初中数学湘教版七上第3章 小结与复习 课件

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小结与复习第3章 一元一次方程一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程．2. 一元一次方程的概念：只含有____个未知数，未 知数的次数都是____，等号两边都是______，这 样的方程叫做一元一次方程．3. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的 值叫做方程的解．4. 解方程：求方程解的过程叫做解方程．一1整式1. 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或 式子)，结果仍相等．如果 a＝b，那么 a± ＝ b±c.2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一 个不为 0 的数，结果仍相等．如果 a＝b，那么 ac ＝ ___；如果 a = b (c≠0)，那么 ＝____．二、等式的性质 bcc解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数， 别漏乘． (2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常 数项移到方程右边，移项注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b (a≠0)的形式． (5) 系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m 的形式.三、一元一次方程的解法 1. 列方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数，设其中某个未知量为 x. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)．四、实际问题与一元一次方程2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间关系： 路程＝速度×时间． ① 相遇问题： 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及问题： 甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船问题： v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．(2) 工程问题中基本量之间的关系： ① 工作量 = 工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率 = 工作效率之和； ③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效 率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看 做 1.(3) 销售问题中基本量之间的关系： ① 商品利润 = 商品售价－商品进价；④ 商品售价 = 商品进价 + 商品利润 = 商品进价 + 商品进价×利润率 = 商品进价×(1 + 利润率).(4) 分段计费、方案问题① 要善于分析问题中的不变量，并利用不变量来列方程；② 要善于用不同的方式表示同一个量，由此得到相等关系，从而列出方程．例1 如果 x = 2 是方程 的解，那么 a 的值是 ( ) A. 0 B. 2 C. －2 D. －6解析：将 x＝2 代入方程得 1＋a＝－1，解得 a＝－2. C方法总结：已知方程的解求字母参数的值，将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的方程，解方程即可得字母参数的值.1. 若 (m＋3) x| m |－2＋2＝1 是关于 x 的一元一次方程， 则 m 的值为____．3注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值，需谨记未知数的系数不为 0. 例2 下列说法正确的是 ( ) A. x + 1 = 2 + 2x 变形得到 1 = x B. 2x = 3x 变形得到 2 = 3 C. 将方程 系数化为 1，得 D. 将方程 3x = 4x－4 变形得到 x = 4D方法总结：已利用等式的性质变形，需注意符号问题，同时一定要谨记，利用等式性质 2 变形，等式两边同时除以一个数时，该数不能为 0.B解：去分母，得 3(2x＋1)－12 = 12x－(10x＋1).去括号，得 6x＋3－12 = 12x－10x－1. 移项，得 6x－12x＋10x = －1－3＋12. 合并同类项，得 4x = 8. 系数化为1，得 x = 2. 提示：先用分配律、去括号简化方程，再求解较容易.解：去分母，得 2(x－2) = 20－5(x＋3)， 去括号，得 2x－4 = 20－5x－15， 移项，得 2x＋5x = 20－15＋4， 合并同类项，得 7x = 9， 例4 一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为 7 km/h，水流速度为 2 km/h，往返一次共用 28 h，求甲、乙两码头之间的距离．解：设甲、乙两码头之间的距离是 x km.由顺水航行时间＋逆水航行时间＝往返一次共用时间，得解得 x = 90.答：甲、乙两码头之间的距离是 90 km.4. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑 15 千米，可 早到 10 分钟；每小时骑 12 千米，就会迟到 5 分钟， 则他家到学校的路程是多少千米？解：设他家到学校的路程是 x 千米，依题意得解得 x = 15. 答：他家到学校的路程是 15 千米.例5 抗洪救灾小组在甲地有 28 人，乙地有 15 人，现在又调来 17 人，分配在甲、乙两地，要求调配后甲地人数与乙地人数之比为 3 : 2，求应调至甲地和乙地各多少人.解：设应调至甲地 x 人，则调至乙地的人数为 (17－x)， 根据调配后甲、乙两地人数的数量关系，得解得 x = 8. 则 17 - x = 9.答：应调至甲地 8 人，乙地 9 人. 5. 春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共 450 件，由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该服装 50 件，调运后甲商场该服装的数量是乙商场的 2 倍，求甲、乙两商场原来各自有该品牌服装的数量.解：设甲商城原来有该品牌服装 x 件.根据题意，得 x + 50 = 2[(450 - x) - 50]，解得 x = 250. 则 450 - x = 200.答：甲商城原来有该品牌服装 250 件，乙商城原来有该品牌服装 200 件.例6 一项工作，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成，丙单独做 24 天完成．现甲、乙合作 3 天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，由甲、乙 合作 3 天的工作量 + 乙、丙合作的工作量 = 1，得解得 x = 3.答：乙、丙还要 3 天才能完成这项工作.解析：设这片地共有 x 公顷. 由题意，得解得 x = 189.189例7 某个商品的进价是 500 元，把它提价 40% 后作为标价. 如果商家要想保住 12% 的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出最多打几折.提示：提价 40％ 后，商品标价为 500×(1+40％)，要保住 12％ 的利润率，商品的售价应为500×(1+12％)，根据 可列方程.解：设最多可以打 x 折，根据题意得解得 x = 8.答：广告上可写出最多打 8 折.7. 一家商店将某种商品按进价提高 40% 后标价，节假 日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件仍 可获利 24 元，问这件商品的进价是多少元？解：设这件商品的进价是 x 元，根据题意得解得 x = 200.答：这件商品的进价是 200 元.(1) 当一次性购物标价总额是 300 元时，甲、乙超市实 付款分别是多少？例8 小王逛超市看到如下两个超市的促销信息：假设两家超市相同商品的标价都一样.解：甲超市实付款：300×0.88 = 264 (元)， 乙超市实付款：300×0.9 = 270 (元).(2) 当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？解：设当标价总额是 x 元时，甲、乙超市实付款一样. 由题意知，当 x≤500 时，甲超市的促销力度大于乙超市，此时，标价总额一样的条件下，甲超市实付款始终小于乙超市实付款，所以 x＞500． 根据题意得 0.88x = 500×(1－10％) + 0.8(x－500)， 解得 x = 625．答：当标价总额是 625 元时，甲、乙超市实付款一样.(3) 小王两次到乙超市购物分别付款 198 元和 466 元， 若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省 多少元？分析：由题目信息可知，在乙超市购物标价总额：① 不超过 200 元，不予优惠；② 大于或等于 200 元小于 500 元，实付款大于或等于 180 元，小于450元；③ 大于等于 500 元，实付款大于等于 450 元.解：由题意知： ① 购物标价总额不超过 200 元，不予优惠； ② 大于等于 200 元小于 500 元，实付款大于等于 200×0.9 = 180 (元)，小于 500×0.9 = 450 (元)； ③大于等于 500 元，实付款大于等于 450 元. 小王第一次购物付款 198 元＜200 元，购物标价可 能是 198 元，也可能是 198÷0.9 = 220 (元)， 第二次购物付款 466 元＞450 元，所以购物标价 大于 500 元，为 (466－450)÷0.8 + 500 = 520 (元)，所以，小王两次购物标价之和为 198 + 520 = 718 (元)，或 220 + 520 = 740 (元)．若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为 500×0.9 + 0.8(718－500) = 624.4 (元)， 或 500×0.9 + 0.8(740-500) = 642 (元)，可以节省 198 + 466－624.4 = 39.6 (元)， 或 198 + 466－642 = 22 (元)．答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省 39.6 元或 22 元．8. 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为 了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市 累计购买商品超出 300 元之后，超出部分按原价 8 折优惠；在乙超市累计购买商品超出 200 元之后， 超出部分按原价 8.5 折优惠．设顾客累计购物 x 元 (x＞300)． (1) 请用含 x 的式子分别表示顾客在两家超市购物所 付的费用；解：顾客在甲超市购物所付的费用为： 300 + 0.8(x－300) = (0.8x + 60) 元 (x＞300)； 顾客在乙超市购物所付的费用为： 200 + 0.85(x－200) = (0.85x + 30) 元 (x＞300)．(2) 李明准备购买 500 元的商品，你认为他应该去哪 家超市？请说明理由．解：他应该去乙超市，理由如下： 当 x =500 时，在甲超市购物所付的费用为： 0.8×500 + 60 = 460 (元)； 在乙超市购物所付的费用为： 0.85×500 + 30 = 455 (元). 因为 460＞455， 所以他去乙超市购买更划算．(3) 计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超 市购物所付的费用一样？解：由题意得 0.8x + 60 = 0.85x + 30. 解得 x = 600.答：李明购买 600 元的商品时，到两家超市购物 所付的费用一样．9. 为鼓励节约用电，某地对居民用电收费标准作如下 规定：每户每月用电如果不超过 100 度，那么每度 按 0.50 元收费；如果超过 100 度不超过 200 度，那 么超过的部分每度按 0.65 元收费；如果超过 200 度， 那么超过的部分每度按 0.75 元收费． (1) 若居民甲在 6 月份用电 100 度，则他这个月应缴 纳电费 元；若居民乙在 7 月份用电 200 度， 则他这个月应缴纳电费 元；若居民丙在 8 月 份用电 300 度，则他这个月应缴纳电费 元；50115190(2) 若某户居民在 9 月份缴纳电费 310 元，那么他这个 月用电多少度？解：设他这个月用电 x 度，根据题意得 0.50×100 + 0.65×(200－100) + 0.75×(x－200) = 310， 解得 x = 460．答：他这个月用电 460 度．一元一次方程相关概念方程、方程的解性质1一元一次方程等式的性质性质2(1)(2)(3)(4)(5)模型应用和、差、倍、分问题利润、利息问题行程问题分段计费、方案问题解法步骤