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第14讲 等腰三角形常用作辅助线的方法-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课(人教版)
展开第14讲 等腰三角形常用作辅助线的方法
人教版
·模块一 作平行线
·模块二 作垂线
·模块三 倍长中线法
·模块四 截长补短法
·模块五 课后作业
模块一
作平行线
【例1】如图,△ABC是边长为2的等边三角形,点P在AB上,过点P作PE⊥AC,垂足为E,延长BC到点Q,使CQ=PA,连接PQ交AC于点D,则DE的长为( )
A.0.5 B.0.9 C.1 D.1.25
【例2】P为等边△ABC的边AB上一点,Q为BC延长线上一点,且PA=CQ,连PQ交AC边于D.
(1)证明:PD=DQ.
(2)如图2,过P作PE⊥AC于E,若AB=6,求DE的长.
【变式1】如图所示:△ABC是等边三角形,D、E分别是AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交BC于点M.
求让:MD=ME
模块二
作垂线
【例1】如图,OC平分∠MON,A、B分别为OM、ON上的点,且BO>AO,AC=BC,求证:∠OAC+∠OBC=180°.
【例2】如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,A(0,3),C(1,0),则点B的坐标为________.
【例3】如图,在ΔABC中,∠ACB=90°,∠ABD=∠CBE=90°,BA=BD,BC=BE,延长CB交DE于F.求证:EF=DF.
【变式1】如图,D是CB延长线上一点,且BD=BC,E是AB上一点,DE=AC,求证:∠BAC=∠BED.
【变式2】如图,已知AD为△ABC的中线,点E为AC上一点,连接BE交AD于点F,且AE=FE.
求证:BF=AC.
模块三
倍长中线法
【例1】如图,在△ABC中,AD为BC边的中线,E为AD上一点,连接BE并延长交AC于点F,若∠AEF=∠FAE,BE=4,EF=1.6,则CF的长为____________.
【例2】已知三角形的两边长分别是2和4,设第三边上的中线长为x,则x的取值范围是______.
【例3】如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,BE是AC的中线,点D在AC的延长线上,连接BD,若∠ABE=∠D.
(1)猜想BD=________BE;
(2)完成(1)的证明过程.
【变式1】如图,AD是△ABC的中线,点E在AD上,且BE=AC,求证:∠BED=∠CAD.
【变式2】如图,已知AP//BC,点E是DC的中点,且AD+BC=AB,求证:AE⊥BE.
模块四
截长补短法
【例1】如图,在△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,若AC+CD=AB,求∠C的度数.
【例2】如图,四边形ABCD中,∠B+∠D=180°, ∠BCD=150°,CB=CD,M、N分别为AB、AD上的动点,且∠MCN=75°.求证: MN=BM+DN.
【变式1】如图,△ABC为等边三角形,若∠DBC=∠DAC=α(0°<α<60°),则∠BCD=__________(用含α的式子表示).
【变式2】如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,M是AB延长线上一点,N是CA延长线上一点,且∠MDN=60°.试探BM,MN,CN之间的数量关系,并给出证明.
模块五
课后作业
1.如图,四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,AC=BD=CD,点P是△OCD角平分线的交点,点M是AB的中点,给出下列结论:①∠CPD=135°;②BA=BP;③△PAC≌△PDB;④S△ABP=S△DCP;⑤PM=12CD.其中正确的是___.(填序号)
2.如图,在△ABC中,∠A=100°,AB=AC,BE是∠ABC的平分线,求证:AE+BE=BC.
3.如图,阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.
已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE. 求证:AB=CD.
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明.
4.【阅读理解】数学兴趣小组活动时,老师提出如下问题:如图1,在△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明提出了如下解决方法,延长线段AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法回答下列问题.
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是____________.
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
(2)探究得出AD的取值范围___________.
A.6
(3)如图2,在△ABC中,CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证:∠C=∠BAE.
5.如图,AD为△ABC的中线,F在AC上,BF交AD于E,且BE=AC.求证:AF=EF.
6.已知:如图,在△ABC中,∠B=60°,D、E分别为AB、BC上的点,且AE、CD交于点F.若AE、CD为△ABC的角平分线.
(1)求∠AFC的度数;
(2)若AD=6,CE=4,求AC的长.
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