2023届福建省南平市高三第三次质量检测数学试题含解析

2023届福建省南平市高三第三次质量检测数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求解出A集合包含的元素，由集合的交集运算即可求得答案.

【详解】解：，

又，

故选：C

2．已知，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出并代入计算作答.

【详解】由，得，

所以.

故选：B

3．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】根据几何关系求解.

【详解】

如图，，所以M是AC的中点，；

故选：C.

4．2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比-热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆锥以及圆柱的体积公式即可求得答案.

【详解】由模型的轴截面可知圆锥的底面半径为，高为；

圆柱的底面半径为，高为，

故该模型球舱体积为（），

故选：C

5．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则（    ）

A．的周期为

B．在上单调递增

C．的图象关于点对称

D．的图象关于直线对称

【答案】D

【分析】根据题意求得函数周期，判断A；进而确定，可得函数解析式，利用正弦函数单调性判断B；根据正弦函数的对称性可判断C，D.

【详解】由题意函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，

故函数周期为，A错误；

则，

当时，，

因为函数在上不单调，故在上不单调递增，B错误；

因为，此时函数取到最小值，

故的图象不关于点对称，C错误；

，此时函数取到最大值，的图象关于直线对称，D正确，

故选：D

6．某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产规格的芯片．现有25块该规格的芯片，其中来自甲、乙、丙的芯片数量分别为5块、10块、10块．若甲、乙、丙生产的芯片的优质品率分别为0.9，0.8，0.7，则从这25块芯片中随机抽取一块，该芯片为优质品的概率是（    ）

A．0.78 B．0.64 C．0.58 D．0.48

【答案】A

【分析】根据题意可得优质品总数为，再根据古典概型的概率计算公式即可求得该芯片为优质品的概率.

【详解】由题可知，

甲、乙、丙生产的芯片的优质品总数为，

根据古典概型计算可得该芯片为优质品的概率为.

故选：A

7．分别是函数和图象上的点，若与x轴平行，则的最小值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设方程为，联立方程组分别求得坐标，可得的表达式，利用导数求得其最小值，即可得答案.

【详解】因为与x轴平行，设方程为，

由，可得，即，

由，可得，即，

所以，

设，则，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

故，

故选：B

8．已知双曲线的左顶点为A，若E上存在点P，使得P与A关于直线对称，则E的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】设，根据P与A关于直线对称，表示出P点坐标，然后代入双曲线方程可得的关系式，利用离心率的计算公式即可得答案.

【详解】由已知可知，设与A关于直线对称，

则，解得，

即，由于P点在上，

故，即，

故，

故选：A

二、多选题

9．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用函数单调性一一判定即可.

【详解】易知在定义域上单调递减，故时，，即A错误；在定义域上单调递增，故时，，即B正确；

在定义域上单调递减，故时，，即C错误；

，则，即在定义域上单调递增，

所以时，有，即，故D正确.

故选：BD

10．在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（    ）

A．平面

B．平面

C．平面平面

D．点E到平面的距离为

【答案】ACD

【分析】检验所给定的正方体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；求出点到平面距离判断D作答.

【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

对于A，，显然，

即平行于平面，而平面，因此平面，A正确；

对于B，，，即有不垂直于，

而平面，因此不垂直于平面，B错误；

对于C，，而，显然，

，即平面，

于是平面，而平面，因此平面平面，C正确；

对于D，，，设平面的一个法向量，

则，令，得，又，

所以点E到平面的距离，D正确.

故选：ACD

11．已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（    ）

A．的最大值为

B．的面积最小值为2

C．当取到最大值时，直线AP与C相切

D．当取到最大值时，

【答案】AC

【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出直线的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线定义逐项分析判断作答.

【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设，

显然直线不垂直于轴，设直线的方程为：，

由消去x得：，则，

对于A，显然，，

当且仅当时取等号，A正确；

对于B，的面积，

当且仅当时取等号，B错误；

对于C，由选项A知，当最大时，点，此时直线方程为，

由消去x得：，，直线AP与C相切，C正确；

对于D，由选项C知，当最大时，轴，显然，

即，，D错误.

故选：AC

12．已知函数满足，，则（    ）

A．

B．

C．若方程有5个解，则

D．若函数（且）有三个零点，则

【答案】BCD

【分析】由可构造函数，由已知条件求出，再由解析式求解判定选项.

【详解】因为，构造函数，

则，所以可设，

又，所以，.

对于A选项，，故A选项错误；

对于B选项，由，所以当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，

所以，而均大于0，要比较的大小，只需比较的大小，，

令，

则，在单调递增，在单调递减，

所以，所以，即，进而，故B选项正确；

对于C选项，方程可化为（＊），

令，则方程（＊）可化为

作出的图象如图所示：

方程，

①    时，时，方程的解只有一个，

则函数的零点至多有三个，不合题意；

②    时，方程无解，无零点，不合题意；

③    时，即或时，方程的解有两个，记为且，

若方程有5个解，则有2个零点，有3个零点，即，由求根公式得，，

解得，此时合题，故C选项正确；

对于D选项，若函数（且）有三个零点，

则方程有三个根，因为，又在单调递增，

所以方程有三个根，则方程有三个根，

所以有三个根，所以有三个根，即有三个根，

令，因为，所以为奇函数，

则当时，则，

令，所以在单调递增，在单调递减,

所以；当时，，当时，，

作出函数的图象如下：

所以或，解得，故D选项正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．在的展开式中的常数项为_______.

【答案】

【分析】写出通项公式，给r赋值即可得出．

【详解】的通项公式为：Tr+1（-1）rx6﹣2r．

令6﹣2r＝0

解得r＝3，

∴（-1）320，所以常数项为-20．

故答案为-20．

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题．

14．对于任意实数，直线恒过定点A，且点，则直线的一个方向向量为________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】求出直线所过定点A的坐标，即可求得答案.

【详解】由题意对于任意实数，直线，

即，

即定点A为，

所以直线的一个方向向量为，

故答案为：

15．已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．

【答案】

【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可得，即可求得，继而求出切点坐标以及切线斜率，即得答案.

【详解】设曲线和曲线在公共点处的切线相同，

则，

由题意知，

即，解得，

故切点为，切线斜率为，

所以切线方程为，即，

故答案为：

16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕y轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为________．

【答案】

【分析】根据给定条件，可得旋转体垂直于轴的截面是圆环，求出圆环面积，利用祖暅原理求出旋转体体积作答.

【详解】双曲线的渐近线为，设直线交双曲线及其渐近线分别于及，如图，

由，得，由，得，

线段绕y轴旋转一周得到一个旋转体的一个截面，它是一个圆环，其内径，外径，

此圆环面积为，因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为，旋转体的高为，

而底面圆半径为，高为的圆柱垂直于轴的任意一截面面积都为，

由祖暅原理知，此旋转体的体积等于底面圆半径为，高为的圆柱的体积.

故答案为：

【点睛】关键点睛：利用祖暅原理求几何体的体积，找到一个等高的可求体积的几何体，并将它们放置于两个平行平面间，再探求出被平行于两个平行平面的任意一平面所截，截面面积相等是解题的关键.

四、解答题

17．设为数列的前n项积．已知．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用给定的递推公式，结合前n项积的意义求解作答.

（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求解作答.

【详解】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，

即，当时，有，两式相除得，，

显然，即，因此当时，，即，

所以数列的通项公式.

（2）设的前项和为，由（1）得，，于是，

因此，

则，

所以数列前项和为.

18．已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求A的大小；

(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式和角的正余弦公式化简求解作答.

（2）利用三角形面积公式化简得，再利用余弦定理结合均值不等式求解作答.

【详解】（1）在中，由及二倍角公式，得，

即，整理得，

因此，即，而，

所以.

（2）由（1）及已知，得，即有，

由余弦定理得，即，

因此，即，

于是，当且仅当时取等号，而，

所以面积的最小值为.

19．如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，与平面所成角为．

(1)证明：；

(2)点D在的延长线上，且，M是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作底面，先证明点在上，且为的中点，继而证明平面，即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.

【详解】（1）作底面，垂足为O，则为与平面所成角，

即，在中，由可得，

因为底面，底面，故,

在中，，则,

在中，由可得，

故，且,

在中，，则≌，

故,而,故点必在上，且为的中点，

底面，底面，故，

又平面,

故平面平面,

故.

（2）由（1）可知,,且平面,

故平面,

以点O为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

由于，故,

则，

则，即，

设平面的法向量为，则，

即，令，则，

由题意可取平面的一个法向量为，

设平面与平面夹角为，

则，

故平面与平面夹角的余弦值为.

20．五一小长假期间，文旅部门在某地区推出A，B，C，D，E，F六款不同价位的旅游套票，每款套票的价格（单位：元；）与购买该款套票的人数（单位：千人）的数据如下表：

（注：A，B，C，D，E，F对应i的值为1，2，3，4，5，6）为了分析数据，令，，发现点集中在一条直线附近．

(1)根据所给数据，建立购买人数y关于套票价格x的回归方程；

(2)规定：当购买某款套票的人数y与该款套票价格x的比值在区间上时，该套票为“热门套票”．现有甲、乙、丙三人分别从以上六款旅游套票中购买一款．假设他们买到的套票的款式互不相同，且购买到“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．

附：①参考数据：，，，．

②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，期望为2.

【分析】（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式求出的回归方程，再代换作答.

（2）利用（1）的结论结合已知，求出“热门套票”数，再借助超几何分布求出分布列、期望作答.

【详解】（1）由已知点集中在一条直线附近，设回归直线方程为，

由，，，

得，，

因此变量关于的回归方程为，

令，则，即，

所以关于的回归方程为.

（2）由，解得，所以，

于是为“热门套票”，则三人中购买“热门套票”的人数服从超几何分布，的可能取值为1,2,3，

，

所以的分布列为：

期望.

21．已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为F，C的离心率为，且C上的点B到F的距离的最大值和最小值的积为1．过点F的直线（与x轴不重合）交C于P，Q两点，直线，分别交过点F且垂直x轴的直线于M，N两点．

(1)求C的方程；

(2)记，的面积分别为，，试探究：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)是，

【分析】（1）根据题意，列出方程，求得即可得到椭圆方程；

（2）根据题意，分别表示出直线的直线方程，从而得到点的纵坐标，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）由题意得，解得，所以，

则椭圆的方程为.

（2）  

依题意得直线的方程为，设直线的方程为，，

由得，，则，

所以，

的方程为：，

由，解得，

的方程为：，

由，解得，

所以

【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交的问题，以及三角形面积问题，难度较难，解决本题的关键在于得到直线的方程，得到点的纵坐标，然后结合运算即可得到的比值.

22．已知函数，．

(1)讨论的极值；

(2)若的极小值为3，且，，，成立，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论单调性确定极值作答.

（2）由（1）的结论及已知求出a值，再探讨函数在上的单调性，等价变形不等式，转化成函数在上单调递增求解作答.

【详解】（1）函数的定义域是R，求导得，

当时，单调递增，无极值；

当时，由，得，当时，，

函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，

所以当时，函数取得极小值，无极大值.

（2）由（1）知，，令，

求导得，由，得，

当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，

因此当且仅当时，函数取得最大值3，则由，得，

不妨设，当时，为增函数，

当时，为增函数；

于是，等价于，

则不等式对恒成立，

令，则函数在上单调递增，

因此在上恒成立，

设，显然，求导得，

令，有在上单调递增，

当时，，函数在上单调递增，

于是，函数在上单调递增，

因此，从而在上恒成立；

当时，令，得，当时，，

则当时，函数单调递减，，

即当时，函数单调递减，，

因此当时，，不符合题意，

所以的取值范围是.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.