人教版 (2019)选择性必修 第一册5 实验：用单摆测量重力加速度优秀课后作业题

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2.5 用单摆测量重力加速度
基础知识梳理

1.实验原理
由T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的 .
2.数据处理
(1)平均值法：利用实验中获得的摆长和周期的实验数据，从中选择几组，分别计算重力加速度，然后取平均值.
(2)图象法：分别以l和T2为纵坐标和横坐标，作出函数l＝ 的图象，图象的斜率k＝ ，进而求出重力加速度g.
【参考答案】重力加速度 T2
典型例题分析

考点一：用单摆测量重力加速度的实验目的、原理、器材
【例1】甲、乙两位同学在同一实验室做沙摆实验，以相同速度拉动纸板，在相同长度的纸板上得到的痕迹图象，如图所示，下列说法不正确的是（　　）

A．沙摆质量的变化对周期的影响较小，可以忽略不计
B．甲、乙两个沙摆的周期之比为7：4
C．甲、乙两个沙摆的等效摆长为16：49
D．在误差范围内，甲、乙两同学测得的重力加速度的数值相同
【答案】C
【详解】A．根据公式知，单摆的周期与摆球的质量无关，所以沙摆质量的变化对周期的影响可以忽略不计，故A正确，不符合题意；B．由图知

得

故B正确，不符合题意；C．根据得

故C错误，符合题意；D．同一地点的重力加速度是相同的，根据单摆周期公式测量的重力加速度在误差允许范围内是相等的，故D正确，不符合题意。故选C。
【变式练习】
1．用单摆测定重力加速度，根据的原理是（　　）
A．由g=看出，T一定时，g与l成正比
B．由g=看出，l一定时，g与T2成反比
C．由于单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，利用g=可算出当地的重力加速度
D．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比
【答案】C
【详解】ABD．在同一地点，重力加速度g定值，可见g是由所处的地理位置的情况来决定的，与l及T无关， ABD错误；C．根据单摆周期公式

变形得

由于单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，利用可算出当地的重力加速度g，故C正确；故选C。
2．如图所示为用单摆测重力加速度的实验装置，下列说法正确的是（　　）

A．测摆长时，摆线应接好摆球，使摆线处于自然下垂状态
B．摆长等于摆线的长度加上摆球的直径
C．测单摆的周期时，应从摆球经过最高点速度为0时开始计时
D．如果有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用木球作摆球
【答案】A
【详解】A．测摆长时，摆线应接好摆球，使摆线处于自然下垂状态，否则，摆长的测量不准确，故A正确；B．摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，故B错误；C．当摆球经过平衡位置时开始计时，测多次全振动后求出周期的平均值，故C错误；D．摆球选择质量大一些、体积小一些的小球，如果有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用铜球作摆球，故D错误。故选A。
考点二：用单摆测量重力加速度的实验步骤和数据处理
【例2】有两位同学利用假期分别参观了位于哈尔滨市的“哈尔滨工业大学”和上海市的“复旦大学”，他们各自利用那里实验室中的DIS系统探究了单摆周期T和摆长L的关系。然后通过微信交流实验数据，并用计算机绘制了如图甲所示的图像。另外，去“复旦大学”做研究的同学还利用计算机绘制了他实验用的a、b两个摆球的振动图像，如图乙所示。下列说法正确的是：（　　）

A．甲图中“复旦大学”的同学所测得的实验结果对应的图线是B
B．甲图中图线的斜率表示对应所在位置的重力加速度的倒数
C．由乙图可知，a、b两摆球振动频率之比为3∶2
D．由乙图可知，时b球振动方向沿y轴正方向
【答案】C
【详解】AB．根据

得

知图线的斜率

图线B的斜率较小，则图线B对应的重力加速度较大，可知甲图中“哈尔滨工业大学”的同学所测得的实验结果对应的图象是B，故AB错误；C．周期等于完成一次全振动的时间，由乙图可知，a、b两单摆的周期之比为2：3，振动频率之比为3∶2，故C正确；D．由乙图可知，t=1s时，b球处于平衡位置向-y方向运动，故D错误。故选C。
【变式练习】
1．在“用单摆测重力加速度”的实验中，小华根据测量数据作出的L-T2图线如图所示，则当地的重力加速度大小为（　　）

A．9.86m/s2 B．9.91m/s2
C．9.95m/s2 D．10.0m/s2
【答案】A
【详解】由公式

可得

故L-T2图线的斜率为

又

解得当地的重力加速度大小为

BCD错误，A正确。故选A。
2．在“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验中，下列做法正确的是（　　）
A．为测量摆线长，必须使单摆处于水平拉直状态
B．单摆偏离平衡位置的角度必须严格控制在以内
C．当单摆经过最高点时开始计时，单摆完成30次全振动所用的时间t，用作为单摆的振动周期
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，单摆完成30次全振动所用的时间t，用作为单摆的振动周期
【答案】D
【详解】A．测量摆线长，必须使单摆处于竖直状态，故A错误；B．单摆偏离平衡位置的角度一般控制在以内，但也可以稍微超过5°，故B错误；CD．应当单摆经过平衡位置时开始计时，这时摆球速度最大计时误差最小，单摆完成30次全振动所用的时间t，则用作为单摆的振动周期，故C错误，D正确。故选D。
考点三：用单摆测量重力加速度的注意事项和误差分析
【例3】在“用单摆测定重力加速度”的实验中，采用了以下几种不同的测量摆长的方法，其中正确的是（    ）
A．装好单摆，用力拉紧摆线，用米尺测量摆线长度，然后加上摆球半径
B．用手托住摆球使其静止，用米尺直接测出悬点到球心的距离
C．让单摆自然下垂，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径
D．把单摆取下并放于桌面上，用米尺测出摆线长，然后加上摆球的半径
【答案】C
【详解】测量摆长时，应使单摆自然下垂，用米尺测量出摆线长度，然后加上摆球的半径，故C正确，ABD错误。故选C。
【变式练习】
1．某同学利用单摆测量重力加速度，为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是（　　）
A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球
B．组装单摆细线要轻
C．实验时须使摆球可旋转
D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大
【答案】B
【详解】A．组装单摆须选用密度较大，而直径较小的摆球，选项A错误；B．组装单摆细线要轻，选项B正确；C．实验时不能使摆球可旋转，选项C错误；D．摆长一定的情况下，摆的振幅不能太大，摆角不超过5°，选项D错误。故选B。
2．利用单摆测重力加速度时，若测得g值偏大，则可能是因为（　　）
A．单摆的摆球质量偏大
B．测量摆长时，只考虑了摆线长，忽略了小球的半径
C．测量周期时，把n次全振动误认为是n+1次全振动
D．测量周期时，把n次全振动误认为是n-1次全振动
【答案】C
【详解】A．由单摆周期公式，可得

由该式知重力加速度与摆球的质量无关，故A错误；B．测量摆长时，忽略了小球的半径，所测摆长偏小，则所测得的g值偏小，故B错误；CD．设单摆做n次全振动的时间为t，单摆的周期，若误记作次全振动，则

即周期的测量值小于真实值，测得的g值偏大；若误记作次全振动，则

即周期的测量值大于真实值，测得的g值偏小，故C正确，D错误。故选C。
方法探究

实验：用单摆测定重力加速度
1.实验原理
由T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度.
2.实验器材
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺.
3.实验步骤
(1)让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆.
(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.在单摆平衡位置处做上标记.
(3)用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋.
(4)把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球.摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期.
(5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格.
4.注意事项
(1)选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球.
(2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小.
(3)摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆.
(4)计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间t.
课后小练

一、单选题
1．在“用单摆测量重力加速度的大小”的实验中，摆球摆动稳定后，当它到达最低点时启动秒表开始计时，并记录此后摆球每次经过最低点的次数n（n=1、2、3...），当数到n=40时刚好停表，此时秒表读数为t。则该单摆的周期为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，单摆完成全振动的次数为

故该单摆的周期为

C正确。故选C。
2．某同学在山顶找到一块密度较大、体积较小，形状不规则的石块，用细线系住石块使其在竖直平面内小角度摆动，测量石块摆动的周期和对应的细线长度，改变细线的长度，得到多组周期的平方和对应的细线长度，描点得到如图所示的图像，则山顶的重力加速度大小最接近（　　）

A．9.46m/s2 B．9.56m/s2 C．9.66m/s2 D．9.76m/s2
【答案】C
【详解】有单摆周期公式

得

可得斜率

解得

故C正确，ABD错误。故选C。
3．在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测量结果精确度有利的是（  ）
A．适当加长摆线
B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C．单摆偏离平衡位置的角度越大越好
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期
【答案】A
【详解】A．当适当加长摆线时，单摆的周期将增大，故可以减小周期测量的相对误差，A正确；B．质量相同，体积越大的摆球，所受的阻力会影响其做单摆运动，B错；C．单摆偏离平衡位置的角度不能超过10°，C错；D．在D中，会增大周期测量的误差，D错。故选A。
4．下列关于单摆实验过程的具体步骤中，你觉得存在明显问题的是（　　）
A．将细线穿过金属小球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一点的结，制成一个单摆
B．将单摆平躺在桌上，用刻度尺、游标卡尺分别测量摆线长度和直径，取半径加线长为摆长
C．铁架台放在桌边，使固定的铁架伸出桌面，然后把单摆固定在铁夹上，使摆球自由下垂
D．当摆动稳定后摆球经过最低点时开始计时，测30~50次全振动的时间，并求出周期
【答案】B
【详解】A．将细线穿过金属小球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一点的结，制成一个单摆，A正确，不符合题意；BC．铁架台放在桌边，使固定的铁架伸出桌面，然后把单摆固定在铁夹上，使摆球自由下垂，用刻度尺测量摆线长度，再用游标卡尺测量小球直径，摆线长加小球半径为摆长，B错误，符合题意，C正确，不符合题意；D．当摆动稳定后摆球经过最低点时开始计时，测30~50次全振动的时间，并求出周期，D正确，不符合题意。故选B。
5．在用单摆测量重力加速度的实验中，用多组实验数据做出周期（T）的平方和摆长（L）的T2-L图线，可以求出重力加速度g。已知两位同学做出的T2-L图线如图中的a、b所示，其中a和b平行，图线a对应的g值很接近当地重力加速度的值。相对于图线a，关于图线b的分析正确的是（　　）

A．可能是误将绳长记为摆长L
B．可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
C．可能是误将49次全振动记为50次
D．根据图线b不能准确测出当地的重力加速度
【答案】B
【详解】根据单摆的周期公式

得

根据数学知识可知，T2-L图象的斜率

当地的重力加速度

AB．由图象可知，对图线b，当T为零时L不为零，所测摆长偏大，可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L，故A错误，B正确；C．实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k偏小。故C错误；D．由图示图象可知，图线a与图线b的斜率相等，由

可知，图线b对应的g值等于图线a对应的g值，故D错误。故选B；
6．实验小组的同学做“用单摆测重力加速度”的实验。如果实验得到的结果比当地的重力加速度值小，可能的原因是（　　）
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时，秒表过迟按下
D．实验中误将n－1次全振动数为n次
【答案】B
【详解】根据可得

A．测摆线长时摆线拉得过紧时，摆线长的测量值偏大，由可知，实验得到的结果比当地的重力加速度值大，故A错误；B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，则摆长测量值小于实际值，由可知，实验得到的结果比当地的重力加速度值小，故B正确；C．开始计时，秒表过迟按下使得周期测量值偏小，由可知，实验得到的结果比当地的重力加速度值大，故C错误；D．实验中误将n－1次全振动数为n次使得周期测量值偏小，由可知，实验得到的结果比当地的重力加速度值大，故D错误。故选B。
7．某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是（　　）
A．以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算
B．单摆所用摆球质量太大
C．把n次全振动时间误当成n－1次全振动时间
D．开始计时时，秒表过早按下
【答案】A
【详解】A．根据

得

以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算，则l偏大，测得的g偏大，故A正确；B．单摆所用摆球质量大小与重力加速度无关，故B错误；C．把n次全振动时间误当成（n－1）次全振动时间，则周期测量值偏大，重力加速度测量值偏小，故C错误；D．开始计时时，秒表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误。故选A。
8．有两个同学利用假期分别去参观北京大学和南京大学的物理实验室，各自在那里利用先进的系统较准确地探究了“单摆的周期与摆长的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了图象，如图甲所示；另外，在南京大学做探究的同学还利用计算机绘制了、两个摆球的振动图象（如图乙所示），则下列说法正确的是（　　）

A．去北京大学的同学所测实验结果对应图甲中的A线
B．由图乙可知，两单摆摆长之比
C．在时，球正沿轴负方向运动
D．在时，球正沿轴正方向运动
【答案】B
【详解】A．根据得

知图象的斜率越大，则重力加速度越小，因为南京当地的重力加速度小于北京，去北大的同学所测实验结果对应的图线的斜率小，应该是B图线，故A错误；B．由振动图线知，两单摆的周期比为

根据知两单摆摆长之比

故B正确；C．由振动图象得，在时，球在负方向最大位移处，速度为零，向y轴正方向运动，故C错误；D．由振动图象得，在时，b球沿y轴负方向运动，故D错误。故选B。
二、多选题
9．根据单摆周期公式，可以设计实验测量当地的重力加速度。如图所示，将细线的上端固定在铁架台的铁架上，下端系一小球，就做成了单摆，关于该实验，下列说法正确的是（　　）

A．摆球可选择质量较大、体积较小的钢球
B．为方便改变摆长，可将摆线的一头绕在铁架台上的圆杆上以代替铁夹
C．实验过程中要确保摆球在同一竖直平面内摆动
D．若测出摆球连续通过最低点100次的时间为，则单摆的周期为
E．若用悬线的长度加上摆球的直径作为摆长代入单摆周期公式进行运算，且其它操作和计算均正确，则得到的实验结果比当地重力加速度的实际值要大一些。
【答案】ACE
【详解】A．该实验中，为了减小阻力的影响，要选择体积较小，密度较大的小球，A正确；B．若绕在圆杆上，在线摆动中摆长会发生变化，从而产生错误，B错误；C．根据单摆的性质可知，实验过程中要确保摆球在同一竖直平面内摆动，C正确；
D．摆球在一个周期内两次经过平衡位置，测出摆球连续通过最低点100次的时间为，则单摆的周期为，D错误；
E．若用悬线的长度加上摆球的直径作为摆长代入单摆周期公式进行运算，且其它操作和计算均正确，由于所用的摆长大于实际摆长，则得到的实验结果比当地重力加速度的实际值要大一些，E正确；故选ACE。
10．在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，如果用周期公式直接计算，得到的g值偏小，可能的原因是（　　）
A．测摆长时只测了摆线的长度
B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时，秒表过早按下
D．测量周期时，误将摆球（n－1）次全振动的时间t记成了n次全振动的时间
【答案】ABC
【详解】A．根据
T＝2π
得
g＝
测摆长时只测了摆线的长度，则测量的摆长偏小，所以测量的重力加速度偏小，A正确；B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，知测量的摆长偏小，则测量的重力加速度偏小，B正确；C．开始计时，秒表过早按下，测量的周期偏大，则测量的重力加速度偏小，C正确；D．测量周期时，误将摆球（n－1）次全振动的时间t记成了n次全振动的时间，则算得的周期变小，重力加速度偏大，D错误。故选ABC。
11．某同学用单摆测当地的重力加速度。他测出了摆线的长度l和摆动周期T，获得多组T与l的数据，再以T2为纵轴、l为横轴画出函数关系图像，如图所示。已知图线与纵轴的截距为a，图线斜率为k，下列说法正确的是（　　）

A．若摆球质量分布均匀，摆球半径为
B．若摆球质量分布均匀，摆球直径为
C．测得当地的重力加速度大小为
D．由于摆线长度小于摆长，因此测得的重力加速度值偏小
【答案】AC
【详解】T2与L的图象，应为过原点的直线，但图中没有过原点，且实验中该学生在测量摆长时，只量了悬线的长度l当作摆长，而没有加上摆球的半径r，由单摆周期公式可得

整理可得

由题可知
，
解得
，
则摆球直径为

此实验中误将摆线长当成摆长进行测量和绘制图线，但图线的斜率不变，所测重力加速度不变。
故选AC。
12．小明同学在用单摆测当地的重力加速度g时，由于没有游标卡尺，无法测量小球的直径d，但是测出多组摆线长L和对应的周期T，并做出了T2﹣L图象，如图所示，图线的斜率为k，反向延长线与横轴交点的横坐标为-a（a＞0）.下列说法正确的是（　　）

A．小球的直径为a
B．实验测得当地的重力加速度为
C．仅将单摆的摆角从4°改为2°，得到的图线斜率不变
D．由于没测小球的直径，导致测得的重力加速度偏小
【答案】BC
【详解】A.根据单摆的周期公式得：，又l＝L+则得：
①
由数学知，L﹣T2图象中横坐标截距的绝对值为小球的半径，可知小球的直径为2a．故A不符合题意；B.由①可知，图象的斜率：k=，则重力加速度：．故B符合题意；C.对于单摆，摆角小于5°即可，仅将单摆的摆角从4°改为2°，不影响单摆的周期，则得到的图线斜率不变．故C符合题意；D.由可知，没有测小球的直径，不影响测得的重力加速度的数值．故D不符合题意．
三、实验题
13．某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中，先测得摆线长为 97.50 cm，摆球直径为 2.00 cm，然后用秒表记录了单摆振动 50 次所用的时间如图甲所示。则：

（1）该摆摆长为 ________cm，秒表的示数为 ________；
（2）（单选）如果他测得的 g 值偏小，可能的原因是( )
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加
C．开始计时时，秒表过迟按下
（3）为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长 l 并测出相应的周期 T，从而得出一 组对应的 l 与 T 的数据如图乙，再以 l 为横坐标，T 2为纵坐标将所得数据连成直线，并求得该直线的斜率为 k，则重力加速度 g=________（用 k 表示）

【答案】（1）98.50     99.8 s     （2）B    （3）
【详解】（1）[1]单摆的摆长

[2]由甲图可知，秒表的小盘读数为90s，大盘读数为9.8s，则秒表读数为99.8s；（2）[3]根据摆的周期公式

解得

A．测摆线时摆线拉得过紧，则摆长的测量量偏大，则测得的重力加速度偏大，故A错误；B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，振动周期变大，而测得的摆长偏小，则测得重力加速度偏小，故B正确；C．开始计时，秒表过迟按下，测得单摆的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，故C错误。故选B。
（3）[4]由单摆的周期公式

可得

则图线的斜率

解得

14．在用单摆测量重力加速度大小的实验中。
（1）为了比较准确地测量出当地重力加速度的数值，在下列所给的器材中，应选用________（填序号）；A．长约1m的细线
B．长约20m的细线
C．直径为1cm的铁球
D．直径为1cm的木球
E.秒表
F.时钟
G.最小分度值为1dm的直尺
H.最小分度值为1mm的直尺
（2）进行实验时，同学们在悬挂小球时，采用了两种不同的方式，分别如图甲中的1、2所示，应该选用________（填“1”或“2”）；
（3）某同学测出不同摆长时对应的周期T，作出T2—L的图像如图乙所示，再利用图线上的两点A、B的坐标（x1，y1），（x2，y2），可求得重力加速度大小g=________。若该同学计算摆长时直接用摆线长度加上小球的直径，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用上述方法算得的g值________（填“大于”、“小于”或“等于”）真实值。

【答案】 （1）ACEH     （2）2     （3）     等于
【详解】（1）[1]ABCD．为了减小误差，比较准确地测量出当地重力加速度的数值，应选用长约1m的细线和直径为1cm的铁球组成单摆，AC正确，BD错误；EFGH．为了提高测量精度，应选用秒表和最小分度值为1mm的直尺，EH正确，FG错误。故选ACEH；（2）[2]为避免摆线晃动导致摆长发生变化，应采用图甲中的第2种方案。
（3）[3]单摆的周期公式为

整理可得

故图像的斜率为

解得重力加速度大小为

[4]若该同学计算摆长时直接用摆线长度加上小球的直径，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，关系变为

其中L为准确摆长（即摆线长加上小球半径），可知图像斜率不变，用上述方法算得的g值等于真实值。