数学七年级下暑假培优专题训练（四）

这是一份数学七年级下暑假培优专题训练（四），共48页。试卷主要包含了平方根等内容，欢迎下载使用。

数学七年级下暑假培优专题训练
专题四、平方根、算术平方根
【专题导航】
目录
【考点一 算术平方根】................................................1
【考点二 算术平方根的非负性】........................................2
【考点三 估算、无理数的整数部分小数部分】............................3
【考点四 算术平方根的规律探究】......................................4
【考点五 算术平方根的实际应用】......................................6
【考点六 根据算术平方根求数】....................................... 8
【考点七 求一个数的平方根】..........................................9
【考点八 利用平方根的定义解方程】....................................9
【考点九 平方根的实际应用】.........................................10
【聚焦考点1】
算术平方根
如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数. 特别规定：0的算术平方根仍然为0.
（1）.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：.
（2）.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根. 因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：.
考点4

【典例剖析1】
【考点一 算术平方根】
【典例1-1】已知，且为正数，求的算术平方根．
【典例1-2】如图是一个数值转换程序．

(1)当整数x的值为16时，求输出y的值；
(2)在输入整数x值后，始终输不出y值的情况？如果存在，请直接写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由；
(3)一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，直接写出这样的x有多少个．
【典例1-3】求下列各数的算术平方根．
(1)16
(2)
针对训练1
【变式1-1】嘉淇做一个数学游戏，给9，5，2添加运算符号使结果等于4，如图为嘉淇所给方法，如果给一种正确的方法得25分．嘉淇的得分为（    ）
  
A． 25分 B．50分 C．75分 D．100分
【变式1-2】求：的值
【变式1-3】勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他把两张破损了一部分的桌面重新拼成一张完整的正方形桌面，其面积为，已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面，其中一张是边长为5dm的小板子，试问另一张较大的桌面的边长应为多少才能拼出面积为的桌面？
【聚焦考点2】
算术平方根的性质：具有双重非负性，即：（1）a≥0， （2）
【典例剖析2】
【考点二 算术平方根的非负性】
【典例2-1】若，则 ______ ．
【典例2-2】已知，，都是实数，且满足，且，则代数式的值是______ ．
【典例2-3】（1）已知实数m，n满足|n﹣2|+＝0，则mn的值为多少？
（2）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，t的算术平方根为2，求2+﹣t的值．
针对训练2
【变式2-1】当x为何值时， 有最小值，最小值为多少？
【变式2-2】若和互为相反数，求的算术平方根
【变式2-3】已知＝b＋8，求a＋b的平方根．
【变式2-4】已知|2020﹣m|+＝m，求m﹣20202的值．
【聚焦考点3】
若，则
任何实数都可以由整数部分和小数部分组成，整数部分指的是不超过这个实数的最大整数，小数部分是这个实数减去它的整数部分．
【典例剖析3】
【考点三 估算、无理数的整数部分小数部分】
【典例3-1】估计的值（　　）
A．在2到3之间 B．在3到4之间 C．在4到5之间 D．在5到6之间
【典例3-2】如果，，那么的等于（    ）
A．3000 B．30 C．24．5 D．77．5
【典例3-3】若无理数，则估计无理数x的范围正确的是（    ）
A． B． C． D．
【典例3-4】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
针对训练3
【变式3-1】如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位．

（1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由．
（2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数．
【变式3-2】如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．

【变式3-3】设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【变式3-4】如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为________．

【聚焦考点4】
【考点四 算术平方根的规律探究】
【典例4-1】观察下列等式.并回答下列问题：
①；
②；
③；
④；
……
(1)请写出第⑤个等式：_______；
(2)写出你猜想的第个等式：_________；（用含的式子表示）
(3)计算．
【典例4-2】研究下列算式，你会发现有什么规律？请用的式子表示出来．，，，…
【典例4-3】问题情境：
数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
；
；
；
……
实践探究：
(1)按照此规律，计算：______；
(2)计算：；
迁移应用：
(3) 若符合上述规律，请直接写出x的值．
针对训练4
【变式4-1】（1）填空：__________，__________；__________，__________．
（2）请按以上规律计算：①；②．
（3）已知，，用含，的式子表示．
【变式4-2】已知，，则_________．
【变式4-3】数学解密：若第一个式子是 ， 第二个式子是， 第三个式子是，…，观察以上规律并猜想第五个式子是_________________
【聚焦考点5】
【考点五 算术平方根的实际应用】
【典例5-1】数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
  
(1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为
如图2，当时，拼成的大正方形的边长为
如图3，当时，拼成的大正方形的边长为
(2)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由．
(3)小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
【典例5-2】已知一块面积为的正方形画布．
(1)求该正方形画布的边长；
(2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由．
【典例5-3】．一块正方形空地的面积是，在这块空地上沿着边的方向建造一间占地的房子，要求所建造的房子的地基是长方形，而且长是宽的两倍，能否做到?为什么?
针对训练5
【变式5-1】如图有两个大小一样的正方形纸片，其边长为cm．小明按如图的方法把每个小正方形沿一条对角线裁成两个三角形，然后再把这四个三角形拼成一个大正方形．
  
(1)这个大正方形的边长为___________cm；
(2)小明要在所拼成的大正方形中沿边的方向裁出一个长宽比为且面积为的长方形，问能否成功，试说明理由．
【变式5-2】勤俭节约是中华民族传统美德，小亮的爸爸是能工巧匠，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为1.69平方米，其中他用的一块木板的边长为0.5米，求另一块木板的边长是多少米？
【变式5-3】杨辉在《田亩比类乘除捷法》记载以下问题：
题：直填积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔共几何？
答：六十步．
术：四因积步，以差步自乘，并而开平方除之，得长阔共步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下：
问题：已知长方形的面积为864，长宽之差为12，则长宽之和为多少？
答案：60．
解法：如图，．
设一个长方形的边长分别是a，b（），请用一个等式解释上述解法的数学原理：__．（用含a，b的式子表示）

【聚焦考点6】
【考点六 根据算术平方根求数】
【典例6-1】一个正数的平方根分别是与，则这个正数的值为（    ）
A． B． C． D．
【典例6-2】已知的平方根是，则__，已知，则__．
【典例6-3】若关于m的代数式和是某个正数的平方根，求这个正数．
针对训练6
【变式6-1】已知．
(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
【变式6-2】已知一个正数的平方根是与．
(1)求a和这个正数的值；
(2)求关于x的方程的解．
【变式6-3】已知的平方根为，的算术平方根为2，求的平方根
【聚焦考点7】
平方根
如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：
（1）. 当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
（2）. 当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：.
（3）当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根.
【考点七 求一个数的平方根】
【典例7-1】已知的平方根是，的算术平方根是4，
(1)求，的值．
(2)求的平方根．
【典例7-2】求下列各数的平方根．
(1)196；
(2)；
(3)；
(4)．
【典例7-3】已知a，b满足，求的平方根．
针对训练7
【变式7-1】已知是的平方根，是9的算术平方根，求的值．
【变式7-2】已知，求的平方根．
【变式7-3】（1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求的平方根．
【聚焦考点8】
【考点八 利用平方根的定义解方程】
【典例8-1】求下列各式中x的值．方程
(1)；
(2)；
(3)．
【典例8-2】（1）已知，求x的值．
（2）一个正数x的两个不同的平方根分别是和，求a和x的值．
【典例8-3】解方程：
针对训练8
【变式8-1】若，且x＜0，y＜0，求的值．
【变式8-2】求下列式中的的值：．
【聚焦考点9】
【考点九 平方根的实际应用】
【典例9-1】已知一块面积为的正方形画布．
(1)求该正方形画布的边长；
(2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由．
【典例9-2】天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离S（单位：）可用公式估计，其中h（单位：）是眼睛离海平面的高度
(1)如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？
(2)若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的4倍，已知眼睛到脚底的高度为，求观望台离海平面的高度？
【典例9-3】“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．
因为，
所以，
，
，，所以．
“2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流．
针对训练9
【变式9-1】某包装公司为厂家制作一批体积为的产品包装盒，厂家要求盒高为，底面为正方形，则底面边长为多少？
【变式9-2】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣）x的值．





















数学七年级下暑假培优专题训练
专题四、平方根、算术平方根（解析版）
【考点一 算术平方根】
【典例1-1】已知，且为正数，求的算术平方根．
【答案】3
【分析】先求出a的平方根，根据题意求得a值，再代入求出代数式的值，即可求解．
【详解】解：由得：，
解得：，
∵为正数，
∴，
∴，
∴的算术平方根是3．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根、代数式的求值，正确求出平方根和算术平方根是解答的关键．
【典例1-2】如图是一个数值转换程序．

(1)当整数x的值为16时，求输出y的值；
(2)在输入整数x值后，始终输不出y值的情况？如果存在，请直接写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由；
(3)一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，直接写出这样的x有多少个．
【答案】(1)
(2)1或0
(3)4个
【分析】（1）将代入题目所给的程序，按照程序的运算步骤进行计算即可；
（2）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有0和1；
（3）根据题意，找出符合条件的两位数即可．
【详解】（1）解：16的算术平方根是，4是有理数，
4是算术平方根是，2是有理数，
2的算术平方根是，是无理数，
∴输出y的值为；
（2）解：∵1和0的任何次方根都是有理数，
当或0时，始终输不出y值；
（3）解：∵25的算术平方根是，5的算术平方根是，
∴x可为25；
∵36的算术平方根是，6的算术平方根是，
∴x可为36；
∵49的算术平方根是，7的算术平方根是，
∴x可为49；
∵64的算术平方根是，8的算术平方根是，
∴x可为64；
综上：这样的x有4个．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义和题目中程序的运算顺序．
【典例1-3】求下列各数的算术平方根．
(1)16
(2)

【答案】．(1)4
(2)
【分析】（1）（2）直接利用算术平方根的定义计算得出答案．
【详解】（1）解：16的算术平方根为：；
（2）的算术平方根为．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键
针对训练1
【变式1-1】嘉淇做一个数学游戏，给9，5，2添加运算符号使结果等于4，如图为嘉淇所给方法，如果给一种正确的方法得25分．嘉淇的得分为（    ）
  
A．25分 B．50分 C．75分 D．100分
【答案】D
【分析】根据算术平方根的计算方法、绝对值化简及有理数的乘法运算依次判断即可．
【详解】解：①；
②；
③；
④；
四种方法都正确，
∴得分为分，
故选：D．
【点睛】题目主要考查算术平方根的计算方法、绝对值化简及有理数的乘法运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
【变式1-2】求：的值
【答案】
【分析】根据被开方数≥0和平方是非负数，得出x的值，代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了代数式求值此，被开方数的非负性质，平方的非负性质，理解被开方数的非负性质，平方的非负性质求出x的值是解关键．
【变式1-3】勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他把两张破损了一部分的桌面重新拼成一张完整的正方形桌面，其面积为，已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面，其中一张是边长为5dm的小板子，试问另一张较大的桌面的边长应为多少才能拼出面积为的桌面？
【答案】另一张较大的桌面的边长应为12dm才能拼出面积为的桌面
【分析】根据面积之间的关系列方程求解即可．
【详解】解：设另一张较大的桌面的边长为x dm，则有，
所以，
因为144的算术平方根是12，
所以x＝12（dm）．
答：另一张较大的桌面的边长应为12dm才能拼出面积为的桌面．
【点睛】本题考查算术平方根、理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
【考点二 算术平方根的非负性】
【典例2-1】若，则 ______ ．
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴
，，
解得，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，正确根据非负数的性质求出a、b的值是解题的关键．
【典例2-2】已知，，都是实数，且满足，且，则代数式的值是______ ．
【答案】
【分析】直接利用非负数的性质得出，，的值，进而代入求出，再整体代入即可得到答案．
【详解】解：，
，，，
解得：，，，
，
．



．
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，代数式的值，正确得出，，的值是解题关键
【典例2-3】（1）已知实数m，n满足|n﹣2|+＝0，则mn的值为多少？
（2）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，t的算术平方根为2，求2+﹣t的值．
【答案】（1）9；（2）﹣2
【分析】（1）先根据非负数的性质求出m、n的值，再计算mn的值；
（2）根据倒数、相反数及算术平方根的意义，先求出ab、c+d、t的值，再计算2﹣t的值．
【详解】解：（1）∵|n﹣2|≥0，≥0，
又∵|n﹣2|+＝0，
∴|n﹣2|＝0，＝0．
∴n＝2，m＝﹣3．
∴mn＝（﹣3）2＝9．
∴mn的值为9．
（2）∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，t的算术平方根为2，
∴ab＝1，c+d＝0，t＝4．
∴2﹣t
＝2+0﹣4
＝﹣2．
∴2﹣t的值为﹣2．
【点睛】本题考查了非负数的性质及实数的运算等知识点，掌握倒数、相反数及算术平方根的意义，熟练运用非负数的性质是解决本题的关键．
针对训练2
【变式2-1】当x为何值时， 有最小值，最小值为多少？
【答案】，6
【分析】根据算术平方根的双重非负性求解即可．
【详解】解：由算术平方根的双重非负性得，．
∴当，即时，有最小值，最小值为6．
【点睛】本题考查算术平方根的双重非负性，解答的关键是熟知算术平方根的双重非负性：，．
【变式2-2】若和互为相反数，求的算术平方根
【答案】3
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】∵和互为相反数，
∴
∴
∴
∴
∵9的算术平方根为3，
∴的算术平方根为3．
【点睛】本题考查了相反数的概念，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，求算术平方根，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式2-3】已知＝b＋8，求a＋b的平方根．
【答案】±3
【分析】根据算术平方根的非负性列出不等式，解不等式求出a，进而求出b，根据平方根的概念计算即可．
【详解】解：由题意得：a﹣17≥0，17﹣a≥0，
解得：a＝17，
则b＝﹣8，
∴a+b＝9，
∵9的平方根是±3，
∴a+b的平方根是±3．
【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性、平方根的概念，掌握被开方数是非负数是解题的关键．
【变式2-4】已知|2020﹣m|+＝m，求m﹣20202的值．
【答案】．m﹣20202＝2021
【分析】根据算术平方根的非负性确定a的范围，进而化简绝对值，再根据平方根的定义求得代数式的值．
【详解】解：∵m﹣2021≥0，
∴m≥2021，
∴2020﹣m≤0，                                        
∴原方程可化为：m﹣2020+＝m，  
∴＝2020，
∴m﹣2021＝20202，
∴m﹣20202＝2021．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a的范围化简绝对值是解题的关键．
【考点三 估算、无理数的整数部分小数部分】
【典例3-1】估计的值（　　）
A．在2到3之间 B．在3到4之间 C．在4到5之间 D．在5到6之间
【答案】B
【分析】先估算出的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的值是在3到4之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了夹逼法估算无理数，以及不等式的基本性质，注意估算取值的范围两端为两个相邻的整数值．
【典例3-2】如果，，那么的等于（    ）
A．3000 B．30 C．24．5 D．77．5
【答案】D
【分析】根据算术平方根的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根，找到算术平方根的移位规律是解题的关键．
【典例3-3】若无理数，则估计无理数x的范围正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，其算术平方根越大）解决此题．
【详解】解：







故选：C．
【点睛】本题主要考查算术平方根的性质及无理氿的估值，熟练掌握被开方数越大，其算术平方根越大是解决本题的关键．
【典例3-4】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可；
【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是，
∴，，
∴，．
∵是的整数部分，，
∴．
∴．
∵的平方根是．
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．
针对训练3
【变式3-1】如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位．

（1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由．
（2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数．
【答案】（1）2和3之间，见解析；（2）或
【分析】（1）根据方格可得正方形ABCD的面积为8，然后由正方形面积计算公式可求解边长，然后利用算术平方根可求解；
（2）由（1）及题意可分当点B在原点的左侧和右侧两种情况，然后问题可求解．
【详解】解：（1）由方格可得：
正方形ABCD的面积为：，
∴，
∵，
∴介于2和3之间；
（2）由（1）得：，由点A与原点重合，则有：
当点B在原点的左侧时，则点B表示的数为，
当点B在原点的右侧时，点B表示的数为；
综上所述：点B在数轴上所表示的数为或．
【点睛】本题主要考查算术平方根及数轴，熟练掌握算术平方根及数轴是解题的关键．
【变式3-2】如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．

【答案】（1）13，；（2）不大于的所有正整数为：1，2，3；（3）
【分析】（1）由大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得到阴影部分面积，根据算术平方根的定义即可求出边长；
（2）对进行估值，即可解答；
（3）对，估值，分别求出a，b的值即可．
【详解】解：（1）阴影部分面积为：，
∵阴影部分是一个正方形，
∴边长为：，
故答案为：13，．
（2）不大于的所有正整数为：1，2，3．
（3）∵，
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估值及运算，解题的关键是掌握无理数的估值方法．
【变式3-3】设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【答案】．
【详解】试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，
即x=4，y=-2，所以=．
【点睛】考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．
【变式3-4】如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为________．

【答案】1
【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论．
【详解】解：拼剪后的正方形的面积，
∴，
∵，即
∴，
∴的整数部分是1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【考点四 算术平方根的规律探究】
【典例4-1】观察下列等式.并回答下列问题：
①；
②；
③；
④；
……
(1)请写出第⑤个等式：_______；
(2)写出你猜想的第个等式：_________；（用含的式子表示）
(3)计算．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，；
（2）由前4个等式可以猜想第个等式为；
（3）可以根据规律得到结果．
【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：，
故答案为：；
（2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为，
故答案为：．
（3）解：，


【点睛】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
【典例4-2】研究下列算式，你会发现有什么规律？请用的式子表示出来．，，，…
【答案】（且n为整数）
【分析】根据题目中给出的三个等式，即可得出第n个等式是（且n为整数）.
【详解】解：∵第一个等式是，
第二个等式是，
第三个等式是，
第四个等式是，
……，
∴第n个等式是（且n为整数）.
【点睛】本题考查了与算术平方根有关的等式变形，正确理解题意、归纳出第n个等式是关键.
【典例4-3】问题情境：
数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
；
；
；
……
实践探究：
(1)按照此规律，计算：______；
(2)计算：；
迁移应用：
(3)若符合上述规律，请直接写出x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解；
（2）利用题中所给规律可进行求解；
（3）由题中所给规律可进行求解．
【详解】（1）解：；
故答案为；
（2）解：由题意得：
；
（3）解：∵；
；
；
……；
∴，…..；
∴，
即，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
针对训练4
【变式4-1】（1）填空：__________，__________；__________，__________．
（2）请按以上规律计算：①；②．
（3）已知，，用含，的式子表示．
【答案】（1），，，；（2）①，；（3）
【分析】（1）根据算术平方根进行计算即可求解；
（2）根据（1）的规律即可求解；
（3）根据（1）的规律即可求解．
【详解】解：（1）填空：，；，，
故答案为：，，，
（2）①，
②；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了求一个数是算术平方根，算术平方根规律题，找到规律是解题的关键．
【变式4-2】已知，，则_________．
【答案】4.498
【分析】利用2023是20.23的100倍，进行计算．
【详解】解：∵ ，
∴，
故答案为：4.498．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练发现已知条件和所求被开方数之间的倍数关系是解题关键．
【变式4-3】数学解密：若第一个式子是 ， 第二个式子是， 第三个式子是，…，观察以上规律并猜想第五个式子是_________________．
【答案】．
【分析】先找出前面四个式子的规律，得出第n个式子是，进而写出第五个式子即可。
【详解】解：∵，即，
，即，
，即，
，即，
∴第五个式子为，即，
故答案为．
【点睛】本题考查了算术平方根，是个找规律的题目，难度中等，分析题意，找出规律是解题的关键．
【考点五 算术平方根的实际应用】
【典例5-1】数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
  
(1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为
如图2，当时，拼成的大正方形的边长为
如图3，当时，拼成的大正方形的边长为
(2)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由．
(3)小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)能，见解析
(3)不能，见解析
【分析】（1）①先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；②先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；③先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；
（2）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得的值，发现的值比正方形的边长小，故可能；
（3）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得的值，，发现加边框后的长至少要，比正方形的边长大，故不可能．
【详解】（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为．
（2）能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
∴能裁出这样的长方形．
（3）不能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
又∵要求长方形的四周至少留出的边框
因此加边框后的长至少要
∵
∴不能裁出这样的长方形．
【点睛】本题考查图形的探究，利用长宽比设未知数是解题的技巧，根据题意列方程是解题的关键．
【典例5-2】已知一块面积为的正方形画布．
(1)求该正方形画布的边长；
(2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由．
【答案】(1)该正方形画布的边长为
(2)甲方案不可行，乙方案可行，理由见解析
【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，分别列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵正方形画布的面积为400
∴该正方形画布的边长为．
（2）甲的方案不可行，乙方案可行
甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，
则，即，
，
解得：（负值舍去），
长方形的长为．
，但正方形纸片的边长只有，故甲方案不可行；
乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，
则，即，
解得：（负值舍去），
长方形的长为，故乙方案可行，
综上，甲方案不可行，乙方案可行．
【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
【典例5-3】．一块正方形空地的面积是，在这块空地上沿着边的方向建造一间占地的房子，要求所建造的房子的地基是长方形，而且长是宽的两倍，能否做到?为什么?
【答案】不能做到，理由见解析
【分析】设所建造房子地基的宽为，则长为，根据长方形面积公式得出，求解和正方形的边长比较即可得出答案．
【详解】假设能做到，设所建造房子地基的宽为，则长为
由题意得，
即，
（舍负值）
地基的长为
又正方形空地的边长为，，
不能做到．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，正方形的性质及长方形的性质，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题．
针对训练5
【变式5-1】如图有两个大小一样的正方形纸片，其边长为cm．小明按如图的方法把每个小正方形沿一条对角线裁成两个三角形，然后再把这四个三角形拼成一个大正方形．
  
(1)这个大正方形的边长为___________cm；
(2)小明要在所拼成的大正方形中沿边的方向裁出一个长宽比为且面积为的长方形，问能否成功，试说明理由．
【答案】(1)
(2)不能裁出，理由见解析．

【分析】（1）一直两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长；
（2）先设未知数，根据面积列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可．
【详解】（1）解：两个正方形的面积之和为：
，
拼成的大正方形的面积=42，
大正方形的边长是；
故答案为：．
（2）解：设所裁长方形的长为cm，宽为cm，则
，
，
解得：，
∴长为cm，宽为4cm，
∵，
∴不能裁出．
【点睛】本题考查了算术平方根实际应用，能跟据题意列出算式是解此题的关键
【变式5-2】勤俭节约是中华民族传统美德，小亮的爸爸是能工巧匠，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为1.69平方米，其中他用的一块木板的边长为0.5米，求另一块木板的边长是多少米？
【答案】另一块木板的边长为1.2米
【分析】设另一块木板的边长为米，根据面积为1.69平方米得到，，解方程即可得到答案．
【详解】解：设另一块木板的边长为米，则：
，即：，
解得：，（舍去），
∴另一块木板的边长为1.2米，
答：另一块木板的边长为1.2米．
【点睛】本题主要考查了平方根的应用，根据题意列出方程并用平方根的定义求解是解题的关键．
【变式5-3】杨辉在《田亩比类乘除捷法》记载以下问题：
题：直填积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔共几何？
答：六十步．
术：四因积步，以差步自乘，并而开平方除之，得长阔共步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下：
问题：已知长方形的面积为864，长宽之差为12，则长宽之和为多少？
答案：60．
解法：如图，．
设一个长方形的边长分别是a，b（），请用一个等式解释上述解法的数学原理：__．（用含a，b的式子表示）

【答案】
【分析】由题意得大正方形的边长为，空白正方形的边长为，再由四个长方形面积加上空白部分正方形面积等于大正方形面积可得，由此即可得到答案．
【详解】解：设一个长方形的边长分别是a，b（），则大正方形的边长为，空白正方形的边长为，
∵四个长方形面积加上空白部分正方形面积等于大正方形面积，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的实际应用，正确理解题意利用等面积法列出对应的关系式是解题的关键．
【考点六 根据算术平方根求数】
【典例6-1】一个正数的平方根分别是与，则这个正数的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且是互为相反数，可求出 的值，进而求出的值．
【详解】解：由平方根的意义可得，
，
解得，，
当时，，，
∴这个正数的平方根是，
，
故选：D．
【点睛】本题考查平方根的意义，掌握一个正数的平方根的特征是正确解答的关键．
【典例6-2】已知的平方根是，则__，已知，则__．
【答案】 4
【分析】因为2的平方根是，那么，即可得到x的值；因为，所以，那么，即可得到x的值．
【详解】解：∵2的平方根是，
那么，
∴；    
∵，
∴，
那么，
∴，
故答案为：①4，②．
【点睛】本题主要考查的是算数平方法和平方根等知识内容，注意一个正数的平方根有两个是本题解题的关键．
【典例6-3】若关于m的代数式和是某个正数的平方根，求这个正数．
【答案】1或
【分析】分两种情况讨论：①当和相等时；②当和互为相反数时，分别求解，再根据平方根的定义进行计算即可得到答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当和相等时，即，
解得：，
，
这个正数为；
②当和互为相反数时，即，
解得：，
，
这个正数为（，
综上可知，这个正数为1或．
【点睛】本题考查了平方根，理解平方根的定义是解题关键．

针对训练6
【变式6-1】已知．
(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
【答案】(1)
(2)这个数为1或25
【分析】（1）由的算术平方根为3得到，解方程即可得到答案；
（2）分和两种情况分别进行求解即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根为3，
∴，解得；
（2）①当时，即，解得，
∴，，
∴这个数为；
②当时，即，解得，
∴，，
∴这个数为，
综上所述，这个数为1或25．
【点睛】此题考查了平方根和算术平方根，读懂题意并正确计算是解题的关键．
【变式6-2】已知一个正数的平方根是与．
(1)求a和这个正数的值；
(2)求关于x的方程的解．
【答案】(1)1，49
(2)
【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；
（2）根据平方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得；
∴这个正数为；
（2）将代入得：
，
，
．
【点睛】本题考查的是平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
【变式6-3】已知的平方根为，的算术平方根为2，求的平方根
【答案】
【分析】根据题意，先求得和的值，进而求得的值，再代入求得的平方根即可．
【详解】解：的平方根为，
，
的算术平方根为2，
，
；
当，时，，
的平方根为．
【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解题的关键．
【考点七 求一个数的平方根】
【典例7-1】已知的平方根是，的算术平方根是4，
(1)求，的值．
(2)求的平方根．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据平方根和算术平方根得出，，解之即可；
（2）将、的值代入求得其结果，再由平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意知：，，
解得，；
（2）∵，，
∴，
则的平方根为．
【点睛】本题主要考查平方根、算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义和求法．
【典例7-2】求下列各数的平方根．
(1)196；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据称x是a的平方根，且计算即可．
（2）根据称x是a的平方根，且计算即可．
（3）根据称x是a的平方根，且计算即可．
（4）根据称x是a的平方根，且计算即可．
【详解】（1）∵，
∴．
（2）∵，
∴．
（3）∵，
∴．
（4）∵，
∴．
【点睛】本题考查了平方根的计算，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
【典例7-3】已知a，b满足，求的平方根．
【答案】
【分析】根据非负数的性质得出a，b的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴ 的平方根为．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．
针对训练7
【变式7-1】已知是的平方根，是9的算术平方根，求的值．
【答案】8或
【分析】先根据算术平方根、平方根的定义求得，，然后代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，
∵是的平方根，是9的算术平方根，
∴，，
则当时，，
当时，，
即：的值为8或．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义、平方根的定义，求得，是解题的关键．

【变式7-2】已知，求的平方根．
【答案】
【分析】根据非负数的性质求出，进而求出，根据平方根的概念解答即可．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
则，
∴，
∵9的平方根是，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查的是非负数的性质、平方根的概念，根据二次根式的被开方数是非负数求出x是解题的关键．
【变式7-3】（1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求的平方根．
【答案】（1）49；（2）
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程求解即可；
（2）根据非负数的性质求出m、n的值，然后代值计算即可．
【详解】解：（1）∵某正数的平方根为和，
∴，
∴，
∴这个数为；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题主要考查了平方根，非负数的性质，熟知一个平方根的定义是解题的关键
【考点八 利用平方根的定义解方程】
【典例8-1】求下列各式中x的值．方程
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据称x是a的平方根，且计算即可．
（2）根据称x是a的平方根，且计算即可．
（3）根据称x是a的平方根，且计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得，或．
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
【典例8-2】（1）已知，求x的值．
（2）一个正数x的两个不同的平方根分别是和，求a和x的值．
【答案】（1）或；（2），．
【分析】（1）利用平方根的性质求解即可；
（2）根据正数的两个平方根互为相反数求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（2）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是和，
∴，
解得，
∴，
正数x为，
∴，．
【点睛】本题考查了平方根，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数．

【典例8-3】解方程：
【答案】或
【分析】令为，方程变形为：，求出的值，再把代入，计算，即可．
【详解】解：令
∴方程变形为
∴
∵
∴
∴
∴
∴，．
∴方程的解为：或．
【点睛】本题考查实数的知识，解题的关键是利用平方根的概念求解方程，易错点是把视为一个整体，进行运算．
针对训练8
【变式8-1】若，且x＜0，y＜0，求的值．
【答案】12
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性可得，，再根据可求出和的值，代入计算即可得．
【详解】解：，
，，
解得，或，
又，
，
．
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、利用平方根解方程、代数式求值，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题关键
【变式8-2】求下列式中的的值：
【答案】或
【分析】将原方程整理，再利用平方根解方程即可．
【详解】解：


或
∴或．
【点睛】本题考查利用平方根解方程．掌握平方根的定义是解题关键
【考点九 平方根的实际应用】
【典例9-1】已知一块面积为的正方形画布．
(1)求该正方形画布的边长；
(2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由．
【答案】(1)该正方形画布的边长为
(2)甲方案不可行，乙方案可行，理由见解析
【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，分别列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵正方形画布的面积为400
∴该正方形画布的边长为．
（2）甲的方案不可行，乙方案可行
甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，
则，即，
，
解得：（负值舍去），
长方形的长为．
，但正方形纸片的边长只有，故甲方案不可行；
乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，
则，即，
解得：（负值舍去），
长方形的长为，故乙方案可行，
综上，甲方案不可行，乙方案可行．
【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
【典例9-2】天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离S（单位：）可用公式估计，其中h（单位：）是眼睛离海平面的高度
(1)如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？
(2)若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的4倍，已知眼睛到脚底的高度为，求观望台离海平面的高度？
【答案】(1)能看
(2)观望台离海平面的高度为
【分析】（1）将代入，即可求解；
（2）根据题意可得，代入求出h的值，即可求解．
【详解】（1）解：将代入得：，
解得：或，
∴能看．
（2）解：∵看到的最远距离是（1）中的4倍，
∴，
∴，解得：，
∵眼睛到脚底的高度为，
∴观望台离海平面的高度，
答：观望台离海平面的高度为．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值和平方根，解题的关键是正确理解题意，掌握平方根的定义．
【典例9-3】“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．
因为，
所以，
，
，，所以．
“2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流．
【答案】错在由得这一步
【分析】由可得出，但不能得出，所以错在由得这一步．
【详解】解：错在由得这一步，
显然，，
所以．
【点睛】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意可得出，但不能得出，这是学生开平方时常犯的错误．
针对训练9
【变式9-1】某包装公司为厂家制作一批体积为的产品包装盒，厂家要求盒高为，底面为正方形，则底面边长为多少？
【答案】包装盒底面边长为．
【分析】设包装盒底面边长为，根据体积公式求出正方形底面，求算术平方根即可．
【详解】解：设包装盒底面边长为，
依题意，得，
解得或，
依题意知，
∴不合题意，舍去．
∴，
答：包装盒底面边长为．
【点睛】本题考查了平方根的实际应用，根据题意求出底面积是解本题的关键．
【变式9-2】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣）x的值．

【答案】（1）小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近；（2）；（3）4
【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间；
（2）根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的面积列式计算即可得解；
（3）根据小正方形边长为，估算出x和y的值，再代入求值即可．
【详解】解：（1）∵小正方形的面积为6，
∴小正方形的边长为，
∵4＜6＜9，
∴2＜＜3，
∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近．
（2）∵阴影部分的面积的和为一个长为，宽为（3﹣）的矩形面积，
∴阴影部分的面积＝．
（3）∵小正方形的边长为，
∴x＝2，y＝，
∴原式＝，
＝4.
【点睛】本题主要考查二次根式运算的实际应用，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的运算法则.