【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-第01讲《平面向量与三角形中的范围与最值问题》讲学案

第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题

【知识点梳理】

知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：

1．定义法

第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步:得出结论

2．坐标法

第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步: 将平面向量的运算坐标化

第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

3．基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

4．几何意义法

第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹

第二步: 根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

知识点二．极化恒等式

1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

   （1）

   （2）

（1）（2）两式相加得：

2．极化恒等式：

上面两式相减，得：————极化恒等式

（1）平行四边形模式：

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。

（2）三角形模式：（M为BD的中点）

知识点三.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:

(1)利用基本不等式求范围或最值；

(2)利用三角函数求范围或最值；

(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；

(4)根据三角形解的个数求范围或最值；

(5)利用二次函数求范围或最值.

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.

【题型归纳目录】

题型一：定义法

题型二：坐标法

题型三：基底法

题型四：几何意义法

题型五：极化恒等式

【典型例题】

题型一：定义法

例1．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知平面向量满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为_________．

例2．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知中，，，，点P为边AB上的动点，则的最小值为（       ）

A．-4 B．-2 C．2 D．4

例3．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________．

例4．（2022·天津南开·二模）已知平行四边形中，，，，则________；若，，则的最大值为________．

例5．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）若，且，则___________，的最大值为___________.

例6．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知，c＝1且．

(1)求b边的长；

(2)求△ABC的面积；

(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求的最小值．

题型二：坐标法

例7．（2022·云南·昆明一中高一期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．

(1)若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；

(2)若，向量，，求的最小值及对应的x值．

例8．（2022·甘肃平凉·高一期末）已知等腰直角三角形中，斜边的长为，点M是线段上一点，且，点N在线段上，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

例9．（2022·甘肃定西·高一阶段练习）菱形的边长为，，点在边上（包含端点），则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

例10．（2022·北京市海淀区教师进修学校高一阶段练习）如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（       ）

A．

B．若为线段的中点，则

C．的最小值为

D．的最大值比最小值大

例11．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，点在以为圆心2为半径的圆弧上运动，且，则的最小值为（       ）

A． B． C．0 D．2

例12．（多选题）（2022·云南·昆明一中高一期中）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（       ）

A．若点P在BD上时，则

B．的取值范围为

C．若点P在BD上时，

D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1

例13．（多选题）（2022·浙江·高一阶段练习）如图，在四边形中，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法正确的是（       ）

A． B．若为线段的中点，则

C．的最小值为 D．的最大值比最小值大

题型三：基底法

例14．（2022·山东临沂·高一期中）在中，，，，，则__________，若点在线段上，则 的最大值为___________．

例15．（2022·浙江师范大学附属中学高一期末）在梯形中，分别为线段，上的动点.

(1)求；

(2)若，求；

(3)若，求的最小值；

例16．（2022·北京市第十二中学三模）为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为___________，若，则的最小值为___________.

例17．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）已知点P是边长为2的正三角形的边BC上的动点，则（       ）

A．最大值为6 B．为定值6 C．最小值为3 D．为定值3

例18．（2022·天津南开·三模）在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当__________时，则有最小值为__________．

题型四：几何意义法

例19．（2022·湖北·高一阶段练习）如图，圆，圆半径均为4，两圆外切于点O，点A是圆上任意一点，点B是圆上任意一点，则的最小值为___________，最大值为___________

例20．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）平面向量满足，则的最小值为_________．

例21．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知平面向量,若,则在上投影向量的模长的最小值为（       ）

A． B． C． D．

例22．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

例23．（2022·辽宁·高一期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

题型五：极化恒等式

例24．（2022·全国·模拟预测）在中，已知，，，，，点在边上，则的最大值为（       ）

A．3 B．2 C． D．

例25．（2022·北京·人大附中模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

例26．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）如图，在等腰直角中，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段.设为线段上的点，则的最小值为___________.

例27．（2022·湖南·高一阶段练习）已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且，，则的最小值是（       ）

A．1 B． C． D．2

【过关测试】

一、单选题

1．（2022·四川省平昌中学高一阶段练习）若向量的模均为2，且，则的最大值（   ）

A． B．1 C．2 D．

2．（2022·江苏·无锡市第一中学高一阶段练习）已知向量，，则面积的最大值为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）已知向量，，当取最大值时，锐角的值为（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·贵州黔东南·高一期中）已知向量，，且，，则的最大值为（       ）

A．1 B．3 C．7 D．5

6．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知平面向量均为单位向量，．=0，，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

7．（2022·河北石家庄·高一阶段练习）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为均是边长为2的等边三角形．设点P为前轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（       ）

A．2 B．4 C． D．6

8．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的最大值是（            ）

A． B． C．1 D．2

9．（2022·北京·人大附中高一阶段练习）如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（       ）

A．为定值16 B．为定值10 C．最大值为8 D．与的位置有关

二、多选题

10．（2022·福建·三明一中高一期中）已知，是平面内夹角为的两个单位向量，向量在该平面内，且，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．的最小值为

11．（2022·山东省实验中学高一期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.（       ）

A． B．若，则

C．若，则 D．的最小值为

12．（2022·江苏·扬州中学高一期中）已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．若，则的面积是面积的

C．若，，则

D．若，，则当取得最小值时，

13．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）已知的重心为，点是边上的动点，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．若，则的面积是面积的

C．若，，则

D．若，，则当取得最小值时，

三、填空题

14．（2022·福建·三明市第二中学高一阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作圆弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为__________．

15．（2022·山东枣庄·高一期中）若是边长为6的等边三角形，点满足，且（其中，），则的最小值为______．

16．（2022·宁夏·银川一中高一期中）已知为等边三角形，，所在平面内的点满足的最小值为____________．

17．（2022·江苏扬州·高一期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.的最小值为___________

18．（2022·上海市七宝中学高一期中）非零向量满足，则的最小值为_______.

19．（2022·浙江台州·高一期中）在直角坐标平面内，，，若对任意实数，点都满足，则的最小值为________．

20．（2022·上海市第二中学高一期中）在中，,,有下述三个结论：

①若G为的重心，则；

②若P为边上的一个动点，则为定值2；

③若M、N为边上的两个动点，且，则的最小值为．

其中所有正确结论的编号________________．

21．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知平面向量满足与的夹角为，记，则的取值范围是___________.

22．（2022·四川省广汉中学高一阶段练习（理））已知是边长为2的正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为______．

23．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期中）已知是边长为2的等边三角形，若点是区域内一点（不包括边界），且，则的取值范围是______．

24．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的项点A、B分别在x轴非负半轴和y轴非负半轴上，顶点C在第一象限内，AB＝2，BC＝1，设∠DAx＝θ，若，则的取值范围为______．

25．（2022·湖北荆州·高一期中）在中，D、E分别是BC、AC的中点，且，，则的取值范围是__________．

26．（2022·湖南·高一期中）已知，，，，点P为平面ABC内一动点，且满足.

（1）已知，则_________；

（2）已知，则的取值范围为_________.