2021-2023年高考数学真题分项汇编：平面向量

这是一份2021-2023年高考数学真题分项汇编：平面向量，共18页。试卷主要包含了在中，点在边上，，已知为坐标原点，点，，，，，则，正方形的边长是2，是的中点，则等内容，欢迎下载使用。

专题11 平面向量
知识点目录
知识点1：平面向量线性运算
知识点2：数量积运算
知识点3：求模问题
知识点4：求夹角问题
知识点5：平行垂直问题
知识点6：平面向量取值与范围问题
近三年高考真题
知识点1：平面向量线性运算
1．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
2．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 　 　．
3．（2023•上海）已知向量，，则 ．
4．（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为 　 　．
知识点2：数量积运算
5．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则 ．
6．（2023•上海）已知向量，，则 ．
7．（2021•上海）如图正方形的边长为3，求 ．

8．（2021•浙江）已知非零向量，，，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点，，，，，则　　
A． B．
C． D．
10．（2023•乙卷（文））正方形的边长是2，是的中点，则　　
A． B．3 C． D．5
11．（2022•乙卷（文））已知向量，满足，，，则　　
A． B． C．1 D．2
12．（2022•甲卷（文））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
13．（2021•新高考Ⅱ）已知向量，，，则 ．
14．（2021•北京）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则　 　．

知识点3：求模问题
15．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则 ．
16．（2021•甲卷（理））若向量，满足，，，则 ．
17．（2023•北京）已知向量，满足，，则　　
A． B． C．0 D．1
18．（2022•乙卷（文））已知向量，，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
知识点4：求夹角问题
19．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则　　
A． B． C．5 D．6
20．（2023•甲卷（文））已知向量，，则，　　
A． B． C． D．
21．（2023•甲卷（理））向量，，且，则，　　
A． B． C． D．
知识点5：平行垂直问题
22．（2022•甲卷（文））已知向量，．若，则 ．
23．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则　　
A． B． C． D．
24．（2021•乙卷（文））已知向量，，若，则 ．
25．（2021•甲卷（文））已知向量，，．若，则 ．
26．（2021•乙卷（文））已知向量，，若，则 ．
知识点6：平面向量取值与范围问题
27．（2022•北京）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
28．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为 ．
29．（2022•浙江）设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
30．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 ．
31．（2021•天津）在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为 　 　，的最小值为 　．

专题11 平面向量
知识点目录
知识点1：平面向量线性运算
知识点2：数量积运算
知识点3：求模问题
知识点4：求夹角问题
知识点5：平行垂直问题
知识点6：平面向量取值与范围问题
近三年高考真题
知识点1：平面向量线性运算
1．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，

，
，即．
故选：．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 　 　．
【答案】．
【解析】在中，，，点为的中点，点为的中点，，，
则
3．（2023•上海）已知向量，，则 ．
【答案】．
【解析】因为向量，，
所以，，．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．
4．（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为 　 　．
【答案】．
【解析】中，，，是中点，，如图：
．
知识点2：数量积运算
5．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则 ．
【答案】
【解析】由题意，有，则，设，

则得，，
由同角三角函数的基本关系得：，
则，
，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
6．（2023•上海）已知向量，，则 ．
【答案】4．
【解析】向量，，
．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
7．（2021•上海）如图正方形的边长为3，求 ．

【答案】9
【解析】由数量积的定义，可得，
因为，所以．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题．
8．（2021•浙江）已知非零向量，，，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】当且，则，但与不一定相等，
故不能推出，
则“”是“”的不充分条件；
由，可得，
则，即，
所以可以推出，
故“”是“”的必要条件．
综上所述，“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握平面向量的基本概念和基本运算，属于基础题．
9．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点，，，，，则　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】法一、，，，，，
，，
，，，
，，
则，，则，故正确；
，
，
，故错误；
，
，
，故正确；
，
，
，故错误．
故选：．
法二、如图建立平面直角坐标系，

，作出单位圆，并作出角，，，
使角的始边与重合，终边交圆于点，角的始边为，终边交圆于，
角的始边为，交圆于，
于是，，，，
由向量的模与数量积可知，、正确；、错误．
故选：．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题．
10．（2023•乙卷（文））正方形的边长是2，是的中点，则　　
A． B．3 C． D．5
【答案】
【解析】正方形的边长是2，是的中点，
所以，，，，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题．
11．（2022•乙卷（文））已知向量，满足，，，则　　
A． B． C．1 D．2
【答案】
【解析】因为向量，满足，，，
所以，
两边平方得，
，
解得，
故选：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．
12．（2022•甲卷（文））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】11
【解析】由题意可得，
则．
故答案为：11．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积的定义，平面向量的运算法则等知识，属于中等题．
13．（2021•新高考Ⅱ）已知向量，，，则 ．
【答案】．
【解析】方法1：由得或或，
或或，
又，，，，，
，，，．
故答案为：．
方法．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题．
14．（2021•北京）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则　 　．

【答案】0．
【解析】以正方形网格左下角顶点为原点，以横向线段所在直线为轴，向右为正方向，以纵向线段所在直线为轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．
则，，，，，
知识点3：求模问题
15．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则 ．
【答案】．
【解析】，，
，，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查向量数量积的性质及方程思想，属基础题．
16．（2021•甲卷（理））若向量，满足，，，则 ．
【答案】．
【解析】由题意，可得，
因为，，所以，
所以．
故答案为：．
17．（2023•北京）已知向量，满足，，则　　
A． B． C．0 D．1
【答案】
【解析】，，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模公式，属基础题．
18．（2022•乙卷（文））已知向量，，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【解析】，
故，
故选：．
【点评】本题主要考查向量坐标公式，属于基础题．
知识点4：求夹角问题
19．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则　　
A． B． C．5 D．6
【答案】
【解析】向量，，，
，
，，，
，，
解得实数．
故选：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（2023•甲卷（文））已知向量，，则，　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意，向量，，
则，，
则有，，，
故，．
故选：．
【点评】本题考查向量的夹角，涉及向量的数量积计算，属于基础题．
21．（2023•甲卷（理））向量，，且，则，　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为向量，，且，所以，
所以，
即，，
解得，，
所以，
又，，
所以，
，
所以，．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长夹角的计算问题，是基础题．
知识点5：平行垂直问题
22．（2022•甲卷（文））已知向量，．若，则 ．
【答案】．
【解析】向量，．，
，
则，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
23．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，，
由，得，
整理得：，即．
故选：．
【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．
24．（2021•乙卷（文））已知向量，，若，则 ．
【答案】
【解析】因为向量，，
则，
又，
所以，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
25．（2021•甲卷（文））已知向量，，．若，则 ．
【答案】
【解析】因为向量，，，
由，则，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，涉及了平面向量数量积的运算性质，平面向量垂直的坐标表示，考查了运算能力，属于基础题．
26．（2021•乙卷（文））已知向量，，若，则 ．
【答案】．
【解析】因为，，，
所以，解得．
故答案为：．
知识点6：平面向量取值与范围问题
27．（2022•北京）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】在中，，，，
以为坐标原点，，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，如图：

则，，，
设，
因为，
所以，
又，，
所以，
设，，
所以，其中，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为6，
所以，，
故选：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题．
28．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为 ．
【答案】．
【解析】设，，，
，不妨设，，，则，
因为，
所以，可得，，
所以，解得，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算以及不等式的性质，属于中档题．
29．（2022•浙江）设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
【答案】，．
【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，，
设，
则，
，，
，
，
即的取值范围是，，
故答案为：，．

【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．
30．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 ．
【答案】．
【解析】建立平面直角坐标系如下，
则，，，
直线的方程为，即，
点在直线上，设，
，，
，
的最小值为．
故答案为：．

【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．
31．（2021•天津）在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为 　 　，的最小值为 　．
【答案】1，．
【解析】如图，设，

是边长为1等边三角形，，
，，，，
，是边长为等边三角形，，
，
则，


，，
的最小值为．
故答案为：1，．
【点评】本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题．
32．（2021•浙江）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】令，
因为，故，，，，令，
平面向量在，方向上的投影分别为，，设，
则：，
从而：，故，
方法一：由柯西不等式可得，
化简得，当且仅当，即 时取等号，
故 的最小值为．
方法二：则表示空间中坐标原点到平面 上的点的距离的平方，
由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：
．
故答案为：．