2023年新七年级数学人教版暑假弯道超车自学预习——第11讲 从算式到方程

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·模块一 一元一次方程
·模块二 等式的性质
·模块三 课后作业
模块一
一元一次方程
方程及方程的解
（1）方程：含未知数的等式，叫方程（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）；
（2）方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”.
2. 一元一次方程
（1）一元一次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
（2）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.
【考点1 方程的概念】
【例1.1】下列各式中属于方程的是（ ）
A．3x−4=1B．3+2=9−4C．3x+1−x2D．y−2≠1
【例1.2】下列叙述中，正确的是（ ）
A．方程是含有未知数的式子
B．方程是等式
C．只有含有字母x，y的等式才叫方程
D．带等号和字母的式子叫方程
【变式1.1】下列各式中，是方程的个数为（ ）
①x=0；②3x−5=2x+1；③2x+6；④x−y=0；⑤y2=5y+3；⑥a2+a−6=0．
A．2个B．3个C．5个D．4个
【考点2 一元一次方程的概念】
【例2.1】下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x−2y=0B．1x+3=1C．4x−3=9D．x2−2x=1
【例2.2】若关于x的方程m−2xm−1=6是一元一次方程，则m的值为（ ）
A．±2B．−2C．2D．±1
【变式2.1】已知下列方程:①y−12=y3+1；②x+y=3；③x=0；④x2+4x=3；⑤−3=5x；⑥x1−2x=3x−1.其中是一元一次方程的是（ ）
A．①③⑤B．①③C．①③⑥D．⑤⑥
【变式2.2】如果方程2x2m−1−7=0是一元一次方程，则m=__________．
【变式2.3】下列各式中：2x−1=0，3x=−2；10x2−7x+2；5+(−3)=2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数），若方程个数记为m，一元一次方程个数记为n，则m−n=________．
【考点3 方程的解】
【例3.1】若x=3是方程3x+a=10的解，则a=_______．
【例3.2】请写一个“未知数的系数是−3且方程的解是1”的一元一次方程______．
【变式3.2】若x=2是方程a−bx=4的解，则−6b+3a+2022值为___________．
【考点4 列方程】
【例4.1】列等式表示：比a的3倍大4的数等于a的5倍，得___________
【例4.2】学校体育组有学生43人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（ ）
A．1.5x+x=43B．1.5x+x+8=43
C．1.5x−8+x+8=43D．1.5x−8+x=43
【例4.3】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列方程为（ ）．
A．2x3=x+3B．2x3=x−3C．2x3=2x+3D．2x3=2x−3
【变式4.1】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（ ）
A．223+x=17+20−x B．23+x=217+20−x
C．23+x=217+xD．23+20−x=217+x
【变式4.2】据市公园管理中心统计数据显示，10月1日至3日，市属12个景点接待市民游客105.23万人，比去年同期增长了5.7%，求去年同期这12个景点接待市民游客人数．设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，则可列方程为______．
模块二
等式的性质
等式及其性质
（1）等式：用“=”号连接而成的式子叫等式；
（2）等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等.
【考点1 等式的性质】
【例1.1】已知a=b，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．ac=bcB．ac=bcC．−a+12=0.5−bD．2a−5=−5+2b
【例1.2】由 x−5=3x+1，得 x−3x=1+5，是等式两边同时加上了（ ）
A．3x+5B．3x−5C．−3x+5D．−3x−5
【例1.3】如图所示的四个天平中，相同形状的物体的质量是相等的，①中天平是平衡的，则②③④中的天平仍然平衡的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式1.1】如果3x=2x+7，那么3x−________=7．
【变式1.2】下列等式变形错误的是( )
A．若a=b，则a+2=b+2B．若a=b，则a−3=b−3
C．若a=b，则ax2=bx2D．若a=b，则−4a=−4b
【变式1.3】若a=b，则下列等式：①−a=−b；②2−a=2−b；③am=bm；④a2=b2；⑤ab=1．其中正确的有_____．（填序号）
【考点2 利用等式的性质解一元一次方程】
【例2.1】把方程12x=1变形为x=2，其依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2
C．分数的基本性质D．合并同类项法则
【例2.2】写出一个一元一次方程，要求：所写的方程必须直接利用等式性质2求出解．这样的方程可以为____________________．
【例2.3】利用等式的性质求一元一次方程−3x+5=8的解是________．
【变式2.1】将方程−12x+y=1中x的系数变为5，则以下变形正确的是（ ）
A．5x+y=1B．5x+10y=10C．5x−10y=10D．5x−10y=−10
【变式2.2】利用等式的性质解方程并检验：2−14x=3．
【变式2.3】利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程：
(1)−12x=−32x+2；
(2)2x+1=7．
模块三
课后作业
1．下列各式中，是方程的是（ ）
A．x2−3x=0B．25x−2C．3+(−2)=1D．7x>5
2．由2x−7=3x+2，得2x−3x=2+7，在此变形中方程的两边同时加上（ ）
A．3x+7B．−3x+7C．3x−7D．−3x−7
3．下列等式变形：①如果ax=ay，那么x=y；②如果x=y，那么xa=ya；③如果x=y，那么ax=ay；④如果xa=ya，那么x=y．其中正确的是（ ）
A．①④B．③④C．①②D．②③
4．下列式子变形中，正确的是（ ）．
A．由6+x=10得x=10+6B．由3x+5=4x得3x−4x=−5
C．由5x=5得x=5D．由2(x−1)=3得2x−1=3
5．有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
A．B．
C．D．
6．解方程6x﹣5＝x﹣1时，可将方程变形为6x﹣x＝﹣1+5，其依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2
C．加法交换律D．加法结合律
7．下列方程变形错误的是（ ）
A．由13y=1，得y=3B．由−5x=2，得x=−52
C．由3+x=5，得x=5−3D．由1=x−2，得x=1+2
8．今年10月孝义市遭受洪灾，汛情发生后，我市及时启动防汛应急抢险预案，加固河道堤防，某河段需要18台挖土、运土机械，每台机械每小时能挖土120m3或运土60m3，为了使挖上和运土工作同时开始，同时结束，安排了x台机械被挖土，则可列方程（ ）
A．120x−60x=18(120+60)B．60x+18=120x
C．120x=60(18−x)D．120(x−18)−60x=0
9．如果x=−3是关于x的方程mx−8=15+m的解，那么m=_______．
10．小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了−2x+·=3x，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=−1，于是他判断●的值应为_____．
11．在①2y+1；②1+7=15−8+1；③13x2+x=0；④m+2n=3；⑤a+b=b+a（a，b为常数）中，是方程的为________．（填序号）
12．若关于x的方程3−mxm−2+7=1是一元一次方程，则m的值是______．
13．x的一半比它的3倍少5，用等式表示应为___________ ．
14．在下列方程中①x+2y=3；②1x−3x=9；③y−23=y+13；④12−x2=0，是一元一次方程的有___（填序号）．
15．x=3是关于x的方程ax−b+2=0的解，则15a−5b的值为________．
16．下列方程的变形是否正确？为什么？
(1)由3+x=5，得x=5+3．
(2)由7x=−4，得x=−74．
(3)由12y=0，得y=2．
(4)由3=x−2，得x=−2−3．
17．用等式的性质解下列方程：
(1)4x+7=3；
(2)12x−13x=4．