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【暑假提升】人教版数学二年级（二升三）暑假预习：第9单元《数学广角集合》讲义（知识点+例题+练习）（含解析）
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这是一份【暑假提升】人教版数学二年级（二升三）暑假预习：第9单元《数学广角集合》讲义（知识点+例题+练习）（含解析），共19页。
人教版三年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义
第9单元 数学广角--集合
在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．
一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
容斥原理1：两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数
用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．
容斥原理2：三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C
【例1】同学们进行跳绳和跑步达标练习，跳绳达标的有24人，跑步达标的有30人，两项都达标的有20人。根据上述信息，填写在图中。
【分析】两项都达标的有20人，跳绳达标的有24人，减去20就是只是跳绳达标的人数；同理，跑步达标的有30人，减去20就是只是跑步达标的人数；据此解答即可。
【解答】解：24﹣20＝4（人）
30﹣20＝10（人）
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
【例2】根据下面统计表，把同学们的名字填在如图所示中合适的位置，再填空。
三（1）班参加兴趣小组情况统计表
音乐组
周丹
李红
朱一
杨兰
马杰
美术组
陈东
朱一
宋军
王丽
杨兰
既参加音乐组又参加美术组的有 2 人。
【分析】根据统计表中参加各兴趣小组的名单，完成图示，并结合图示回答问题即可。
【解答】解：如图：
答：既参加音乐组又参加美术组的有2人。
故答案为：2。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
【例3】一次数学测验．全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道题．问两道都做对的有几人？
【分析】用做对第一道题的人数加上第二道题的人数，然后再减去全班的总人数就是两题都做对的人数．
【解答】解：21+18﹣36，
＝39﹣36，
＝3（人）；
答：两道都做对的有3人．
【点评】本题属于简单的容斥原理问题，关键是明确两题都做对的人数重复数了两次，所以做对第一道题的人数加上做对第二道题的人数减去总人数就是两题都做对的人数．
【例4】四年级二班有45人，会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会的有10人．两种棋都会的有多少人？
【分析】先求出会下象棋的人数与围棋的人数和，再加上两样都不会下的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种棋都会下的人数，所以再减去总人数45，就是两种棋都会下的人数．
【解答】解：21+17+10﹣45
＝48﹣45
＝3（人）
答：两种棋都会下的有3人．
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数+非A非B元素个数﹣元素总个数．
【例5】五年级一班有40人，他们都参加了英语课外兴趣小组或信息技术课小组，已知参加了英语课外小组的有32位同学，参加了信息技术课外小组的有20位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？
【分析】由容斥原理可知：参加了英语课外小组的有32位同学加上参加了信息技术课外小组的有20位同学，再减去40人就是两个小组都参加的同学．
【解答】解：32+20﹣40
＝52﹣40
＝12（位）
答：两个小组都参加的同学12位．
【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
一．选择题（共8小题）
1．三年级举办“经典诵读”展示活动，其中三（2）班共有45人参加，参加古诗词诵读的有37人，参加美文朗读的有26人，每位同学至少参加了一项。两项都参加的有多少人？下列算式正确的是（ ）
A．45﹣37＝9 （人） B．45﹣26＝19 （人）
C．（26+37）﹣45＝18 （人）
2．同学们去动物园游玩，参观熊猫馆的有25人，参观猴山的有32人，两个景点都参观的有18人，去动物园的一共有（ ）人。
A．57 B．50 C．39
3．第一小组订阅《漫画》和《儿童文学》情况如图所示，（每人至少订了一种）。求第一小组一共多少人，错误的关系式是（ ）
A．只订（漫画》的人数+只订《儿童文学》的人数
B．只订《漫画》的人数+订《儿童文学》的人数
C．只订《漫画》的人数+两种都订的人数+只订《儿童文学》的数
4．三（1）班订《数学报》和《语文报》，每人至少订一份，有22人订《数学报》，24人订《语文报》，11人两种都订了，三（1）班有（ ）人。
A．57 B．55 C．35
5．三（1）班每人都参与了向灾区小朋友献爱心活动，有20人捐图书，有15人捐衣物，其中有3人既捐图书又捐衣物。三（1）班一共有（ ）人。
A．35 B．38 C．32
6．四年级一班的同学参加跳绳和踢毽子比赛（每人至少报一项），参加跳绳的有35人，参加踢毽子的有29人。两项都参加的有21人，四年级一班有（ ）人。
A．64 B．43 C．50
7．三一班有32人参加了午餐配餐、课后延时服务，其中参加午餐配餐的有25人，参加课后延时的有29人。三一班既参加午餐配餐又参加课后延时服务的有（ ）人。
A．22 B．25 C．32
8．三（1）班有50名同学，在一次数学测验中答对第一题的有25人，答对第二题的有20人，两道题都答对的有10人，请问：两道题都没有答对的有（ ）
A．10人 B．15人 C．20人
二．填空题（共8小题）
9．四（1）班做完数学作业的有32人，做完语文作业的有29人，两种作业都做完的有15人，全班每人至少做完其中的一种作业。四（1）班有学生 人。
10．佳美水果店昨天进了苹果、香蕉、菠萝、樱桃4种水果，今天进了梨、菠萝、草莓、芒果和香蕉5种水果，昨天和今天该水果店一共进了 种水果。
11．研究100以内含有“3”的数，先填写右边的圈，再数或算得一共有 个这样的数。
12．302班全体同学喜欢球类运动的情况如下：喜欢足球的有35人，喜欢篮球的有24人，两项都喜欢的有17人，302班共有 人，只喜欢足球一个项目的有 人。
13．40名同学参加兴趣小组，参加合唱小组的有23人，参加舞蹈队的有26人，既参加合唱小组又参加舞蹈队的有 人。
14．三（1）班一共有48名学生，每人至少参加一项阳光体育运动。其中参加跳绳的有27人，参加踢毽子的有26人，两项都参加的有 人。
15．三（1）班有32人订阅了《小学科学》，有24人订阅了《纸上天文馆》，有12人两种刊物都订阅了，每人至少订阅了其中的一种刊物，三（1）班共有 人。
16．东风小学组织同学们参加运动会，三年级参加跳远的有6人，参加跳高的有8人，同时参加这两项运动的有3人。参加这两项运动的有 人，只参加跳高的有 人。
三．判断题（共5小题）
17．任意给出5个不同的自然数，其中两数之差是4的倍数的至少有一对． （判断对错）
18．同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的10人，参观大象馆的8人，两个馆都参观的是3人，去动物园的一共有18人． （判断对错）
19．参加语文课外小组的有8人，参加数学课外小组的有9人，其中有3人两样都参加，参加课外小组的一共有14人． （判断对错）
20．三年级一共有31人参加了舞蹈组或美术组，其中参加舞蹈组的有19人，参加美术组的有24人，两个小组都参加的有12人． （判断对错）
21．三（1）班读过《安徒生童话》的有20人，读过《格林童话》的有27人，有8人两种书都读过，至少每人读过其中的一本，这个班共有学生55人．… ．（判断对错）
四．应用题（共4小题）
22．实验小学三（一）喜欢篮球的有9人，喜欢足球的有15人，两种球都喜欢的有4人。
（1）填写如图；
（2）喜欢足球或喜欢篮球的一共有多少人？
23．三（1）班有50人，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？
24．四（3）班学生都订了报纸，其中订《中国少年报》的有38人，订《少年智力开发报》的有35人．已知四（3）班共有52名学生，则两种报纸都订了的学生有多少人？
25．某班一次考试有52人参加，共有5道题，每道题做错的人数如下：
题号
1
2
3
4
5
人数
4
6
10
20
39
又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全做对的有6人，做对2道题的人数和3道题的人数一样多，那么做对4道题的有多少人？
五．操作题（共1小题）
26．商店昨天进的水果品种有：菠萝，水蜜桃，梨，西瓜，草莓，苹果，红桔．
商店今天又进了一些水果，品种有：梨，草莓，苹果，香蕉．
（1）把两天进的水果品种填在合适的圈里．
（2）商店两天一共进了 种水果．
六．解答题（共5小题）
27．同学们一起去“丰收农家乐”采摘．采摘草莓的有23人，采摘黄瓜的18人，草莓和黄瓜都采摘的有9人．
（1）填写如图．
（2）去“丰收农家乐”的一共有 人．
28．通过调查三（1）班所有同学知道，每位同学家中都至少拥有小汽车和摩托车中的一种，有小汽车的25户，有摩托车的38户，两种交通工具都拥有的有18户．
（1）根据以上信息填写如图．
（2）三（1）班一共有 人．
29．三年级（1）班参加书法、绘画兴趣组的学生名单如下表：
书法组
冯玉
李欣
廖国健
张瑶
周振荣
周可平
绘画组
李欣
卢晓东
邱志强
张瑶
陈宇
周振荣
（1）填一填
（2）参加书法组和绘画组的学生一共有多少人？
（3）两个兴趣组都参加的有多少人？
30．在一次课外图书阅读调查中：三（5）班学生喜欢读故事书的35人，喜欢读科技书的18人，其中9人两类书都喜欢读，
（1）在图中括号内填上适当的数．
（2）三（5）班共有多少人？
31．30名学生报名参加美术小组．其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组．问两个组都参加的有多少人？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据容斥问题公式：既A又B＝A+B﹣总人数，用参加古诗词诵读的人数加上参加美文朗读的人数，减去全班总人数即可求出两项都参加的人数。
【解答】解：根据题意，求两项都参加的人数，用参加古诗词诵读的人数加上参加美文朗读的人数，减去全班总人数，算式正确的是：
（26+37）﹣45＝18 （人）
故选：C。
【点评】本题主要考查容斥问题，关键利用容斥问题公式：总人数＝A+B﹣既A又B，计算即可。
2．【分析】根据容斥问题公式，用参观熊猫馆的25人加上参观猴山的32人，再减去两个景点都参观的18人，就是去动物园的总人数。
【解答】解：25+32﹣18
＝57﹣18
＝39（人）
答：去动物园的一共有39人。
故选：C。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
3．【分析】订阅《漫画》的人数包括只订阅《漫画》的人数和两种都订阅的人数；同理，订阅《儿童文学》的人数包括只订阅《儿童文学》的人数和两种都订阅的人数；据此求出第一小组一共有多少人即可。
【解答】解：只订《漫画》的人数+订《儿童文学》的人数＝只订《漫画》的人数+只订《儿童文学》的人数+两种都订阅的人数＝第一小组一共的人数
所以只订《漫画》的人数+只订《儿童文学》的人数＝第一小组一共的人数说法错误。
故选：A。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
4．【分析】有22人订《数学报》，24人订《语文报》，11人两种都订了，根据容斥原理可知，把订《数学报》和订《语文报》的人数相加，再减去重叠的人数11人即可。
【解答】解：22+24﹣11
＝46﹣11
＝35（人）
答：三（1）班有35人。
故选：C。
【点评】根据容斥原理之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数，求出订报纸的人数是完成本题的关键。
5．【分析】由容斥原理可知：捐衣物的有15人加上捐图书的有20人，就把两样都捐的3人重复多算了一次，再减去3即可得出答案。
【解答】解：15+20﹣3
＝35﹣3
＝32（人）
答：三（1）班一共有32人。
故选：C。
【点评】此题考查容斥原理的实际运用，关键是理解总人数包括三部分的人数，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B。
6．【分析】根据容斥原理，用跳绳的35人加参加踢毽子的29人，求出和，然后再减去两项都参加的21人（重复计算的人数），就是四年级一班总人数。
【解答】解：35+29﹣21
＝64﹣21
＝43（人）
答：参四年级一班有43人。
故选：B。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
7．【分析】由题意，用25+29就是只参加午餐配餐的、只参加课后延时的以及两样都参加的人数的2倍，再减两样都参加的总人数，即可解决问题。
【解答】解：25+29﹣32
＝54﹣32
＝22（人）
答：三一班既参加午餐配餐又参加课后延时服务的有22人。
故选：A。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
8．【分析】先用25+20＝45求出两者的和，再减去重叠的人数10，求出至少答对一题的人数，列式为：25+20﹣10＝35人，然后用50减去35人，就是两题都没答对的人数，据此解答。
【解答】解：50﹣（25+20﹣10）
＝50﹣35
＝15（人）
答：两题都没答对的有15人。
故选：B。
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解10人是两题都答对的学生的重叠部分，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】容斥原理公式：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。四（1）班学生总数＝做完数学作业的+做完语文作业的﹣两种作业都做完的人数；据此列式解答即可。
【解答】解：32+29﹣15
＝61﹣15
＝46（人）
答：四（1）班有学生46人。
故答案为：46。
【点评】此题考查了容斥原理的公式，要熟练掌握。
10．【分析】利用两天进的水果种类和（4+5）去掉重复的2种水果（香蕉、菠萝）即可求得答案。
【解答】解：4+5﹣2＝7（种）
答：昨天和今天该水果店一共进了7种水果。
故答案为：7。
【点评】此题考查容斥原理的实际运用，用总数去掉重复的即可解决问题。
11．【分析】根据题意可得，列举出十位上含有“3”的数，个位和十位都含有“3”的数，然后把三部分的个数相加即可。
【解答】解：
9+1+9＝19（个）
答：一共有19个这样的数。
故答案为：19。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
12．【分析】根据容斥问题公式，用喜欢足球的35人加上喜欢篮球的24人，减去两项都喜欢的有17人，求全班人数；用喜欢足球的人数减去两项都喜欢的人数，就是只喜欢足球的人数。
【解答】解：35+24﹣17
＝59﹣17
＝42（人）
35﹣17＝18（人）
答：302班共有42人，只喜欢足球一个项目的有18人。
故答案为：42；18。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
13．【分析】根据容斥问题原理，用参加合唱小组的23人，加上参加舞蹈队的26人，减去全班人数，就是参加合唱小组又参加舞蹈队的人数。
【解答】解：23+26﹣40
＝49﹣40
＝9（人）
答：既参加合唱小组又参加舞蹈队的有9人。
故答案为：9。
【点评】本题主要考查容斥问题，关键利用公式：类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数，解答即可。
14．【分析】由题意，用26+27就是只参加跳绳的、只参加踢毽子的以及两项都参加的人数的2倍，然后用这个和再减去三（1）班的总人数，即得两项都参加的人数。
【解答】解：26+27﹣48
＝53﹣48
＝5（人）
答：两项都参加的有5人。
故答案为：5。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
15．【分析】订阅《小学科学》的有32人，订阅《纸上天文馆》的有24人，根据容斥原理可知，全班人数有32+24﹣12＝44（人）。
【解答】解：32+24﹣12＝44（人）
答：三（1）班共有44人。
故答案为：44。
【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
16．【分析】根据容斥问题公式，用参加跳远的人数加上参加跳高的人数，减去两项都参加的人数，得参加这两项运动的人数；用参加跳高的人数减去两项都参加的人数，得只参加跳高的人数。
【解答】解：6+8﹣3＝11（人）
8﹣3＝5（人）
答：参加这两项运动的有11人，只参加跳高的有5人。
故答案为：11，5。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
三．判断题（共5小题）
17．【分析】任何一个正整数除以4所得的余数只有4种情况：余0（整除）、余1、余2、余3．所以对于任意的五个正整数A、B、C、D、E除以4最多可以有4个不同的余数．
【解答】解：根据题干分析可得：对于任意的五个正整数A、B、C、D、E除以4最多可以有4个不同的余数0、1、2、3，
（1）假设A、B、C、D余数各不相同，那么第五个数E除以4的余数只能是0、1、2、3中的一个余数，这样就和A、B、C、D中的一个余数相同（比如A），那么E﹣A就是4的倍数．
（2）假设A、B、C、D中存在两个数除以3所得余数相同（不妨设是AB），那么A﹣B就是4的倍数．
综上所述，任意5个自然数，至少有两个数的差是4的倍数，这句话是正确的．
故答案为：√．
【点评】解答此题的关键是根据任意整数除以4的余数情况有4种，从而进行分析解答．
18．【分析】由题意，用10+8就是只参观熊猫馆、只参观大象馆以及两个馆都参观的人数和，再减去重复计算的两个馆都参观的人数，即得去动物园的总人数．
【解答】解：10+8﹣3
＝18﹣3
＝15（人）
即去动物园的一共有15人，所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】解答此题注意10+8把两个馆都参观的人数多算了一次，所以要减去．
19．【分析】根据容斥原理公式，参加课外小组人数＝参加语文小组的人数+参加数学小组的人数﹣两个小组都参加的人数，据此判断。
【解答】解：8+9﹣3
＝17﹣3
＝14
14＝14
所以，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟练掌握容斥原理公式。
20．【分析】根据“参加舞蹈组的有19人，参加美术组的有24人．”可得两者的总人数：19+24＝43人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：43﹣31＝12（人），据此解答即可．
【解答】解：19+24﹣31
＝43﹣31
＝12（人）
即两个小组都参加的有12人，所以原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）．
21．【分析】根据容斥原理，用20加上27求出两者的人数和，再减去8人，可得这个班的总人数，再和55人比较即可．
【解答】解：20+27﹣8
＝47﹣8
＝39（人）
39≠55
所以，这个班共有学生39人，而不是55人，所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题考查了容斥原理之一，即两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
四．应用题（共4小题）
22．【分析】（1）两种球都喜欢的有4人，即重叠部分有4人，那么只喜欢篮球的有9﹣4＝5人，只喜欢足球的有15﹣4＝11人，据此解答即可。
（2）根据总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。
【解答】解：（1）9﹣4＝5（人）
15﹣4＝11（人）
（2）9+15﹣4
＝24﹣4
＝20（人）
答：喜欢足球或喜欢篮球的一共有20人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
23．【分析】根据容斥原理一：用做完语文作业的人数加上做完数学作业的人数，再减去总人数50即可。
【解答】解：35+40﹣50
＝75﹣50
＝25（人）
答：两种作业都做完的有25人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
24．【分析】有38人订了《中国少年报》，有35人订了《少年智力开发报》，一共有38+35＝73人，其中两种报纸都订的人数被计算了两次，根据容斥原理可知，有（38+35）﹣52名学生两种报纸都订了。
【解答】解：（38+35）﹣52
＝73﹣52
＝21（人）
答：两种报纸都订了的学生有21人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
25．【分析】首先计算出总共有题52×5＝260（道），这样做对的题有260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）。对2道，3道，4道题的人共有52﹣7﹣6＝39（人），他们共做对181﹣1×7﹣5×6＝144（道），由于对2道和3道题的人数一样多，可以把他们看作是对2.5道题的人，这样结合做对2道、3道题、4道题的题目总数为144道，做对2道、3道题、4道题的人数为39人，最后计算出对4道题的有（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）＝31（人）。
【解答】解：52×5＝260（道）
260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）
52﹣7﹣6＝39（人）
181﹣1×7﹣5×6
＝181﹣7﹣30
＝144（道）
（2+3）÷2＝2.5（道）
（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）
＝（144﹣97.5）÷1.5
＝46.5÷1.5
＝31（人）
答：做对4道题的有31人。
【点评】本题考查容斥原理及鸡兔同笼问题，属于较难问题，分析时一定需要细致入微。
五．操作题（共1小题）
26．【分析】利用两天进的水果种类和（7+4＝11）去掉重复的两种水果（梨，草莓，苹果）即可求得答案．
【解答】解：答案如图，
7+4﹣3
＝11﹣3
＝8（种）
答：水果店两天一共进了8种水果．
故答案为：8．
【点评】此题考查容斥原理的实际运用，利用文氏图法直观解决问题．
六．解答题（共5小题）
27．【分析】（1）用采摘草莓的23人减去草莓和黄瓜都采摘的9人求出只采摘草莓的人数，同理求只采摘黄瓜的人数，然后填图即可．
（2）然后把图中三部分的人数相加即可．
【解答】解：（1）23﹣9＝14（人）
18﹣9＝9（人）
（2）9+9+14＝32（人）
答：去“丰收农家乐”的一共有 32人．
故答案为：32．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
28．【分析】（1）由题意，用25减去18就是只拥有小汽车的户数，用38减去18就是只拥有摩托车的户数；据此填写．
（2）把只拥有小汽车的户数、只拥有摩托车的户数以及两种交通工具都拥有的户数相加即得三（1）班的人数，据此解答．
【解答】解：（1）25﹣18＝7（户）
38﹣18＝20（户）
（2）7+18+20＝45（人）
答：三（1）班一共有 45人．
故答案为：45．
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解18户是两种交通工具都拥有的重叠部分．
29．【分析】通过观察可知，书法小组与绘画小组中学生数量以及两个小组都参加的人数．
【解答】解：（1）
（2）6+6﹣3＝9（人）
答：参加书法组和绘画组的学生一共有9人．
（3）答：有图上可以看出，两个兴趣组都参加的有3人．
【点评】完成本题的关键是要认真分析两个小组的名单，根据条件解答．
30．【分析】其中9人两类书都喜欢读，那么用35减去9就是只喜欢读故事书的人数；同理，用18减去9就是只喜欢读科技书的人，据此再把这三部分相加就是三（5）班的总人数．
【解答】解：（1）
35﹣9＝26（人）
18﹣9＝9（人）
（2）26+9+9＝44（人）
答：三（5）班共有44人．
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
31．【分析】根据题意，先求出参加了美术组和书法组的总人数，再根据容斥原理，即可求出两个组都参加的人数．
【解答】解：26+17﹣30，
＝43﹣30，
＝13（人）；
答：两个组都参加的有13人．
【点评】解答此题的关键是，弄清题意，根据容斥原理，列式解答即可．
人教版三年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义
第9单元 数学广角--集合
在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．
一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
容斥原理1：两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数
用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．
容斥原理2：三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C
【例1】同学们进行跳绳和跑步达标练习，跳绳达标的有24人，跑步达标的有30人，两项都达标的有20人。根据上述信息，填写在图中。
【分析】两项都达标的有20人，跳绳达标的有24人，减去20就是只是跳绳达标的人数；同理，跑步达标的有30人，减去20就是只是跑步达标的人数；据此解答即可。
【解答】解：24﹣20＝4（人）
30﹣20＝10（人）
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
【例2】根据下面统计表，把同学们的名字填在如图所示中合适的位置，再填空。
三（1）班参加兴趣小组情况统计表
音乐组
周丹
李红
朱一
杨兰
马杰
美术组
陈东
朱一
宋军
王丽
杨兰
既参加音乐组又参加美术组的有 2 人。
【分析】根据统计表中参加各兴趣小组的名单，完成图示，并结合图示回答问题即可。
【解答】解：如图：
答：既参加音乐组又参加美术组的有2人。
故答案为：2。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
【例3】一次数学测验．全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道题．问两道都做对的有几人？
【分析】用做对第一道题的人数加上第二道题的人数，然后再减去全班的总人数就是两题都做对的人数．
【解答】解：21+18﹣36，
＝39﹣36，
＝3（人）；
答：两道都做对的有3人．
【点评】本题属于简单的容斥原理问题，关键是明确两题都做对的人数重复数了两次，所以做对第一道题的人数加上做对第二道题的人数减去总人数就是两题都做对的人数．
【例4】四年级二班有45人，会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会的有10人．两种棋都会的有多少人？
【分析】先求出会下象棋的人数与围棋的人数和，再加上两样都不会下的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种棋都会下的人数，所以再减去总人数45，就是两种棋都会下的人数．
【解答】解：21+17+10﹣45
＝48﹣45
＝3（人）
答：两种棋都会下的有3人．
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数+非A非B元素个数﹣元素总个数．
【例5】五年级一班有40人，他们都参加了英语课外兴趣小组或信息技术课小组，已知参加了英语课外小组的有32位同学，参加了信息技术课外小组的有20位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？
【分析】由容斥原理可知：参加了英语课外小组的有32位同学加上参加了信息技术课外小组的有20位同学，再减去40人就是两个小组都参加的同学．
【解答】解：32+20﹣40
＝52﹣40
＝12（位）
答：两个小组都参加的同学12位．
【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
一．选择题（共8小题）
1．三年级举办“经典诵读”展示活动，其中三（2）班共有45人参加，参加古诗词诵读的有37人，参加美文朗读的有26人，每位同学至少参加了一项。两项都参加的有多少人？下列算式正确的是（ ）
A．45﹣37＝9 （人） B．45﹣26＝19 （人）
C．（26+37）﹣45＝18 （人）
2．同学们去动物园游玩，参观熊猫馆的有25人，参观猴山的有32人，两个景点都参观的有18人，去动物园的一共有（ ）人。
A．57 B．50 C．39
3．第一小组订阅《漫画》和《儿童文学》情况如图所示，（每人至少订了一种）。求第一小组一共多少人，错误的关系式是（ ）
A．只订（漫画》的人数+只订《儿童文学》的人数
B．只订《漫画》的人数+订《儿童文学》的人数
C．只订《漫画》的人数+两种都订的人数+只订《儿童文学》的数
4．三（1）班订《数学报》和《语文报》，每人至少订一份，有22人订《数学报》，24人订《语文报》，11人两种都订了，三（1）班有（ ）人。
A．57 B．55 C．35
5．三（1）班每人都参与了向灾区小朋友献爱心活动，有20人捐图书，有15人捐衣物，其中有3人既捐图书又捐衣物。三（1）班一共有（ ）人。
A．35 B．38 C．32
6．四年级一班的同学参加跳绳和踢毽子比赛（每人至少报一项），参加跳绳的有35人，参加踢毽子的有29人。两项都参加的有21人，四年级一班有（ ）人。
A．64 B．43 C．50
7．三一班有32人参加了午餐配餐、课后延时服务，其中参加午餐配餐的有25人，参加课后延时的有29人。三一班既参加午餐配餐又参加课后延时服务的有（ ）人。
A．22 B．25 C．32
8．三（1）班有50名同学，在一次数学测验中答对第一题的有25人，答对第二题的有20人，两道题都答对的有10人，请问：两道题都没有答对的有（ ）
A．10人 B．15人 C．20人
二．填空题（共8小题）
9．四（1）班做完数学作业的有32人，做完语文作业的有29人，两种作业都做完的有15人，全班每人至少做完其中的一种作业。四（1）班有学生 人。
10．佳美水果店昨天进了苹果、香蕉、菠萝、樱桃4种水果，今天进了梨、菠萝、草莓、芒果和香蕉5种水果，昨天和今天该水果店一共进了 种水果。
11．研究100以内含有“3”的数，先填写右边的圈，再数或算得一共有 个这样的数。
12．302班全体同学喜欢球类运动的情况如下：喜欢足球的有35人，喜欢篮球的有24人，两项都喜欢的有17人，302班共有 人，只喜欢足球一个项目的有 人。
13．40名同学参加兴趣小组，参加合唱小组的有23人，参加舞蹈队的有26人，既参加合唱小组又参加舞蹈队的有 人。
14．三（1）班一共有48名学生，每人至少参加一项阳光体育运动。其中参加跳绳的有27人，参加踢毽子的有26人，两项都参加的有 人。
15．三（1）班有32人订阅了《小学科学》，有24人订阅了《纸上天文馆》，有12人两种刊物都订阅了，每人至少订阅了其中的一种刊物，三（1）班共有 人。
16．东风小学组织同学们参加运动会，三年级参加跳远的有6人，参加跳高的有8人，同时参加这两项运动的有3人。参加这两项运动的有 人，只参加跳高的有 人。
三．判断题（共5小题）
17．任意给出5个不同的自然数，其中两数之差是4的倍数的至少有一对． （判断对错）
18．同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的10人，参观大象馆的8人，两个馆都参观的是3人，去动物园的一共有18人． （判断对错）
19．参加语文课外小组的有8人，参加数学课外小组的有9人，其中有3人两样都参加，参加课外小组的一共有14人． （判断对错）
20．三年级一共有31人参加了舞蹈组或美术组，其中参加舞蹈组的有19人，参加美术组的有24人，两个小组都参加的有12人． （判断对错）
21．三（1）班读过《安徒生童话》的有20人，读过《格林童话》的有27人，有8人两种书都读过，至少每人读过其中的一本，这个班共有学生55人．… ．（判断对错）
四．应用题（共4小题）
22．实验小学三（一）喜欢篮球的有9人，喜欢足球的有15人，两种球都喜欢的有4人。
（1）填写如图；
（2）喜欢足球或喜欢篮球的一共有多少人？
23．三（1）班有50人，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？
24．四（3）班学生都订了报纸，其中订《中国少年报》的有38人，订《少年智力开发报》的有35人．已知四（3）班共有52名学生，则两种报纸都订了的学生有多少人？
25．某班一次考试有52人参加，共有5道题，每道题做错的人数如下：
题号
1
2
3
4
5
人数
4
6
10
20
39
又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全做对的有6人，做对2道题的人数和3道题的人数一样多，那么做对4道题的有多少人？
五．操作题（共1小题）
26．商店昨天进的水果品种有：菠萝，水蜜桃，梨，西瓜，草莓，苹果，红桔．
商店今天又进了一些水果，品种有：梨，草莓，苹果，香蕉．
（1）把两天进的水果品种填在合适的圈里．
（2）商店两天一共进了 种水果．
六．解答题（共5小题）
27．同学们一起去“丰收农家乐”采摘．采摘草莓的有23人，采摘黄瓜的18人，草莓和黄瓜都采摘的有9人．
（1）填写如图．
（2）去“丰收农家乐”的一共有 人．
28．通过调查三（1）班所有同学知道，每位同学家中都至少拥有小汽车和摩托车中的一种，有小汽车的25户，有摩托车的38户，两种交通工具都拥有的有18户．
（1）根据以上信息填写如图．
（2）三（1）班一共有 人．
29．三年级（1）班参加书法、绘画兴趣组的学生名单如下表：
书法组
冯玉
李欣
廖国健
张瑶
周振荣
周可平
绘画组
李欣
卢晓东
邱志强
张瑶
陈宇
周振荣
（1）填一填
（2）参加书法组和绘画组的学生一共有多少人？
（3）两个兴趣组都参加的有多少人？
30．在一次课外图书阅读调查中：三（5）班学生喜欢读故事书的35人，喜欢读科技书的18人，其中9人两类书都喜欢读，
（1）在图中括号内填上适当的数．
（2）三（5）班共有多少人？
31．30名学生报名参加美术小组．其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组．问两个组都参加的有多少人？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据容斥问题公式：既A又B＝A+B﹣总人数，用参加古诗词诵读的人数加上参加美文朗读的人数，减去全班总人数即可求出两项都参加的人数。
【解答】解：根据题意，求两项都参加的人数，用参加古诗词诵读的人数加上参加美文朗读的人数，减去全班总人数，算式正确的是：
（26+37）﹣45＝18 （人）
故选：C。
【点评】本题主要考查容斥问题，关键利用容斥问题公式：总人数＝A+B﹣既A又B，计算即可。
2．【分析】根据容斥问题公式，用参观熊猫馆的25人加上参观猴山的32人，再减去两个景点都参观的18人，就是去动物园的总人数。
【解答】解：25+32﹣18
＝57﹣18
＝39（人）
答：去动物园的一共有39人。
故选：C。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
3．【分析】订阅《漫画》的人数包括只订阅《漫画》的人数和两种都订阅的人数；同理，订阅《儿童文学》的人数包括只订阅《儿童文学》的人数和两种都订阅的人数；据此求出第一小组一共有多少人即可。
【解答】解：只订《漫画》的人数+订《儿童文学》的人数＝只订《漫画》的人数+只订《儿童文学》的人数+两种都订阅的人数＝第一小组一共的人数
所以只订《漫画》的人数+只订《儿童文学》的人数＝第一小组一共的人数说法错误。
故选：A。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
4．【分析】有22人订《数学报》，24人订《语文报》，11人两种都订了，根据容斥原理可知，把订《数学报》和订《语文报》的人数相加，再减去重叠的人数11人即可。
【解答】解：22+24﹣11
＝46﹣11
＝35（人）
答：三（1）班有35人。
故选：C。
【点评】根据容斥原理之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数，求出订报纸的人数是完成本题的关键。
5．【分析】由容斥原理可知：捐衣物的有15人加上捐图书的有20人，就把两样都捐的3人重复多算了一次，再减去3即可得出答案。
【解答】解：15+20﹣3
＝35﹣3
＝32（人）
答：三（1）班一共有32人。
故选：C。
【点评】此题考查容斥原理的实际运用，关键是理解总人数包括三部分的人数，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B。
6．【分析】根据容斥原理，用跳绳的35人加参加踢毽子的29人，求出和，然后再减去两项都参加的21人（重复计算的人数），就是四年级一班总人数。
【解答】解：35+29﹣21
＝64﹣21
＝43（人）
答：参四年级一班有43人。
故选：B。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
7．【分析】由题意，用25+29就是只参加午餐配餐的、只参加课后延时的以及两样都参加的人数的2倍，再减两样都参加的总人数，即可解决问题。
【解答】解：25+29﹣32
＝54﹣32
＝22（人）
答：三一班既参加午餐配餐又参加课后延时服务的有22人。
故选：A。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
8．【分析】先用25+20＝45求出两者的和，再减去重叠的人数10，求出至少答对一题的人数，列式为：25+20﹣10＝35人，然后用50减去35人，就是两题都没答对的人数，据此解答。
【解答】解：50﹣（25+20﹣10）
＝50﹣35
＝15（人）
答：两题都没答对的有15人。
故选：B。
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解10人是两题都答对的学生的重叠部分，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】容斥原理公式：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。四（1）班学生总数＝做完数学作业的+做完语文作业的﹣两种作业都做完的人数；据此列式解答即可。
【解答】解：32+29﹣15
＝61﹣15
＝46（人）
答：四（1）班有学生46人。
故答案为：46。
【点评】此题考查了容斥原理的公式，要熟练掌握。
10．【分析】利用两天进的水果种类和（4+5）去掉重复的2种水果（香蕉、菠萝）即可求得答案。
【解答】解：4+5﹣2＝7（种）
答：昨天和今天该水果店一共进了7种水果。
故答案为：7。
【点评】此题考查容斥原理的实际运用，用总数去掉重复的即可解决问题。
11．【分析】根据题意可得，列举出十位上含有“3”的数，个位和十位都含有“3”的数，然后把三部分的个数相加即可。
【解答】解：
9+1+9＝19（个）
答：一共有19个这样的数。
故答案为：19。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
12．【分析】根据容斥问题公式，用喜欢足球的35人加上喜欢篮球的24人，减去两项都喜欢的有17人，求全班人数；用喜欢足球的人数减去两项都喜欢的人数，就是只喜欢足球的人数。
【解答】解：35+24﹣17
＝59﹣17
＝42（人）
35﹣17＝18（人）
答：302班共有42人，只喜欢足球一个项目的有18人。
故答案为：42；18。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
13．【分析】根据容斥问题原理，用参加合唱小组的23人，加上参加舞蹈队的26人，减去全班人数，就是参加合唱小组又参加舞蹈队的人数。
【解答】解：23+26﹣40
＝49﹣40
＝9（人）
答：既参加合唱小组又参加舞蹈队的有9人。
故答案为：9。
【点评】本题主要考查容斥问题，关键利用公式：类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数，解答即可。
14．【分析】由题意，用26+27就是只参加跳绳的、只参加踢毽子的以及两项都参加的人数的2倍，然后用这个和再减去三（1）班的总人数，即得两项都参加的人数。
【解答】解：26+27﹣48
＝53﹣48
＝5（人）
答：两项都参加的有5人。
故答案为：5。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
15．【分析】订阅《小学科学》的有32人，订阅《纸上天文馆》的有24人，根据容斥原理可知，全班人数有32+24﹣12＝44（人）。
【解答】解：32+24﹣12＝44（人）
答：三（1）班共有44人。
故答案为：44。
【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
16．【分析】根据容斥问题公式，用参加跳远的人数加上参加跳高的人数，减去两项都参加的人数，得参加这两项运动的人数；用参加跳高的人数减去两项都参加的人数，得只参加跳高的人数。
【解答】解：6+8﹣3＝11（人）
8﹣3＝5（人）
答：参加这两项运动的有11人，只参加跳高的有5人。
故答案为：11，5。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
三．判断题（共5小题）
17．【分析】任何一个正整数除以4所得的余数只有4种情况：余0（整除）、余1、余2、余3．所以对于任意的五个正整数A、B、C、D、E除以4最多可以有4个不同的余数．
【解答】解：根据题干分析可得：对于任意的五个正整数A、B、C、D、E除以4最多可以有4个不同的余数0、1、2、3，
（1）假设A、B、C、D余数各不相同，那么第五个数E除以4的余数只能是0、1、2、3中的一个余数，这样就和A、B、C、D中的一个余数相同（比如A），那么E﹣A就是4的倍数．
（2）假设A、B、C、D中存在两个数除以3所得余数相同（不妨设是AB），那么A﹣B就是4的倍数．
综上所述，任意5个自然数，至少有两个数的差是4的倍数，这句话是正确的．
故答案为：√．
【点评】解答此题的关键是根据任意整数除以4的余数情况有4种，从而进行分析解答．
18．【分析】由题意，用10+8就是只参观熊猫馆、只参观大象馆以及两个馆都参观的人数和，再减去重复计算的两个馆都参观的人数，即得去动物园的总人数．
【解答】解：10+8﹣3
＝18﹣3
＝15（人）
即去动物园的一共有15人，所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】解答此题注意10+8把两个馆都参观的人数多算了一次，所以要减去．
19．【分析】根据容斥原理公式，参加课外小组人数＝参加语文小组的人数+参加数学小组的人数﹣两个小组都参加的人数，据此判断。
【解答】解：8+9﹣3
＝17﹣3
＝14
14＝14
所以，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟练掌握容斥原理公式。
20．【分析】根据“参加舞蹈组的有19人，参加美术组的有24人．”可得两者的总人数：19+24＝43人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：43﹣31＝12（人），据此解答即可．
【解答】解：19+24﹣31
＝43﹣31
＝12（人）
即两个小组都参加的有12人，所以原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）．
21．【分析】根据容斥原理，用20加上27求出两者的人数和，再减去8人，可得这个班的总人数，再和55人比较即可．
【解答】解：20+27﹣8
＝47﹣8
＝39（人）
39≠55
所以，这个班共有学生39人，而不是55人，所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题考查了容斥原理之一，即两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
四．应用题（共4小题）
22．【分析】（1）两种球都喜欢的有4人，即重叠部分有4人，那么只喜欢篮球的有9﹣4＝5人，只喜欢足球的有15﹣4＝11人，据此解答即可。
（2）根据总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。
【解答】解：（1）9﹣4＝5（人）
15﹣4＝11（人）
（2）9+15﹣4
＝24﹣4
＝20（人）
答：喜欢足球或喜欢篮球的一共有20人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
23．【分析】根据容斥原理一：用做完语文作业的人数加上做完数学作业的人数，再减去总人数50即可。
【解答】解：35+40﹣50
＝75﹣50
＝25（人）
答：两种作业都做完的有25人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
24．【分析】有38人订了《中国少年报》，有35人订了《少年智力开发报》，一共有38+35＝73人，其中两种报纸都订的人数被计算了两次，根据容斥原理可知，有（38+35）﹣52名学生两种报纸都订了。
【解答】解：（38+35）﹣52
＝73﹣52
＝21（人）
答：两种报纸都订了的学生有21人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
25．【分析】首先计算出总共有题52×5＝260（道），这样做对的题有260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）。对2道，3道，4道题的人共有52﹣7﹣6＝39（人），他们共做对181﹣1×7﹣5×6＝144（道），由于对2道和3道题的人数一样多，可以把他们看作是对2.5道题的人，这样结合做对2道、3道题、4道题的题目总数为144道，做对2道、3道题、4道题的人数为39人，最后计算出对4道题的有（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）＝31（人）。
【解答】解：52×5＝260（道）
260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）
52﹣7﹣6＝39（人）
181﹣1×7﹣5×6
＝181﹣7﹣30
＝144（道）
（2+3）÷2＝2.5（道）
（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）
＝（144﹣97.5）÷1.5
＝46.5÷1.5
＝31（人）
答：做对4道题的有31人。
【点评】本题考查容斥原理及鸡兔同笼问题，属于较难问题，分析时一定需要细致入微。
五．操作题（共1小题）
26．【分析】利用两天进的水果种类和（7+4＝11）去掉重复的两种水果（梨，草莓，苹果）即可求得答案．
【解答】解：答案如图，
7+4﹣3
＝11﹣3
＝8（种）
答：水果店两天一共进了8种水果．
故答案为：8．
【点评】此题考查容斥原理的实际运用，利用文氏图法直观解决问题．
六．解答题（共5小题）
27．【分析】（1）用采摘草莓的23人减去草莓和黄瓜都采摘的9人求出只采摘草莓的人数，同理求只采摘黄瓜的人数，然后填图即可．
（2）然后把图中三部分的人数相加即可．
【解答】解：（1）23﹣9＝14（人）
18﹣9＝9（人）
（2）9+9+14＝32（人）
答：去“丰收农家乐”的一共有 32人．
故答案为：32．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
28．【分析】（1）由题意，用25减去18就是只拥有小汽车的户数，用38减去18就是只拥有摩托车的户数；据此填写．
（2）把只拥有小汽车的户数、只拥有摩托车的户数以及两种交通工具都拥有的户数相加即得三（1）班的人数，据此解答．
【解答】解：（1）25﹣18＝7（户）
38﹣18＝20（户）
（2）7+18+20＝45（人）
答：三（1）班一共有 45人．
故答案为：45．
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解18户是两种交通工具都拥有的重叠部分．
29．【分析】通过观察可知，书法小组与绘画小组中学生数量以及两个小组都参加的人数．
【解答】解：（1）
（2）6+6﹣3＝9（人）
答：参加书法组和绘画组的学生一共有9人．
（3）答：有图上可以看出，两个兴趣组都参加的有3人．
【点评】完成本题的关键是要认真分析两个小组的名单，根据条件解答．
30．【分析】其中9人两类书都喜欢读，那么用35减去9就是只喜欢读故事书的人数；同理，用18减去9就是只喜欢读科技书的人，据此再把这三部分相加就是三（5）班的总人数．
【解答】解：（1）
35﹣9＝26（人）
18﹣9＝9（人）
（2）26+9+9＝44（人）
答：三（5）班共有44人．
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
31．【分析】根据题意，先求出参加了美术组和书法组的总人数，再根据容斥原理，即可求出两个组都参加的人数．
【解答】解：26+17﹣30，
＝43﹣30，
＝13（人）；
答：两个组都参加的有13人．
【点评】解答此题的关键是，弄清题意，根据容斥原理，列式解答即可．
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