的直角坐标方程为．
（2）证明：将代入，得．
由直线和曲线交于、两点且，得；
设方程的两根分别为，，则；
而表示曲线上的点与原点连线的斜率，所以，，
所以．
又直线的斜率为，所以．
【题型六】 极坐标思维1：极坐标弦长
【典例分析】
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
（1）若，求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程：
（2）若直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．
【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）
【详解】（1）由题意，直线，可得直线是过原点的直线，故其极坐标方程为，
又，故；
（2）由题意，直线l的极坐标为，设、对应的极径分别为，，
将代入曲线的极坐标可得：，
故，，，
故，则，即 ，，所以
故直线的斜率是．
【提分秘籍】
基本规律
极坐标体系下的弦长公式
【变式演练】
1.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线上的点按坐标变换得到曲线.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若射线和与曲线的交点分别为点，求.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1），即，代入，得，即曲线的方程为.
由，所以的极坐标方程为，即. （未化简，保留上式也可）
（2）将代入，得，即，，
代入，得，即，.所以.
2.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线上的点按坐标变换得到曲线.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若射线和与曲线的交点分别为点，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1），即，代入，得，即曲线的方程为.由，所以的极坐标方程为；（2）由（1）得，将代入，得，即，，代入，得，即，，所以.
试题解析：
（1），即，
代入，得，即曲线的方程为.
由，所以的极坐标方程为，
即. （未化简，保留上式也可）
（2）将代入，得，即，，
代入，得，即，.
所以.
【题型七】 极坐标思维2：两根韦达定理型
【典例分析】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程；
（2）若射线与曲线交于，两点，求.
【答案】（1）..（2）
【详解】（1）由得，即，
故曲线的极坐标方程为.射线的直角坐标方程为.
（2）将代入，得，即，
设两点对应的为，则，，
所以.
【提分秘籍】
基本规律
极坐标体系中的一元二次方程与韦达定理
【变式演练】
1.直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(其中).
（1）点的直角坐标为(2,2)，且点在曲线内，求实数m的取值范围；
（2）若，当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
试题解析：（1）曲线的极坐标方程对应的直角坐标方程为，即，
由点在曲线的内部可得，解之得，即实数m的取值范围是.
（2）直线l的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程并整理可得，
设直线l与曲线的两个交点对应的极径分别为，则.
则直线l与曲线截得的弦长为，,
即直线l与曲线截得的弦长的取值范围是.
2.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
（1）若，求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程：
（2）若直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．
【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）
【详解】（1）由题意，直线，可得直线是过原点的直线，故其极坐标方程为，
又，故；
（2）由题意，直线l的极坐标为，设、对应的极径分别为，，
将代入曲线的极坐标可得：，
故，，，
故，则，即 ，，所以
故直线的斜率是．
3.已知在平面直角坐标系内，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）把曲线和直线化为直角坐标方程；
（2）过原点引一条射线分别交曲线和直线于，两点，射线上另有一点满足，求点的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．
【答案】（1），；（2）（除去原点）．
解：（1）由曲线的参数方程得：，
所以曲线的直角坐标方程为．又由，，
将极坐标与直角坐标的转化公式，代入上式，得
直线的直角坐标方程为．
（2）在极坐标系内，设，，，则，，
由得，，即，所以，
从而得，且，转化为直角坐标方程为，
所以点的轨迹方程为（除去原点）．
【题型八】 极坐标思维3：求最值与范围
【典例分析】
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的极坐标方程；
（2）射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）圆的参数方程为（为参数)，圆的普通方程是，
又，，圆的极坐标方程为．
（2）设，则有，设，且直线的方程是，
则有，，
，的取值范围为．
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为．（1）求直线l及曲线的极坐标方程；
（2）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.
【答案】（1）直线l的极坐标方程为.的极坐标方程为（2）
【详解】（1）消去直线l参数方程中的t，得，
由，得直线l的极坐标方程为，故．
由点Q在OP的延长线上，且，得，设，则，
由点P是曲线上的动点，可得，即，所以的极坐标方程为．
（2）因为直线l及曲线的极坐标方程分别为，，
所以，，
所以，
所以当时，取得最大值，为．
2.直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(其中).
（1）点的直角坐标为(2,2)，且点在曲线内，求实数m的取值范围；
（2）若，当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
试题解析：（1）曲线的极坐标方程对应的直角坐标方程为，即，
由点在曲线的内部可得，解之得，即实数m的取值范围是.
（2）直线l的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程并整理可得，
设直线l与曲线的两个交点对应的极径分别为，则.
则直线l与曲线截得的弦长为，,
即直线l与曲线截得的弦长的取值范围是.
3.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线上两点，有，求面积最小值.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）由曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为：，
将，代入，得曲线的极坐标方程为：.
（2）设，，代入曲线得：，，
则，
当，，，时可以取到等号，所以面积为.故面积最小值为
【题型九】 极坐标思维4：多线型
【典例分析】
知曲线C的参数方程为x=102csθy=sinθ（θ为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）P，Q为曲线C上两点，若OP⋅OQ=0，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2的值.
【答案】（Ⅰ）ρ2=53sin2θ+2； （Ⅱ）57.
【详解】
（Ⅰ）由x=102csθy=sinθ，得到曲线C的普通方程是：2x25+y2=1，又x=ρcsθ，y=ρsinθ，代入得，5ρ2sin2θ+2ρ2cs2θ=5，即ρ2=53sin2θ+2（ρ2=55sin2θ+2cs2θ也可得分）.
（Ⅱ）因为ρ2=55sin2θ+2cs2θ，所以1ρ2=sin2θ+2cs2θ5，由OP⋅OQ=0，故OP⊥OQ，设点P的极坐标为(ρ1,θ)，则点Q的极坐标可设为(ρ2,θ±π2)，所以|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2=11|OP|2+1|OQ|2=11ρ12+1ρ22= 1sin2θ+2cs2θ5+cs2θ+2sin2θ5 =11+25=57.
【提分秘籍】
基本规律
多曲线交点在极坐标体系中的计算
【变式演练】
1.已知曲线的参数方程是 （是参数， ），直线的参数方程是 （是参数），曲线与直线有一个公共点在轴上，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若点，，在曲线上，求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得x+y＝2，令y＝0，得x＝2．
∵曲线C的参数方程是（为参数，a＞0），消去参数得，
把点（2，0）代入上述方程得a＝2．∴曲线C普通方程为．
（Ⅱ）∵点在曲线C上，即A（ρ1csθ，ρ1sinθ），，在曲线C上，
∴
=
= =．
2.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点O）三点（1）求证：；
（2）当时，B，C两点在曲线上，求与的值
【答案】（1）见解析（2）
试题解析：（1）依题意 则
+4cs
=+= =
（2） 当时，B,C两点的极坐标分别为
化为直角坐标为B，C 是经过点且倾斜角为的直线，又因为经过点B,C的直线方程为 所以
【题型十】 极坐标思维5：极坐标分段型
【典例分析】
在直角坐标系中，曲线，如图将分别绕原点逆时针旋转，，得到曲线，，．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）分别写出曲线的极坐标方程；
（2）设交于两点，交于两点（其中均不与原点重合），若四边形的面积为，求的值.
【答案】（1）的极坐标方程为， 的极坐标方程为 的极坐标方程为， 的极坐标方程为． （2）
【详解】（1）将代入，得的极坐标方程为，
在一致的情况下：点旋转到点，且，所以，
所以的极坐标方程为， 点旋转到点，且，所以，所以的极坐标方程为，
点旋转到点，且，所以，
所以的极坐标方程为．
（2）将代入得， 将代入得，
因为
， 解得，因为，所以．
【提分秘籍】
基本规律
1.极坐标的定义；
2.数形结合思想与方程思想
【变式演练】
1.在极坐标系中，极点为，一条封闭的曲线由四段曲线组成：，，，.（1）求该封闭曲线所围成的图形面积；
（2）若直线：与曲线恰有3个公共点，求的值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，
则曲线的直角坐标方程为，，
，.如图所示：
曲线由弧，弧，弧，弧四段圆弧组成，每段圆弧均在半径为2的圆上，则该封闭曲线所围成的图形面积.
（2）直线的直角坐标方程为，即.当直线经过点，，时，.
当直线经过点，，时，，故的值为.
2.如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，A（2，），B（1，），C（1，），D（2，），弧所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线M1是弧，曲线M2是弧．
（1）分别写出M1，M2的极坐标方程：
（2）点E，F位于曲线M2上，且，求△EOF面积的取值范围．
【答案】（1）M1，M2的极坐标方程为和ρ＝4csθ（）．（2）．
【详解】（1）由题意可知：M1的极坐标方程为．记圆弧AD所在圆的圆心（2，0），
因为，所以极点O在圆弧AD上．设P（ρ，θ）为M2上任意一点，则ρ＝4csθ（）．
所以：M1，M2的极坐标方程为和ρ＝4csθ（）．
（2）设点E（ρ1，α），点F（），（），所以ρ1＝4csα，．
所以．
由于，所以．故．
3.如图，在以为极点，轴为极轴的板坐标系中，圆，，的方程分别为，，.
（1）若相交于异于极点的点，求点的极坐标；
（2）若直线与分别相交于异于极点的两点，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由，∴，∴，
∴，∴点的极坐标为；
（2）设
，∴的最大值为.
【题型十一】 直线参数方程思维1：换“起点”与化标准t
【典例分析】
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于、两点.
（1）求实数的取值范围；（2）若，点，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）曲线，故，则，
即，直线，故圆心到直线的距离，解得，即实数的取值范围为；
（2）直线的参数方程可化为（为参数），代入中，得.
记、对应的参数分别为、，则，.故.
2.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的右顶点到直线的距离；
（2）若点的坐标为，设直线与曲线交于，两点，求的值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）直线的普通方程为,曲线的普通方程为,曲线为双曲线,其右顶点为
利用点到直线距离公式可知；
（2）将直线的标准参数方程改为,并代入化简可得,设一元二次方程的两根为,,故.
【题型十二】 直线参数方程思维2：弦长公式
【典例分析】
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 (为参数)．
（I）分别求曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程；
（II）设曲线和直线相交于两点，求弦长的值．
【答案】（I）：； ：； （II）2.
【详解】（I）由题意，曲线的极坐标方程为，由，则，即；又由直线的参数方程为 (为参数)，消去参数可得，
所以曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为．
（II）将代入圆得：，解得：
由直线的参数的几何意义知：弦长.
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若l与C相交于AB两点，且，求m的值.
【答案】（1）l的普通方程：，C的直角坐标方程：. （2）
【详解】（1）l的普通方程为：，曲线C的直角坐标方程为：.
（2）把直线的参数方程（为参数）带入，整理得：由根与系数的关系知：，，所以，解得.
2.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于，两点，且，求直线的倾斜角的值.
【答案】（1）；（2）或
【详解】(1)由ρ＝4cs θ，得ρ2＝4ρcs θ.因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcs θ，所以x2＋y2＝4x，
即曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)将 代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4，得(tcs α－1)2＋(tsin α)2＝4，
化简得t2－2tcs α－3＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系，得所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，
故4cs2α＝1，解得cs α＝±.因为直线的倾斜角α∈[0，π)，所以α＝或.
3.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (t为参数，0<<)，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当变化时，求|AB|的最小值．
【答案】（I） ；（II） 4.
试题解析：（I）由，得，所以曲线C的直角坐标方程为;
（II）将直线l的参数方程代入，得，设两点对应的参数分别为，则， ，当时，的最小值为.
【题型十三】 直线参数方程思维3：解析关于t的韦达定理
【典例分析】
以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，（为参数).
（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线交于两点，求.
【答案】（1），；（2）1
【试题解析】（1）由，得，令，，得.
因为，消去得，所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.
（2）点的直角坐标为，点在直线上. 设直线的参数方程为，（为参数），代入，得.设点对应的参数分别为，，则，，
所以 .
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于两点.
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若点，求的值.
【答案】（1）;（2）
【详解】（1），；
.
（2）注意到在直线l上，直线倾斜角为，， ，解得直线参数方程为为参数），联立C的直角坐标方程与l的参数方程，
整理得，设方程的解为，则，，异号.
不妨设，,有.
2.在直角坐标系xOy中，已知直线l过点P（2，2）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣ρcs2θ﹣4csθ＝0.
（1）求C的直角坐标方程；
（2）若l与C交于A，B两点，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）曲线的极坐标方程为，两边同时乘以，得，把互化公式代入可得：，即，所以C的直角坐标方程为y2＝4x.
（2）设直线的倾斜角为，可得参数方程为：（为参数），代入抛物线方程可得：，则，，
∴，当且仅当时，等号成立，
的最大值为.
3.已知曲线C的参数方程为，（为参数）.
（1）若点在曲线C上，求m的值；
（2）过点的直线l和曲线C交于A，B两点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）已知曲线C的参数方程为，等价于，，由于，所以等价于.
整理得曲线C的普通方程为，将代入解得.
（2）设直线l的参数方程为（t为参数，为倾斜角），与联立得：，
由韦达定理，.由于，异号，故，
将韦达定理代入，并结合，得.
【题型十四】 直线参数方程思维4：综合难度较大的题
【典例分析】
直角坐标系中曲线C的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）经过点M（2,1）作直线交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）由曲线C的参数方程，得所以曲线C的直角坐标方程为.
设直线的倾斜角为，斜率k=tan，则直线的参数方程为：为参数）.此时P点坐标为P(2+tcs，1+tcs）
联立直线参数方程和椭圆方程，联立的方法就是把P点的参数坐标代入到代入椭圆C的直角坐标方程，化简后得：，此方程中，t是未知量，是已知的参数。关于t的一元二次方程出韦达定理
所以.这个过程中，始终是要待定的常数。由题意可知，P是三等分点，
则PB=2PA, PB=|t1|，PA=|t2|，且P（2,1）在椭圆内部，因而PA与PB方向相反。故有.把这个关系代入韦达定理，再把韦达定理的（1）式代入到（2）式中，化简
得：，即.所以直线的斜率为.
【变式演练】
1.在直角坐标系中，直线（为参数，），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点，若直线与曲线交于两点，且，求。
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
试题解析：（Ⅰ），得到，
因为则曲线的直角坐标方程为。
（Ⅱ）将代入，得到。
又因为，则，所以
解得：，或，则或。
2.在平面直角坐标系xy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|= 8/3，求点M轨迹的直角坐标方程．
【答案】（1）；（2）点的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段弧．
试题解析：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；
曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线
（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得： ，即：，x2+2y2=6表示一椭圆取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0 由△≥0得
故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧
【题型十五】 综合：轨迹
【典例分析】
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
解析 （1）设，则．
由，解得，化直角坐标方程为.
（2）联结，易知为正三角形，为定值．所以当高最大时，的面积最大，如图所示，过圆心作垂线，交于点，交圆于点，此时最大，
.
【提分秘籍】
基本规律
主要是极坐标体系下的轨迹，常规轨迹可参考圆准曲线求轨迹专题
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．
（1）写出的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．
解析 = 1 \* GB2 ⑴将参数方程转化为一般方程 = 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
，消可得，即点的轨迹方程为.
= 2 \* GB2 ⑵将极坐标方程转化为一般方程，联立，解得.
由，解得，即的极半径是．
2.在极坐标系中，为极点，点在曲线：上，直线过点且与垂直，垂足为.
（1）当时，求及的极坐标方程；
（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.
【答案】（1），：.（2），.
【详解】（1）因为在上，当时，.
由己知得，设为上除点外的任意一点，连接，
在中，.
经检验，点在曲线上.所以，的极坐标方程为.
（2）设，在中，，即.
因为在线段上，且，故的取值范围是.所以，点轨迹的极坐标方程为，.
3.在直角坐标系xOy中，直线l过点且倾斜角为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，l与C交于M，N两点.
（1）求C的直角坐标方程和的取值范围；
（2）求MN中点H的轨迹的参数方程.
【答案】（1）；或（2）（为参数，且或）.
解：(1)C的直角坐标方程为，即，是以原点为圆心的单位圆
当时，显然直线l与曲线C相离，不合题意.∴，所以直线l的斜率存在.∴直线l的方程可写为∵直线l与曲线C交于M，N两点，∴圆心O到直线l的距离，
解得∴或.
(2)(法一)直线l的参数方程为(t为参数，或)
设M，N，H对应的参数分别为，，，则，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：
∴，∴，又点H的坐标满足，
(t为参数，或)∴点H的轨迹的参数方程为
即(为参数，或)
(法二)设点，则由可知，当时有即，整理得
当时，点H与原点重合，也满足上式.∴点H的轨迹的参数方程为
(为参数，且或).
1.曲线C的参数方程为（为参数）,直线l的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线C的一般方程;
（2）求直线l被曲线C截得的弦长.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）∵曲线C的参数方程为（为参数）,∴,
即曲线C的一般方程为.
（2）∵直线l的参数方程为（为参数）,即 y•(),即 ,
圆心O到直线l的距离为,∴弦长为 2.
2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），为曲线上的动点，动点满足（且），点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；
（2）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，射线与的异于极点的交点为，已知面积的最大值为，求的值.
【答案】（1）见解析；（2）2
详解：（1）设，，由得.∴∵在上
∴即（为参数），消去参数得.
∴曲线是以为圆心，以为半径的圆.
（2）法1：点的直角坐标为.∴直线的普通方程为，即.
设点坐标为，则点到直线的距离.∴当时，
∴的最大值为
∴.
法2：将，代入并整理得：，令得.
∴∴
∴当时，取得最大值，依题意，∴.
3.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是.
（1）求直线l与圆C的公共点个数；
（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上一点，求的最大值，并求相应点M的坐标.
【答案】（1）1；（2）5，或.
【详解】（1）直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是，
圆C的极坐标方程化为直角坐标方程是；∵圆心到直线l的距离为，等于圆的半径r，∴直线l与圆C的公共点的个数是1；
（2）圆C的参数方程是，；∴曲线的参数方程是，；
∴；
当或时，取得最大值5，此时M的坐标为或.
4.平面直角坐标系中, 已知曲线,将曲线上所有点横坐标, 纵坐标分别伸长为原来的倍和倍后, 得到曲线.
（1）试写出曲线参数方程；
（2）在曲线上求点,使得点到直线的距离最大, 并求距离最大值.
【答案】（1）为参数）.（2）,点的坐标为.
试题解析：（1）曲线的参数方程为为参数）, 由得,
的参数方程为为参数）.
（2）由（1） 得点,点到直线的距离
,
此时点的坐标为.
5.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.
【答案】（1）曲线，曲线.（2）.
解：由和，得，化简得
故：将两边同时乘以，得
因为，所以得的直角坐标方程.
（2）设直线的极坐标方程由，得，
由，得故
当时，取得最大值此时直线的极坐标方程为：，其直角坐标方程为：
6.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）曲线的普通方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和曲线的极坐标方程；
（2）射线:依次与曲线和曲线交于、两点，射线:依次与曲线和曲线交于、两点，求的最大值.
【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）.
【详解】（1）由曲线的参数方程为（其中为参数），所以曲线的普通方程为，
由则曲线的极坐标方程为.又曲线的普通方程为，
由，得曲线的极坐标方程为；
（2）如图，由题意知，点、的极坐标分别为、，
将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得，
，
，
，
当且仅当，即，不等式取等号，因此，的最大值为.
7.在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为x=−1+csty=sint（t为参数），圆C2与圆C1外切于原点O，且两圆圆心的距离C1C2=3，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C1和圆C2的极坐标方程；
（2）过点O的直线l1，l2与圆C2异于点O的交点分别为点A，D，与圆C1异于点O的交点分别为点C，B，且l1⊥l2，求四边形面积ABCD的最大值.
【答案】（1）C1的极坐标方程为ρ=−2csθ，C2的极坐标方程为ρ=4csθ；（2）9.
试题解析：（1）由圆C1的参数方程（t为参数），得(x+1)2+y2=1，
所以，又因为圆C2与圆C1外切于原点O，且两圆圆心的距离|C1C2|=3，
可得C1(2,0),r2=2，则圆C2的方程为(x−2)2+y2=4，所以由x=ρcsθy=ρsinθ，得圆C1的极坐标方程为ρ=−2csθ，
圆C2的极坐标方程为ρ=4csθ.
（2）由已知设A(ρ1,θ)，则由l1⊥l2，可得B(ρ2,θ+π2)，C(ρ3,θ+π)，D(ρ4,θ+32π)，
由（1）得：ρ1=4csθρ2=−2cs(θ+π2)=2sinθρ3=−2cs(θ+π)=2csθρ4=4cs(θ+3π2)=4sinθ，所以S四边形ABCD=12|AC|⋅|BD|=12(ρ1+ρ3)(ρ2+ρ4)=18sinθcsθ=9sin2θ，
所以当sin2θ=1时，即θ=π4时，S四边形ABCD有最大值9.
8.试卷在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ = α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值。
【答案】（1），（2） .
试题解析：（Ⅰ）直线的极坐标方程分别是.圆的普通方程分别是 QUOTE QUOTE ，
所以圆 QUOTE 的极坐标方程分别是 QUOTE QUOTE .
（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为 QUOTE QUOTE 和所以，，
从而.同理，.所以，故当时，的值最大，该最大值是.
9.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.
【答案】（1）； （2）.
【详解】（1）由得曲线的直角坐标方程为，
直线的普通方程为.
(2)直线的参数方程的标准形式为代入，整理得：,
设所对应的参数为，则,所以.
10.在极坐标系中，已知圆的圆心，半径 （Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围
【答案】① ;② 试题解析：（Ⅰ）【法一】∵的直角坐标为，
∴圆的直角坐标方程为 化为极坐标方程是
【法二】设圆上任意一点，则如图可得，
化简得 4分
（Ⅱ）将代入圆的直角坐标方程，
得即有
故，
∵，∴ ，
即弦长的取值范围是 10分[
11.已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若过点的直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的最大值.
【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为（2）
解：（1）因为所以曲线的普通方程为，因为，
所以，所以，即曲线的直角坐标方程为.
（2）设直线的参数方程为（为参数），
又因为直线与曲线存在两个交点，因此.
联立直线与曲线，可得，则，
联立直线与曲线可得，则，
即，所以的最大值为.
12.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标系中，弧所在圆的圆心分别为，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出的极坐标方程；
（2）直线的参数方程为（为参数），点的直角坐标为，若直线与曲线有两个不同交点，求实数的取值范围，并求出的取值范围.
【答案】（1）；；；，或（2），
【详解】
（1）如图所示：
设弧上任意一点因为ABCD是边长为2的正方形，AB所在的圆与原点相切，其半径为1，
所以所以的极坐标方程为；
同理可得：的极坐标方程为；
的极坐标方程为；
的极坐标方程为，或
（2）因为直线的参数方程为所以消去t得，过定点，
直角坐标方程为如图所示：
因为直线与曲线有两个不同交点，所以
因为直线的标准参数方程为，代入直角坐标方程得
令
所以所以所以的取值范围是
13.在极坐标系中，已知点到直线的距离为3.
（1）求实数的值；
（2）设是直线上的动点，在线段上，且满足，求点轨迹方程，并指出轨迹是什么图形.
【答案】（1）；（2），点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
【详解】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为，由点到直线的距离为.
（2）由（1）得直线的方程为，设，则，①
因为点在直线上，所以，②将①代入②，得.
则点的轨迹方程为，化为直角坐标方程为，
则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
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