第09讲 与全等三角形有关的计算和角的证明与计算-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版）

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第09讲 与全等三角形有关的计算和角的证明与计算
人教版

·模块一 求角度和线段的长度
·模块二 角度和线段之间关系的证明
·模块三 线段位置关系
·模块四 课后作业
模块一
求角度和线段的长度



【例1】如图，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AC=5，求BD的长.
  
【例2】如图，C为BE上一点．点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，AB=CE，BC=ED．

(1)证明：△ABC≅△CED；
(2)若∠A=135°，求∠BCD的度数．
【例3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC，延长AD到点E，使得AE=AB，连结BE，CE．
    
(1)求证：△ABD≌△AEC．
(2)若∠BAC=60°，求∠BCE的度数．
【变式1】如图，点A，C，D，E在同一条直线上，BC⊥AE，FD⊥AE，∠F=∠B，且AB=EF．

(1)求证：△ABC≌△EFD；
(2)若AE=8，CD=2，求DE的长．
【变式2】如图1是李明制作的燕子风筝，燕子风等的骨架图如图2所示，已知AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC,∠D=50°，求∠C的大小．

【变式3】已知：如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在AB上，CD∥AB，交FE的延长线于点D．

(1)求证：EF=ED；
(2)若AB=8,CD=6，求BF的长．
模块二
角度和线段之间关系的证明



【例1】如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，CB=CD，BE=DF．试探究线段AD，DF，AB之间的数量关系，并证明．
  
【例2】在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（点D不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？说明理由．
【例3】在△ABC中，AB=AC，点D是线段CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE的度数为多少度．
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究写出α与β之间的数量关系是 ___________．（直接写出结果）
【变式1】如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥AB于点E，在BC上取FC=AE．

(1)求证：△AED≌△FCD；
(2)猜想AB，BC与CF之间的数量关系，并说明理由．
【变式2】如图，已知AB=AC,AD=AE,BE=CD．写出∠1,∠2,∠3之间的数量关系，并予以证明．

【变式3】已知，如图，Rt△ABC和Rt△ADE，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE．

(1)求证：△DAC≌△EAB；
(2)试求BE、CD之间的数量关系和位置关系．
模块三
线段位置关系



【例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F，E分别是AD及其延长线上的点．

(1)如果CF//BE，说明：△BDE≌△CDF；
(2)若CF，BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F，请猜想BF与CE的位置关系？并说明理由．
【例2】如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，E是AD上的一点，且DC=DE，连接BE并延长交AC于点F．

(1)求证:AC=BE；
(2)猜想BF与AC的位置关系，并证明．
【例3】如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，当点B，D，E在同一条直线上时，请判断线段BD和CE的数量及位置关系，并说明理由．

【变式1】如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，请写出CD与BA之间的位置关系，并证明你的结论．

【变式2】如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE．

(1)求证AE=DF；
(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．
【变式3】如图，C是线段BD上一点，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，连接BE，AD，试判断BE与AD的数量关系与位置关系，并说明理由．

模块四
课后作业


1．如图，AC，BD交于E点，AC=BD，AE=BE，∠B=35∘，∠1=95∘，则∠D的度数是（    ）

A．60° B．35° C．50° D．75°
2．如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（　　）

A．∠2=2∠1 B．∠2−∠1=90° C．∠1+∠2=90° D．∠1+∠2=180°
3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF=AC，CD=3，BD=8，则线段AF的长度为________．
  
4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，这两个滑梯与地面夹角中∠ABC=35°，则∠DFE=_______°．

5．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．

(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠A=60°，∠B=88°，求∠F的度数．
6．如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为BF中点，若CF=10，AD=7，求BD的长度．

7．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AE＝AD，AE⊥AD，B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求证：△ABE≌△ACD．
（2）探究DC与BE之间的位置关系，并说明理由．

8．如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE相交于点F，与AC相交于点G．

（1）△BCD与△ACE全等吗？请说明理由；
（2）试判断BF与AE的位置关系，并说明理由．
9．按要求画图，并解答问题
（1）如图，取BC边的中点D，画射线AD；
（2）分别过点B、C画BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F；
（3）BE和CF的位置关系是　 　；通过度量猜想BE和CF的数量关系是　 　．

10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=60°，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为一边的等边三角形．
（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：△AEB≌△ADC；
（2）如图①，探究BE和AC的位置关系，并说明理由．
（3）如图②，当点D在BC的延长线上时，（2）中结论还成立吗？说明理由．

11．已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．

12．在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在直线AB上，且DE=CE．

(1)如图①，已知∠DEC=∠A=90°，
①求证：△AED≌△CEB；
②若BC=3，AD=2，则AB=______；
(2)如图②，若DE交BC于点F，∠DFC=∠AEC，猜想AB、AD、BC之间具有怎样的数量关系？并加以证明．
13．如图，点C，A，O，B四点在同一条直线上，点D在线段OE上，且OA=OD，AC=DE，连接CD，AE

(1)求证△AOE≌△DOC；
(2)写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．
14．如图，有两个长度相等的滑梯AB与DE（即AB=DE），滑梯AB的高BC与滑梯DE的水平方向EF的长度相等（即BC=EF），且BC⊥AC,DF⊥EF，问两个滑梯的倾斜角∠A与∠E的大小有什么关系？请说明理由．

15．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD．

(1)根据给出的条件，找出图中一对全等三角形并证明；
(2)探求∠B和∠ADC的大小关系，并加以证明．