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数学七年级升八年级暑假预习专题训练（1）
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这是一份数学七年级升八年级暑假预习专题训练（1），共30页。试卷主要包含了三角形有关线段等内容，欢迎下载使用。
数学七年级升八年级暑假预习专题训练
专题一 三角形有关线段
【专题导航】
目录
【考点一 三角形】.............................................1
【考点二 三角形的有关线段】....................................3
【考点三 三角形的分类】........................................5
【考点四 三角形的边的关系】....................................7
【聚焦考点1】
1.三角形及其有关概念
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形。
三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角。
2.三角形的表示方法
一个三角形是由三条边和三个内角组成的，三角形的三个顶点分别为A、B、C，那么三角形可表示为∆ABC，读作“三角形ABC”。
【典例剖析1】
【典例1-1】观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 3 个三角形；图③有 5 个三角形；图④有 7 个三角形；…猜测第七个图形中共有 13 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 （2n﹣1） 个三角形（用含n的代数式表示结论）．
【典例1-2】一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长
针对训练1
【变式1-1】图中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？用符号表示这些三角形．
【变式1-2】△ABC的周长为22cm，AB边比AC边长2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长
【能力提升1】 三角形
【提升1-1】在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中没有三点在一条直线上．问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？
【提升1-2】在同一平面内，用3根和5根火柴棒不折断首尾顺次相接，分别摆成三角形，现把这两个三角形根据三边火柴根数分别记为（1，1，1）和（2，2，1）．
（1）现有12根火柴，请你摆一摆，分别画出符合条件的所有三角形，并标出各边三角形的火柴根数？
（2）如果有18根火柴，你能摆成几种三角形？请按题中的记法表示出所有符合条件的三角形．（不要求画图）
【提升1-3】如图所示，∠MBN＝45°，若△ABC的顶点A在射线BM上，且，点C在射线BN上运动（C不与B重合），请你探究：
（1）若△ABC是直角三角形，试求线段BC的长，并将点C的位置标注在图形中；
（2）探究：①当BC的值在什么范围时，△ABC是锐角三角形；
②当BC的值在什么范围时，△ABC是钝角三角形．
【聚焦考点2】
1.三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2.三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它所对应的边的中点的线段叫做三角形的中线。
3.三角形的高
从一个三角形顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
【典例剖析2】三角形有关线段
【典例2-1】如图，在△ABC中，线段CD是△ABC的高．给出下列三个选项：①∠1＝∠2；②∠B＝∠ADG；③EF⊥AB．从上述三个选项中任选两个作为条件，另一个作为结论，使结论成立，并说明理由．
已知： ，结论： ．（填序号）
理由： 见解析部分 ．
【典例2-2】如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB．
（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数．
（2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由．
【典例2-3】在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长
针对训练2
【变式2-1】如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，则BC＝ ．
【变式2-2】已知△ABC（如图），按下列要求画图：
（1）△ABC的中线AD；
（2）△ABD的角平分线DM；
（3）△ACD的高线CN；
（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝ 7 ．
【变式2-3】如图已知：AD是△ABC的中线，AB＝7cm，AD＝5cm，△ABD的周长是18cm，
求BC的长．
【能力提升2】三角形有关线段
【提升2-1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
【提升2-2】在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
【提升2-3】已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．
【聚焦考点3】
三角形的分类
①按角分类：
三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形
②按边分类
三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
注：等边三角形是特殊的等腰三角形
【典例剖析3】三角形的分类
【典例3-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
【典例3-2】下列说法正确的是( )
A. 所有的等腰三角形都是锐角三角形
B. 等边三角形属于等腰三角形
C. 不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D. 一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形
针对训练3
【变式3-1】将一个直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
【变式3-2】下图是钝角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【能力提升3】三角形的分类
【提升3-1】△ABC中，已知：∠A=40°，∠B=45°，则△ABC中按角分类是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形
【提升3-2】如图表示三角形的分类，则A表示的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形
【聚焦考点4】
三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
【典例剖析4】构成三角形的条件
【典例4-1】已知a、b、c是三角形的三边长，
①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
②若a+b＝11，b+c＝9，a+c＝10，求这个三角形的各边．
【典例4-2】如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．
针对训练4
【变式4-1】如图，在△BCD中，BC＝3，BD＝5．
（1）若CD的长是偶数，请求出CD的值；
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【变式4-2】已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长．
【能力提升4】三角形边的关系
【提升4-1】若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 ② （填序号）．
①4cm，2cm，1cm②13cm，18cm，9cm③19cm，20cm，19cm④9cm，8cm，6cm
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6（x为整数），求x的值．
【提升4-2】已知实数a，b，c满足（a﹣）2+＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形周长；若不能构成三角形，请说明理由．
数学七年级升八年级暑假预习专题训练
专题一 三角形有关线段
【专题导航】
目录
【考点一 三角形】...............................................9
【考点二 三角形的有关线段】......................................13
【考点三 三角形的分类】..........................................22
【考点四 三角形的边的关系】.....................................26
【聚焦考点1】
1.三角形及其有关概念
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形。
三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角。
2.三角形的表示方法
一个三角形是由三条边和三个内角组成的，三角形的三个顶点分别为A、B、C，那么三角形可表示为∆ABC，读作“三角形ABC”。
【典例剖析1】
【典例1-1】观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 3 个三角形；图③有 5 个三角形；图④有 7 个三角形；…猜测第七个图形中共有 13 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 （2n﹣1） 个三角形（用含n的代数式表示结论）．
【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形
（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数．
【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．
（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；
图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；
图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；
∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．
故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．
【点评】本题考查了图形的变化类﹣规律型，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
【典例1-2】一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长．
【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）当6是腰时，底边＝20﹣6×2＝8cm，即其它两边是6cm，8cm，此时6+6＝12，能构成三角形；
（2）当6是底边时，腰＝（20﹣6）÷2＝7cm，此时能构成三角形，所以其它两边是7cm、7cm．
因此其它两边长分别为7cm，7cm，
综上所述两边长分别为6cm，8cm或7cm，7cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
针对训练1
【变式1-1】图中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？用符号表示这些三角形．
【分析】根据三角形的定义和三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此即可解答问题．
【解答】解：共有6个三角形．
其中锐角三角形有2个：△ABE，△ABC；
直角三角形有3个：△ABD，△ADE，△ADC；
钝角三角形有1个：△AEC．
【点评】本题考查了三角形的定义，三角形的分类，是基础题，查找三角形时要按照一定的顺序才能做到不重不漏．
【变式1-2】△ABC的周长为22cm，AB边比AC边长2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长．
【分析】首先利用一个未知数表示出各边长，进而得出等式求出各边长即可．
【解答】解：设BC＝x，则AC＝2x，AB＝2x+2，
∵AB+BC+AC＝22，
∴2x+2x+2+x＝22，
解得；x＝4，
∴AC＝8cm，BC＝4cm，AB＝10cm．
【点评】此题主要考查了三角形周长公式，根据题意得出关于三角形周长的方程是解题关键．
【能力提升1】 三角形
【提升1-1】在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中没有三点在一条直线上．问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？
【分析】根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n＝3时，有7个三角形，因而若三角形内部有n个点时，一定是有2n+1个三角形．
【解答】解：当三角形纸片内有1个点时，有3个没有重叠部分的小三角形；
当有2个点时，有5个没有重叠部分的小三角形；
当n＝3时，有7个没有重叠部分的三角形，
…
故当三角形纸片内有n个点，连同三角形的顶点共n+3个点时，共有2n+1个三角形，
当n+3＝2011时，n＝2008，2n+1＝2×2008+1＝4017．
答：以这20I1个点为顶点能把三角形纸片分割成4017叠部分的小三角形．
【点评】此题考查图形的变化规律性；得到三角形的个数与三角形内点的个数的变化规律是解决本题的关键．
【提升1-2】在同一平面内，用3根和5根火柴棒不折断首尾顺次相接，分别摆成三角形，现把这两个三角形根据三边火柴根数分别记为（1，1，1）和（2，2，1）．
（1）现有12根火柴，请你摆一摆，分别画出符合条件的所有三角形，并标出各边三角形的火柴根数？
（2）如果有18根火柴，你能摆成几种三角形？请按题中的记法表示出所有符合条件的三角形．（不要求画图）
【分析】（1）根据边长都为正数和周长为12，以及三角形边长的关系可得出所有的符合条件的三角形．
（2）根据边长关系可确定所有符合条件的三角形．
【解答】解：（1）根据边长都为正数和周长为12，以及三角形边长的关系可得出所有的符合条件的三角形分别为（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）；
（2）（2，8，8），（3，7，8），（4，7，7），（4，6，8），（5，6，7），（5，5，8），（6，6，6）．
【点评】可以一一列举出来，这样问题就引刃而解了，但是要注意有顺序的找，这样不容易遗漏．
【提升1-3】如图所示，∠MBN＝45°，若△ABC的顶点A在射线BM上，且，点C在射线BN上运动（C不与B重合），请你探究：
（1）若△ABC是直角三角形，试求线段BC的长，并将点C的位置标注在图形中；
（2）探究：①当BC的值在什么范围时，△ABC是锐角三角形；
②当BC的值在什么范围时，△ABC是钝角三角形．
【分析】①若△ABC是直角三角形，则有两种情况：∠ACB＝90°或∠BAC＝90°．根据等腰直角三角形的性质进行计算BC的长；
②结合图形，知要使△ABC是锐角三角形，则应介于①的两种情况之间；
③结合图形，知要使△ABC是钝角三角形，则应小于①中求得的较小的BC或大于①中求得的较大的BC的长．
【解答】解：①如图所示，
当∠ACB＝90°时，则BC＝AB＝1；
当∠BAC＝90°时，则BC＝AB＝2．
即BC＝1或2时，△ABC是直角三角形；
②当1＜BC＜2时，△ABC是锐角三角形；
③当BC＜1或BC＞2时，△ABC是钝角三角形．
【点评】此题综合运用了等腰直角三角形的性质，能够结合图形分析不同形状的三角形的取值范围．
【聚焦考点2】
1.三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2.三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它所对应的边的中点的线段叫做三角形的中线。
3.三角形的高
从一个三角形顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
【典例剖析2】三角形有关线段
【典例2-1】如图，在△ABC中，线段CD是△ABC的高．给出下列三个选项：①∠1＝∠2；②∠B＝∠ADG；③EF⊥AB．从上述三个选项中任选两个作为条件，另一个作为结论，使结论成立，并说明理由．
已知： ①②或①③或②③ ，结论： ③或②或① ．（填序号）
理由： 见解析部分 ．
【分析】根据平行线的性质与判定可进行求解．
【解答】解：已知：①②，结论：③；
理由：∵∠B＝∠ADG，
∴DG∥BC，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCB，
∴EF∥CD，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB；
已知：①③，结论：②；
理由：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠1＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DCB，
∴DG∥BC，
∴∠B＝∠ADG；
已知：②③，结论：①；
理由：∵∠B＝∠ADG，
∴DG∥BC，
∴∠2＝∠DCB，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠1＝∠DCB，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
【典例2-2】如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB．
（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数．
（2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；
（2）根据平行四边形的判定定理得到四边形BGDE是平行四边形，求得∠EBD＝∠EDB，推出四边形BGDE是菱形，根据菱形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝130°，
∴∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，
又∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，
又∵AD⊥BD，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°；
（2）DO是△DEG的角平分线，
理由：∵EF∥BC，DG∥AB，
∴四边形BGDE是平行四边形，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBG，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠GBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴四边形BGDE是菱形，
∴BD平分∠EDG，
∴DO是△DEG的角平分线．
【点评】本题考查了三角形的中线、角平分线、高线，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，证得四边形BGDE是菱形是解题的关键．
【典例2-3】在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
【分析】根据中线的定义得到AD＝CD，设AD＝CD＝x，则AB＝2x，分类讨论：当x+2x＝12，BC+x＝15；当x+2x＝15，BC+x＝12，然后分别求出x和BC，即可得到三角形三边的长．
【解答】解：如图，∵DB为△ABC的中线
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，则AB＝2x，
当x+2x＝12，解得x＝4，
BC+x＝15，解得BC＝11，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11；
当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
针对训练2
【变式2-1】如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，则BC＝ 10 ．
【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝65°，
∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，
∴∠ECB＝∠ACB＝25°，
∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；
（2）∵F是AC中点，
∴AF＝FC，
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，
∴BC﹣AB＝3，
∵AB＝7，
∴BC＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是三角形的三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【变式2-2】已知△ABC（如图），按下列要求画图：
（1）△ABC的中线AD；
（2）△ABD的角平分线DM；
（3）△ACD的高线CN；
（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝ 7 ．
【分析】（1）取BC的中点D，然后连接AD即可；
（2）作∠ADB的平分线交AB于M点；
（3）过C点作CN⊥AD于N点；
（4）利用三角形中线的定义得到BD＝CD，然后利用三角形周长的定义得到AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，所以AC﹣AB＝3，从而可计算出AC．
【解答】解：（1）如图，AD为所作；
（2）如图，DM为所作；
（3）如图，CN为所作；
（4）∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵C△ADC﹣C△ADB＝3，
∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，
∴AC﹣AB＝3，
∵AB＝4，
∴AC＝AB+3＝4+3＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查三角形的中线，高线，角平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
【变式2-3】如图已知：AD是△ABC的中线，AB＝7cm，AD＝5cm，△ABD的周长是18cm，
求BC的长．
【分析】根据三角形中线的定义得到BC＝2BD，根据三角形周长公式即可得到结论．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BC＝2BD，
∵AB＝7cm，AD＝5cm，△ABD的周长是18cm，
∴BD＝18﹣7﹣5＝6（cm），
∴BC的长为12cm．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键．
【能力提升2】三角形有关线段
【提升2-1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
【分析】根据中线的定义知CD＝BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB＝13cm．易求AC的长度．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm．
即AC的长度是9cm．
【点评】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出AC﹣AB＝5cm，是解题的关键．
【提升2-2】在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
【分析】由CD⊥AB与∠B＝60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，
∠ECD＝90°﹣70°＝20°．
或∠ECD＝∠ECB﹣∠BCD＝50°﹣30°＝20°．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及三角形高线，角平分线的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．
【提升2-3】已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．
【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．
【解答】证明：
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4＝90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
即∠CFE＝∠CEF．
【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键
【聚焦考点3】
三角形的分类
①按角分类：
三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形
②按边分类
三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
注：等边三角形是特殊的等腰三角形
【典例剖析3】三角形的分类
【典例3-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形(底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形).根据三角形的分类可直接得到答案．
【解答】
解：三角形根据边分类不等边三角形等腰三角形两边相等的三角形三边相等的三角形(等边三角形)，
∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．
故选：D．
【点评】本题考查三角形按边分类，不等边三角形等腰三角形两边相等的三角形三边相等的三角形(等边三角形)
掌握三角形按边分类是解题关键。
【典例3-2】下列说法正确的是( )
A. 所有的等腰三角形都是锐角三角形
B. 等边三角形属于等腰三角形
C. 不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D. 一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义一一判断即可．
本题考查三角形的概念，解题的关键是搞清楚锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义，属于基础题，中考常考题型．
【解答】
解：A、错误，内角为30°，30°，120°的等腰三角形是钝角三角形；
B、正确，等边三角形属于等腰三角形；
C、错误，内角为30°，30°，120°的三角形既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形；
D、错误，内角为30°，30°，120°的三角形有两个锐角，是钝角三角形．
故选：B．
【点评】根据三角形的分类做出判断。三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形。
针对训练3
【变式3-1】将一个直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
【答案】B
【分析】因为直角三角形三边扩大同样的倍数，而角的度数不会变，所以得到的新的三角形还是直角三角形．
【详解】解：因为角的度数和它的两边的长短无关，所以得到的新三角形还是直角三角形；
故选B．
【点评】本题主要考查“角的度数和它的两边的长短无关”的知识点．
【变式3-2】下图是钝角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形为钝角三角形，依次进行判断即可．
【详解】解：依据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形为钝角三角形，
选项中只有B选项中的三角形含有钝角，
∴B为钝角三角形，
故选：B．
【点评】题目主要考查钝角三角形的定义，理解定义是解题关键．
【能力提升3】三角形的分类
【提升3-1】△ABC中，已知：∠A=40°，∠B=45°，则△ABC中按角分类是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可求得∠C的度数，再判断△ABC的分类．
【详解】∵∠A＝40°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°−40°−45°＝95°，
∴△ABC为钝角三角形，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
【提升3-2】如图表示三角形的分类，则A表示的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形
【答案】D
【分析】根据三角形按边分类，即可求解．
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形），
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键。
【聚焦考点4】
三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
【典例剖析4】构成三角形的条件
【典例4-1】已知a、b、c是三角形的三边长，
①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
②若a+b＝11，b+c＝9，a+c＝10，求这个三角形的各边．
【分析】（1）根据三角形的三边关系得出a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，再化去绝对值即可；
（2）通过解三元一次方程组，即可得出三角形的各边．
【解答】解：（1）∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c﹣b+c+a﹣c+a+b＝a+b+c；
（2）∵a+b＝11①，b+c＝9②，a+c＝10③，
∴由①﹣②，得
a﹣c＝2，④
由③+④，得2a＝12，
∴a＝6，
∴b＝11﹣6＝5，
∴c＝10﹣6＝4．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，以及三元一次方程组，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
【典例4-2】如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．
【分析】首先延长BP交AC于点D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把两个不等式相加整理后可得结论．
【解答】证明：延长BP交AC于点D，
在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①
在△PCD中，PC＜PD+CD②
①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
即PB+PC＜AB+AC，
即：AB+AC＞PB+PC．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是熟练掌握三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边．
针对训练4
【变式4-1】如图，在△BCD中，BC＝3，BD＝5．
（1）若CD的长是偶数，请求出CD的值；
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据三角形三边关系定理求出CD取值范围，再根据CD的长为偶数即可得出CD的取值；
（2）由平行线的性质和已知条件求解即可．
【解答】解：（1）在△BCD中，BC＝3，BD＝5，
∴2＜DC＜8；
又CD的长是偶数
∴CD＝4或6；
（2）∵AE∥BD，∠A＝55°，
∴∠CBD＝55°，
又∵∠BDE＝125°，
∴∠C＝∠BDE﹣∠CBD＝125°﹣55°＝70°．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，平行线的性质和判定，三角形的外角性质，掌握定理与性质是解题的关键．
【变式4-2】已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求出x的值，据此可得出三角形的周长．
【解答】解：设第三边的长为x，
根据三角形的三边关系，4﹣1＜x＜4+1，即3＜x＜5，
∵第三条边长为整数，
∴第三边是4，
∴该三角形的周长＝1+4+4＝9．
【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．
【能力提升4】三角形边的关系
【提升4-1】若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 ② （填序号）．
①4cm，2cm，1cm②13cm，18cm，9cm③19cm，20cm，19cm④9cm，8cm，6cm
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6（x为整数），求x的值．
【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；
（2）分三种情况对16进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）①∵1+2＜4，
∴4cm，2cm，1cm不能组成“不均衡三角形”；
②∵18﹣13＞13﹣9，
∴13cm，18cm，9cm能组成“不均衡三角形”；
③∵19＝19，
∴19cm，20cm，19cm不能组成“不均衡三角形”；
④∵9﹣8＜8﹣6，
∴9cm，8cm，6cm不能组成“不均衡三角形”．
故答案为：②；
（2）①16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6），
解得x＜3，
∵2x﹣6＞0，
解得x＞3，
故不合题意舍去；
②2x+2＞16＞2x﹣6，
解得7＜x＜11，
2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），
解得x＞9，
∴9＜x＜11，
∵x为整数，
∴x＝10，
经检验，当x＝10时，22，16，14可构成三角形；
③2x﹣6＞16，
解得x＞11，
2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，
解得x＜15，
∴11＜x＜15，
∵x为整数，
∴x＝12或13或14，都可以构成三角形．
综上所述，x的整数值为10或12或13或14．
【点评】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键．
【提升4-2】已知实数a，b，c满足（a﹣）2+＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形周长；若不能构成三角形，请说明理由．
【分析】（1）根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性解答即可；
（2）利用三角形的三边关系验证即可．
【解答】解：（1）（a﹣）2+＝0，
∴a﹣＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，
解得a＝2，b＝5，c＝3；
（2）以a，b，c为边能构成三角形，理由如下：
∵2+3＝5＞5，
∴以a，b，c为边能构成三角形．
【点评】本题考查的是非负数的性质及三角形的三边关系的知识，掌握算术平方根、绝对值、偶次方的非负性是解题的关键．
数学七年级升八年级暑假预习专题训练
专题一 三角形有关线段
【专题导航】
目录
【考点一 三角形】.............................................1
【考点二 三角形的有关线段】....................................3
【考点三 三角形的分类】........................................5
【考点四 三角形的边的关系】....................................7
【聚焦考点1】
1.三角形及其有关概念
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形。
三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角。
2.三角形的表示方法
一个三角形是由三条边和三个内角组成的，三角形的三个顶点分别为A、B、C，那么三角形可表示为∆ABC，读作“三角形ABC”。
【典例剖析1】
【典例1-1】观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 3 个三角形；图③有 5 个三角形；图④有 7 个三角形；…猜测第七个图形中共有 13 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 （2n﹣1） 个三角形（用含n的代数式表示结论）．
【典例1-2】一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长
针对训练1
【变式1-1】图中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？用符号表示这些三角形．
【变式1-2】△ABC的周长为22cm，AB边比AC边长2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长
【能力提升1】 三角形
【提升1-1】在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中没有三点在一条直线上．问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？
【提升1-2】在同一平面内，用3根和5根火柴棒不折断首尾顺次相接，分别摆成三角形，现把这两个三角形根据三边火柴根数分别记为（1，1，1）和（2，2，1）．
（1）现有12根火柴，请你摆一摆，分别画出符合条件的所有三角形，并标出各边三角形的火柴根数？
（2）如果有18根火柴，你能摆成几种三角形？请按题中的记法表示出所有符合条件的三角形．（不要求画图）
【提升1-3】如图所示，∠MBN＝45°，若△ABC的顶点A在射线BM上，且，点C在射线BN上运动（C不与B重合），请你探究：
（1）若△ABC是直角三角形，试求线段BC的长，并将点C的位置标注在图形中；
（2）探究：①当BC的值在什么范围时，△ABC是锐角三角形；
②当BC的值在什么范围时，△ABC是钝角三角形．
【聚焦考点2】
1.三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2.三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它所对应的边的中点的线段叫做三角形的中线。
3.三角形的高
从一个三角形顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
【典例剖析2】三角形有关线段
【典例2-1】如图，在△ABC中，线段CD是△ABC的高．给出下列三个选项：①∠1＝∠2；②∠B＝∠ADG；③EF⊥AB．从上述三个选项中任选两个作为条件，另一个作为结论，使结论成立，并说明理由．
已知： ，结论： ．（填序号）
理由： 见解析部分 ．
【典例2-2】如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB．
（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数．
（2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由．
【典例2-3】在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长
针对训练2
【变式2-1】如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，则BC＝ ．
【变式2-2】已知△ABC（如图），按下列要求画图：
（1）△ABC的中线AD；
（2）△ABD的角平分线DM；
（3）△ACD的高线CN；
（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝ 7 ．
【变式2-3】如图已知：AD是△ABC的中线，AB＝7cm，AD＝5cm，△ABD的周长是18cm，
求BC的长．
【能力提升2】三角形有关线段
【提升2-1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
【提升2-2】在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
【提升2-3】已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．
【聚焦考点3】
三角形的分类
①按角分类：
三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形
②按边分类
三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
注：等边三角形是特殊的等腰三角形
【典例剖析3】三角形的分类
【典例3-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
【典例3-2】下列说法正确的是( )
A. 所有的等腰三角形都是锐角三角形
B. 等边三角形属于等腰三角形
C. 不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D. 一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形
针对训练3
【变式3-1】将一个直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
【变式3-2】下图是钝角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【能力提升3】三角形的分类
【提升3-1】△ABC中，已知：∠A=40°，∠B=45°，则△ABC中按角分类是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形
【提升3-2】如图表示三角形的分类，则A表示的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形
【聚焦考点4】
三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
【典例剖析4】构成三角形的条件
【典例4-1】已知a、b、c是三角形的三边长，
①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
②若a+b＝11，b+c＝9，a+c＝10，求这个三角形的各边．
【典例4-2】如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．
针对训练4
【变式4-1】如图，在△BCD中，BC＝3，BD＝5．
（1）若CD的长是偶数，请求出CD的值；
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【变式4-2】已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长．
【能力提升4】三角形边的关系
【提升4-1】若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 ② （填序号）．
①4cm，2cm，1cm②13cm，18cm，9cm③19cm，20cm，19cm④9cm，8cm，6cm
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6（x为整数），求x的值．
【提升4-2】已知实数a，b，c满足（a﹣）2+＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形周长；若不能构成三角形，请说明理由．
数学七年级升八年级暑假预习专题训练
专题一 三角形有关线段
【专题导航】
目录
【考点一 三角形】...............................................9
【考点二 三角形的有关线段】......................................13
【考点三 三角形的分类】..........................................22
【考点四 三角形的边的关系】.....................................26
【聚焦考点1】
1.三角形及其有关概念
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形。
三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角。
2.三角形的表示方法
一个三角形是由三条边和三个内角组成的，三角形的三个顶点分别为A、B、C，那么三角形可表示为∆ABC，读作“三角形ABC”。
【典例剖析1】
【典例1-1】观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 3 个三角形；图③有 5 个三角形；图④有 7 个三角形；…猜测第七个图形中共有 13 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 （2n﹣1） 个三角形（用含n的代数式表示结论）．
【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形
（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数．
【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．
（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；
图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；
图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；
∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．
故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．
【点评】本题考查了图形的变化类﹣规律型，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
【典例1-2】一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长．
【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）当6是腰时，底边＝20﹣6×2＝8cm，即其它两边是6cm，8cm，此时6+6＝12，能构成三角形；
（2）当6是底边时，腰＝（20﹣6）÷2＝7cm，此时能构成三角形，所以其它两边是7cm、7cm．
因此其它两边长分别为7cm，7cm，
综上所述两边长分别为6cm，8cm或7cm，7cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
针对训练1
【变式1-1】图中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？用符号表示这些三角形．
【分析】根据三角形的定义和三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此即可解答问题．
【解答】解：共有6个三角形．
其中锐角三角形有2个：△ABE，△ABC；
直角三角形有3个：△ABD，△ADE，△ADC；
钝角三角形有1个：△AEC．
【点评】本题考查了三角形的定义，三角形的分类，是基础题，查找三角形时要按照一定的顺序才能做到不重不漏．
【变式1-2】△ABC的周长为22cm，AB边比AC边长2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长．
【分析】首先利用一个未知数表示出各边长，进而得出等式求出各边长即可．
【解答】解：设BC＝x，则AC＝2x，AB＝2x+2，
∵AB+BC+AC＝22，
∴2x+2x+2+x＝22，
解得；x＝4，
∴AC＝8cm，BC＝4cm，AB＝10cm．
【点评】此题主要考查了三角形周长公式，根据题意得出关于三角形周长的方程是解题关键．
【能力提升1】 三角形
【提升1-1】在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中没有三点在一条直线上．问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？
【分析】根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n＝3时，有7个三角形，因而若三角形内部有n个点时，一定是有2n+1个三角形．
【解答】解：当三角形纸片内有1个点时，有3个没有重叠部分的小三角形；
当有2个点时，有5个没有重叠部分的小三角形；
当n＝3时，有7个没有重叠部分的三角形，
…
故当三角形纸片内有n个点，连同三角形的顶点共n+3个点时，共有2n+1个三角形，
当n+3＝2011时，n＝2008，2n+1＝2×2008+1＝4017．
答：以这20I1个点为顶点能把三角形纸片分割成4017叠部分的小三角形．
【点评】此题考查图形的变化规律性；得到三角形的个数与三角形内点的个数的变化规律是解决本题的关键．
【提升1-2】在同一平面内，用3根和5根火柴棒不折断首尾顺次相接，分别摆成三角形，现把这两个三角形根据三边火柴根数分别记为（1，1，1）和（2，2，1）．
（1）现有12根火柴，请你摆一摆，分别画出符合条件的所有三角形，并标出各边三角形的火柴根数？
（2）如果有18根火柴，你能摆成几种三角形？请按题中的记法表示出所有符合条件的三角形．（不要求画图）
【分析】（1）根据边长都为正数和周长为12，以及三角形边长的关系可得出所有的符合条件的三角形．
（2）根据边长关系可确定所有符合条件的三角形．
【解答】解：（1）根据边长都为正数和周长为12，以及三角形边长的关系可得出所有的符合条件的三角形分别为（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）；
（2）（2，8，8），（3，7，8），（4，7，7），（4，6，8），（5，6，7），（5，5，8），（6，6，6）．
【点评】可以一一列举出来，这样问题就引刃而解了，但是要注意有顺序的找，这样不容易遗漏．
【提升1-3】如图所示，∠MBN＝45°，若△ABC的顶点A在射线BM上，且，点C在射线BN上运动（C不与B重合），请你探究：
（1）若△ABC是直角三角形，试求线段BC的长，并将点C的位置标注在图形中；
（2）探究：①当BC的值在什么范围时，△ABC是锐角三角形；
②当BC的值在什么范围时，△ABC是钝角三角形．
【分析】①若△ABC是直角三角形，则有两种情况：∠ACB＝90°或∠BAC＝90°．根据等腰直角三角形的性质进行计算BC的长；
②结合图形，知要使△ABC是锐角三角形，则应介于①的两种情况之间；
③结合图形，知要使△ABC是钝角三角形，则应小于①中求得的较小的BC或大于①中求得的较大的BC的长．
【解答】解：①如图所示，
当∠ACB＝90°时，则BC＝AB＝1；
当∠BAC＝90°时，则BC＝AB＝2．
即BC＝1或2时，△ABC是直角三角形；
②当1＜BC＜2时，△ABC是锐角三角形；
③当BC＜1或BC＞2时，△ABC是钝角三角形．
【点评】此题综合运用了等腰直角三角形的性质，能够结合图形分析不同形状的三角形的取值范围．
【聚焦考点2】
1.三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2.三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它所对应的边的中点的线段叫做三角形的中线。
3.三角形的高
从一个三角形顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
【典例剖析2】三角形有关线段
【典例2-1】如图，在△ABC中，线段CD是△ABC的高．给出下列三个选项：①∠1＝∠2；②∠B＝∠ADG；③EF⊥AB．从上述三个选项中任选两个作为条件，另一个作为结论，使结论成立，并说明理由．
已知： ①②或①③或②③ ，结论： ③或②或① ．（填序号）
理由： 见解析部分 ．
【分析】根据平行线的性质与判定可进行求解．
【解答】解：已知：①②，结论：③；
理由：∵∠B＝∠ADG，
∴DG∥BC，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCB，
∴EF∥CD，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB；
已知：①③，结论：②；
理由：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠1＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DCB，
∴DG∥BC，
∴∠B＝∠ADG；
已知：②③，结论：①；
理由：∵∠B＝∠ADG，
∴DG∥BC，
∴∠2＝∠DCB，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠1＝∠DCB，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
【典例2-2】如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB．
（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数．
（2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；
（2）根据平行四边形的判定定理得到四边形BGDE是平行四边形，求得∠EBD＝∠EDB，推出四边形BGDE是菱形，根据菱形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝130°，
∴∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，
又∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，
又∵AD⊥BD，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°；
（2）DO是△DEG的角平分线，
理由：∵EF∥BC，DG∥AB，
∴四边形BGDE是平行四边形，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBG，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠GBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴四边形BGDE是菱形，
∴BD平分∠EDG，
∴DO是△DEG的角平分线．
【点评】本题考查了三角形的中线、角平分线、高线，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，证得四边形BGDE是菱形是解题的关键．
【典例2-3】在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
【分析】根据中线的定义得到AD＝CD，设AD＝CD＝x，则AB＝2x，分类讨论：当x+2x＝12，BC+x＝15；当x+2x＝15，BC+x＝12，然后分别求出x和BC，即可得到三角形三边的长．
【解答】解：如图，∵DB为△ABC的中线
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，则AB＝2x，
当x+2x＝12，解得x＝4，
BC+x＝15，解得BC＝11，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11；
当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
针对训练2
【变式2-1】如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，则BC＝ 10 ．
【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝65°，
∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，
∴∠ECB＝∠ACB＝25°，
∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；
（2）∵F是AC中点，
∴AF＝FC，
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，
∴BC﹣AB＝3，
∵AB＝7，
∴BC＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是三角形的三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【变式2-2】已知△ABC（如图），按下列要求画图：
（1）△ABC的中线AD；
（2）△ABD的角平分线DM；
（3）△ACD的高线CN；
（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝ 7 ．
【分析】（1）取BC的中点D，然后连接AD即可；
（2）作∠ADB的平分线交AB于M点；
（3）过C点作CN⊥AD于N点；
（4）利用三角形中线的定义得到BD＝CD，然后利用三角形周长的定义得到AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，所以AC﹣AB＝3，从而可计算出AC．
【解答】解：（1）如图，AD为所作；
（2）如图，DM为所作；
（3）如图，CN为所作；
（4）∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵C△ADC﹣C△ADB＝3，
∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，
∴AC﹣AB＝3，
∵AB＝4，
∴AC＝AB+3＝4+3＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查三角形的中线，高线，角平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
【变式2-3】如图已知：AD是△ABC的中线，AB＝7cm，AD＝5cm，△ABD的周长是18cm，
求BC的长．
【分析】根据三角形中线的定义得到BC＝2BD，根据三角形周长公式即可得到结论．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BC＝2BD，
∵AB＝7cm，AD＝5cm，△ABD的周长是18cm，
∴BD＝18﹣7﹣5＝6（cm），
∴BC的长为12cm．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键．
【能力提升2】三角形有关线段
【提升2-1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
【分析】根据中线的定义知CD＝BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB＝13cm．易求AC的长度．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm．
即AC的长度是9cm．
【点评】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出AC﹣AB＝5cm，是解题的关键．
【提升2-2】在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
【分析】由CD⊥AB与∠B＝60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，
∠ECD＝90°﹣70°＝20°．
或∠ECD＝∠ECB﹣∠BCD＝50°﹣30°＝20°．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及三角形高线，角平分线的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．
【提升2-3】已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．
【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．
【解答】证明：
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4＝90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
即∠CFE＝∠CEF．
【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键
【聚焦考点3】
三角形的分类
①按角分类：
三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形
②按边分类
三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
注：等边三角形是特殊的等腰三角形
【典例剖析3】三角形的分类
【典例3-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形(底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形).根据三角形的分类可直接得到答案．
【解答】
解：三角形根据边分类不等边三角形等腰三角形两边相等的三角形三边相等的三角形(等边三角形)，
∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．
故选：D．
【点评】本题考查三角形按边分类，不等边三角形等腰三角形两边相等的三角形三边相等的三角形(等边三角形)
掌握三角形按边分类是解题关键。
【典例3-2】下列说法正确的是( )
A. 所有的等腰三角形都是锐角三角形
B. 等边三角形属于等腰三角形
C. 不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D. 一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义一一判断即可．
本题考查三角形的概念，解题的关键是搞清楚锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义，属于基础题，中考常考题型．
【解答】
解：A、错误，内角为30°，30°，120°的等腰三角形是钝角三角形；
B、正确，等边三角形属于等腰三角形；
C、错误，内角为30°，30°，120°的三角形既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形；
D、错误，内角为30°，30°，120°的三角形有两个锐角，是钝角三角形．
故选：B．
【点评】根据三角形的分类做出判断。三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形。
针对训练3
【变式3-1】将一个直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
【答案】B
【分析】因为直角三角形三边扩大同样的倍数，而角的度数不会变，所以得到的新的三角形还是直角三角形．
【详解】解：因为角的度数和它的两边的长短无关，所以得到的新三角形还是直角三角形；
故选B．
【点评】本题主要考查“角的度数和它的两边的长短无关”的知识点．
【变式3-2】下图是钝角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形为钝角三角形，依次进行判断即可．
【详解】解：依据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形为钝角三角形，
选项中只有B选项中的三角形含有钝角，
∴B为钝角三角形，
故选：B．
【点评】题目主要考查钝角三角形的定义，理解定义是解题关键．
【能力提升3】三角形的分类
【提升3-1】△ABC中，已知：∠A=40°，∠B=45°，则△ABC中按角分类是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可求得∠C的度数，再判断△ABC的分类．
【详解】∵∠A＝40°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°−40°−45°＝95°，
∴△ABC为钝角三角形，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
【提升3-2】如图表示三角形的分类，则A表示的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形
【答案】D
【分析】根据三角形按边分类，即可求解．
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形），
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键。
【聚焦考点4】
三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
【典例剖析4】构成三角形的条件
【典例4-1】已知a、b、c是三角形的三边长，
①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
②若a+b＝11，b+c＝9，a+c＝10，求这个三角形的各边．
【分析】（1）根据三角形的三边关系得出a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，再化去绝对值即可；
（2）通过解三元一次方程组，即可得出三角形的各边．
【解答】解：（1）∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c﹣b+c+a﹣c+a+b＝a+b+c；
（2）∵a+b＝11①，b+c＝9②，a+c＝10③，
∴由①﹣②，得
a﹣c＝2，④
由③+④，得2a＝12，
∴a＝6，
∴b＝11﹣6＝5，
∴c＝10﹣6＝4．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，以及三元一次方程组，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
【典例4-2】如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．
【分析】首先延长BP交AC于点D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把两个不等式相加整理后可得结论．
【解答】证明：延长BP交AC于点D，
在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①
在△PCD中，PC＜PD+CD②
①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
即PB+PC＜AB+AC，
即：AB+AC＞PB+PC．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是熟练掌握三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边．
针对训练4
【变式4-1】如图，在△BCD中，BC＝3，BD＝5．
（1）若CD的长是偶数，请求出CD的值；
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据三角形三边关系定理求出CD取值范围，再根据CD的长为偶数即可得出CD的取值；
（2）由平行线的性质和已知条件求解即可．
【解答】解：（1）在△BCD中，BC＝3，BD＝5，
∴2＜DC＜8；
又CD的长是偶数
∴CD＝4或6；
（2）∵AE∥BD，∠A＝55°，
∴∠CBD＝55°，
又∵∠BDE＝125°，
∴∠C＝∠BDE﹣∠CBD＝125°﹣55°＝70°．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，平行线的性质和判定，三角形的外角性质，掌握定理与性质是解题的关键．
【变式4-2】已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求出x的值，据此可得出三角形的周长．
【解答】解：设第三边的长为x，
根据三角形的三边关系，4﹣1＜x＜4+1，即3＜x＜5，
∵第三条边长为整数，
∴第三边是4，
∴该三角形的周长＝1+4+4＝9．
【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．
【能力提升4】三角形边的关系
【提升4-1】若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 ② （填序号）．
①4cm，2cm，1cm②13cm，18cm，9cm③19cm，20cm，19cm④9cm，8cm，6cm
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6（x为整数），求x的值．
【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；
（2）分三种情况对16进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）①∵1+2＜4，
∴4cm，2cm，1cm不能组成“不均衡三角形”；
②∵18﹣13＞13﹣9，
∴13cm，18cm，9cm能组成“不均衡三角形”；
③∵19＝19，
∴19cm，20cm，19cm不能组成“不均衡三角形”；
④∵9﹣8＜8﹣6，
∴9cm，8cm，6cm不能组成“不均衡三角形”．
故答案为：②；
（2）①16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6），
解得x＜3，
∵2x﹣6＞0，
解得x＞3，
故不合题意舍去；
②2x+2＞16＞2x﹣6，
解得7＜x＜11，
2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），
解得x＞9，
∴9＜x＜11，
∵x为整数，
∴x＝10，
经检验，当x＝10时，22，16，14可构成三角形；
③2x﹣6＞16，
解得x＞11，
2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，
解得x＜15，
∴11＜x＜15，
∵x为整数，
∴x＝12或13或14，都可以构成三角形．
综上所述，x的整数值为10或12或13或14．
【点评】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键．
【提升4-2】已知实数a，b，c满足（a﹣）2+＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形周长；若不能构成三角形，请说明理由．
【分析】（1）根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性解答即可；
（2）利用三角形的三边关系验证即可．
【解答】解：（1）（a﹣）2+＝0，
∴a﹣＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，
解得a＝2，b＝5，c＝3；
（2）以a，b，c为边能构成三角形，理由如下：
∵2+3＝5＞5，
∴以a，b，c为边能构成三角形．
【点评】本题考查的是非负数的性质及三角形的三边关系的知识，掌握算术平方根、绝对值、偶次方的非负性是解题的关键．
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