数学第三章 一元一次方程3.4 实际问题与一元一次方程优秀精练

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专题1.1 正数和负数

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列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。
解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系
考点精讲

考点1：行程问题
典例：（2022·河南南阳·七年级期末）【问题呈现】
某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30分钟后，学校派一名通信员骑自行车以12千米/时的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍．
【自主思考】
(1)根据题意，请画出示意图：
(2)相等关系为（请填空）：____________．
【建模解答】
（请你完整解答本题）
方法或规律点拨
本题考查了一元一次方程的应用，要会根据路程=速度×时间这一公式找出正确的等量关系，难点在第二问，注意分段求解时间．
巩固练习
1．（2022·河北·涿州市双语学校七年级期末）已知下列两个应用题：
①现有60个零件的加工任务，甲单独每小时可以加工4个零件，乙单独每小时可以加工6个零件．现甲乙两人合作，问两人开始工作几小时后还有20个零件没有加工？
②甲乙两人从相距20km的两地同时出发，背向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几小时后两人相距60km？
其中可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中数量关系的应用题是（   ）
A．① B．② C．①② D．①②都不对
2．（2022·福建泉州·七年级期末）轮船在河流中来往航行于A、两码头之间，顺流航行全程需小时，逆流航行全程需小时，已知水流速度为每小时，求、两码头间的距离．若设A、两码头间距离为，则所列方程为（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·七年级单元测试）一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以40km/h的速度前进，突然，6号队员以50km/h的速度独自行进，行进15km后掉转车头，仍以50km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合．设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了xh，则x为（       ）
A．1.5 B．0.75 C． D．
4．（2023·江苏·七年级专题练习）小明早上8点从家骑车去图书馆，计划在上午11点30分到达图书馆．出发半小时后，小明发现若原速骑行，将迟到10分钟，于是他加速继续骑行，平均每小时多骑行1千米，恰好准时到达，则小明原来的速度是（       ）
A．12千米/小时 B．17千米/小时 C．18千米/小时 D．20千米/小时
5．（2022·黑龙江·大庆市第四十四中学校期末）甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B两城相距多少千米？
6．（2022·甘肃·甘州中学七年级期末）A，B两地相距448km，一列慢车从A地出发，速度为60km/h，一列快车从B地出发，速度为80km/h，两车相向而行，慢车先行28min，快车开出多长时间后两车相遇？
7．（2022·湖南·双峰县教育科学研究室七年级开学考试）星期六小王去球馆打球，去时发现家中的钟没电了，于是换上电池，把钟暂时调整到8时整．到球馆时球馆的钟刚好是8时整．打球到11时整时他以原速度回家发现家中的钟刚好是12时整．小王根据这些时间关系再次调整了时间．如果小王在路上的速度是60米/分钟，请问从家到球馆的路程是多少？小王到家的准确时间是几点？
8．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，乙车行驶5小时到达A地，并原地休息．甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的倍．
(1)甲车的行驶速度是________千米/ 时，乙车的行驶速度是________千米/ 时；
(2)求乙车出发后几小时两车相遇；（列方程解答此问）
(3)若甲车到达B地休息一段时间后按原路原速返回，且比乙车晚2小时到达A地．甲车从A地出发到返回A地过程中，甲车出发________小时，两车相距40千米；甲车在B地休息________小时．
9．（2022·山东潍坊·七年级期末）甲车和乙车分别从A，B两地同时出发相向而行，分别去往B地和A地，两车匀速行驶2小时相遇，相遇时甲车比乙车少走了20千米．相遇后，乙车按原速继续行驶1.8小时到达A地．
(1)乙车的行驶速度是多少千米/时？
(2)相遇后，甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和乙车同时到达目的地，试求相遇后，甲车以100千米/时的速度行驶的路程和以120千米/时的速度行驶的路程各是多少千米？
10．（2022·浙江台州·七年级期末）无人机属于高新技术产品，它在应急救文、农业种植、环境监测等方面有着广泛的应用．为比较两架无人机的性能，让I号无人机从海拔10米处出发，以10米/分的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30米处同时出发，匀速上升，经过12分钟，I号无人机比Ⅱ号无人机高28米．

(1)求Ⅱ号无人机的上升速度；
(2)当这两架无人机位于同一海拔高度时，求此时的海拔高度．
11．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）“五一”劳动节，林老师驾轿车从平泉出发，上高速公路途经长深高速和大广高速到北京下高速（中间会经过若干大桥和隧道），其间用了3.6小时：返回时平均速度提高了10千米/小时，比去时少用了0.4小时回到平泉．
(1)求平泉与北京两地间的高速公路路程；
(2)经过大桥、隧道的长度及过路费见下表：
名称
大桥
隧道
合计长度
25千米
33千米
合计收费
30元
25元
我省交通部门规定：轿车的高速公路通行费y（元）的计算方法为：，其中a（元/千米）为高速公路里程费，x（千米）为高速公路里程（不包括大桥和隧道长），b（元）为经过大桥、隧道的过路费．若林老师从平泉到北京所花的高速公路通行费为152元，求轿车的高速公路里程费a．
12．（2022·广东江门·七年级期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴快车等网约车，收费标准见下图．
出租车
起步价：14元
里程费：超过3公里的部分
2.4元/公里
（不足1公里按1公里计）

滴滴快车
起步价：12元
里程费：2.5元/公里
时长费：0.4元/分钟
（滴滴快车行驶的平均速度为40公里/时）
(1)若乘坐这两种网约车的里程数都是9公里，则发现乘坐出租车最节省钱，求乘坐出租车费用为多少元？
(2)若从甲地到乙地，乘坐滴滴快车比出租车多用15元，求甲、乙两地间的里程数．
13．（2022·浙江台州·七年级期末）小王和小李每天从地到地上班，小王坐公交车以的速度匀速行驶，小李开汽车以的速度匀速行驶．
(1)若他们同时从地出发，15分钟后，两人相距______；
(2)假设途中设有9个站点，，…，公交车在每个站点都停靠0.5分钟．
①若两车同时从地出发，则汽车比公交车早10.5分钟到达．求，两地的距离．
②若每相邻两个站点间（包含起点站和终点站）的距离相等，小王4：30坐公交车从地前往地，8分钟后小李开汽车也从地前往地，求小李追上小王的时刻．
14．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）如图1，A，C两地之间有一条笔直的道路，B地位于A，C两地之间．甲从B地出发驾车驶往C地，乙从A地出发驾车驶向C地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达C地．图2中线段MN和折线段PON分别表示甲、乙两人与A地的距离y（km）与甲行驶的时间x（h）的变化关系，其中MN与PQ交于点E．

(1)在图2中表示的自变量是______，因变量是______
(2)乙比甲晚出发______h，B，C两地相距______km；
(3)请直接写出甲的速度为______；
(4)m＝______，n＝______；
(5)在图2中点E表示的含义是______；
(6)请直接写出当x＝______h时，甲，乙相距30km．
15．（2022·福建泉州·七年级阶段练习）如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿着A－D－C－B－A方向循环跑步，同时乙沿着B－C－D－A－B方向循环跑步，AB＝30米，BC＝50米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒．

(1)设经过的时间为t秒，则用含t的代数式表示甲的路程为 米；
(2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为多少秒？
(3)若甲改为沿着A－B－C－D－A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙追上甲？
(4)小明在探索中发现一个非常有趣的结论：在（3）的条件下，甲乙继续跑步，以后遇的地点每次相遇的地点都和第一次遇的地点一样，请同学们试以第n次相遇为例帮小明同学进行简单的论证，并写出每次相遇时点P的位置．
考点2：配套问题
典例：（2022·湖北·武汉市黄陂区教育局七年级期末）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，设用钢材做A部件，剩余钢材做B部件恰好配成这种仪器若干套．
(1)共能做____________个A部件，____________个B部件（用含x的式子表示）；
(2)求x的值．
(3)用钢材能配成这种仪器____________套（直接写出结果）．
方法或规律点拨
【点睛】本题主要考查了配套问题，理解题意找到等量关系是解决问题的关键.
巩固练习
1．（2022·全国·七年级课时练习）某校手工社团30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x名学生做机身，则可列方程为（          ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山西吕梁·一模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完.如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？设大和尚有人，则小和尚有（100－）人，根据题意列得方程（       ）
A．3x+=100 B．3x+（100－x）=100
C．+3（100－x）=100 D．x+（100－x）=100
3．（2022·山东威海·期末）一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面40个或做桌腿240条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？设用x立方米木料做桌面，由题意列方程，得__________．
4．（2022·山东菏泽·八年级期中）某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为______套．
5．（2022·江苏·七年级单元测试）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？
6．（2022·新疆塔城·七年级期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现在有30立方米木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
7．（2022·河北承德·七年级期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件刚好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少乙天生产乙种零件恰好配套？
小明在解决这个问题时设应安排天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题．

工效（个/天）
天数（天）
数量（个）
甲种零件
450
x
②
乙种零件
300
①
③
8．（2022·河北唐山·七年级期末）某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．
(1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？
(2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果）
9．（2022·河北承德·七年级期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件刚好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少乙天生产乙种零件恰好配套？
小明在解决这个问题时设应安排天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题．

工效（个/天）
天数（天）
数量（个）
甲种零件
450
x
②
乙种零件
300
①
③
10．（2022·福建省泉州第一中学七年级期末）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．


(1)若用5张白铁皮制作盒底，需要用_________张白铁皮制作盒身，才能正好做成罐头盒，此时可以做成_________个罐头盒．
(2)现在有36张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
11．（2022·山东青岛·七年级期末）七年级1班共有学生45人，其中男生人数比女生人数少3人．某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个．
(1)七年级1班有男生、女生各多少人？
(2)原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？
12．（2022·河北沧州·七年级期末）某工厂有28名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件18个或零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个零件配两个零件.工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利10元，每个零件可获利5元.
(1)若每天生产的零件和零件恰好配套，求该工厂每天有多少工人生产零件？
(2)因市场需求，该工厂每天在生产配套的零件外，还要多生产出一部分零件供商场零售.在（1）的人员分配情况下，现从生产零件的工人中调出多少名工人生产零件，才能使每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元？
13．（2022·福建厦门·七年级期末）列方程解应用题：
某工厂甲、乙两个车间共有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．
(1)如果甲车间的人数比乙车间的人数多4人，那么两个车间各有多少人？
(2)如果1个螺钉需配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好匹配，工厂应安排其中多少人生产螺母？
14．（2021·山东烟台·期末）列方程解应用题
某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．
(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？
(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？
15．（2022·河南南阳·七年级期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图所示的两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面，现有19张硬纸板，其中的x张用A方法裁剪，其余的用B方法裁剪．
(1)填空：用含x的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是_____________，裁剪出的底面的个数是_____________．（要求：代数式不是最简要化为最简形式）
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好用完，求多少张硬纸板用A方法裁剪，多少张硬纸板用B方法裁剪？能做多少个三棱柱盒子？

16．（2022·江西宜春·七年级期末）小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用A，B，两种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸．

(1)按B种方法剪裁的有______张白板纸；（用含x的代数式表示）
(2)将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？
考点3：工程问题
典例：（2022·吉林·东北师大附中七年级期中）[教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部分内容．
问题3   课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题：
（1）两人合作需要__________天完成．
（2）李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？
[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．
方法或规律点拨
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·海南省直辖县级单位·七年级期末）一项工作，甲单独完成需要20分钟，乙单独完成需要16分钟．若先由甲单独工作4分钟，余下的工作再由两人合作用了分钟，则根据题意可列方程（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南新乡·七年级阶段练习）已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现先由甲单独做2天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时(     )
A．1天 B．2天 C．3天 D．4天
3．（2022·吉林省第二实验学校期中）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天.若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南南阳·七年级期中）某厂接到一所中学的冬季校服定做任务，计划用、两台大型设备进行加工，如果单独用型设备，需要45天做完；如果单独用型设备，需要30天做完；为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．
(1)填空：型设备的工作效率是_________，型设备的工作效率是_________；
(2)若两台设备同时加工10天后，型设备出了故障，暂时不能工作，如果由型设备单独完成剩下的任务，则还需要多少天？
5．（2022·全国·七年级课时练习）某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多．
(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？
(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
(3)已知甲工程队每天施工费用为元，乙工程队每天施工费用为元，若该工程总费用政府拨款元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？
6．（2022·全国·七年级期中）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每人每小时生产疫苗500剂，但受某些因素影响，某车间有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，该车间其余工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天能完成预定任务．
(1)求该车间当前参加生产的工人有多少人；
(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该车间共780万剂的生产任务，问该车间还需要多少天才能完成任务．
7．（2022·河南信阳·七年级期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．
(1)若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成?共需耗资多少万元?
(2)若需要最迟4周完成工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．（时间按整周计算）
8．（2022·浙江台州·一模）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年2000亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜．
(1)求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；
(2)该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．
9．（2021·四川德阳·七年级期末）某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程，由甲、乙两个施工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米，经过5天施工后，两个小队共完成施工路段135米．
(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？
(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1米，乙队平均每天能比原来多施工2米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道路改造任务？
10．（2022·湖北武汉·七年级期末）一项工程，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需30天完成．
(1)甲乙两队合作几天可以完成任务？
(2)最初甲乙两队合作，但中途甲因事离开几天，若开工后15天完成了这项工程的，则甲中途离开了几天？
11．（2021·湖北恩施·七年级阶段练习）湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程，该工程预算国拨总投资为24亿元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的，设施投资比土建投资少40%、由于物价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍，设施投资的增长率达到路面投资增长率的2倍，
(1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？
(2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100万辆，每辆车的平均收益为40元．这样，可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿元？
考点4：营销问题
典例：（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）丹尼斯经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
(2)丹尼斯同时购进甲、乙两种商品共50件，总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
(3)在“春节”期间，该商场对所有商品进行如下的优患促销话动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元但不超过600元
按售价打九折
超过600元
其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠

按上述优惠条件，若小丽一次性购买乙种商品实际付款504元，求小丽购买商品的原价是多少？
方法或规律点拨
本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，正确列出一元一次方程．
巩固练习
1．（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）把一批上衣按进价提高50%后作为售价，因打6折促销，售价相应调整为90元，打折后每件上衣（       ）
A．赚20元 B．赚10元 C．亏20元 D．亏10元
2．（2022·甘肃·甘州中学七年级期末）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这次买卖中，他(     )
A．不赚不赔 B．赔了12元 C．赔了18元 D．赚了18元
3．（2022·黑龙江·大庆市第四十四中学校期末）某种服装因换季准备打折出售，如果按原价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该服装的成本为（       ）
A．300 元 B．280 元 C．125元 D．250元
4．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）一件夹克衫先按成本价提高70%标价，再将标价打7折出售，结果获利38元．设这件夹克衫的成本价是x元，那么依题意所列方程正确的是(     )
A．70%（1+70%）x＝x+38 B．70%（1+70%）x＝x﹣38
C．70%（1+70%x）＝x﹣38 D．70%（1+70%x）＝x+38
5．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）某商店有两个进价不同的电水壶都卖了元，其中一个盈利，而另一个亏损了，则在这次买卖中，这家商店（       ）
A．不赔不赚 B．赚了元钱 C．赔了元 D．赚了元
6．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）国庆期间，“新世纪百货”搞换季打折．简爽同学以折的优惠价购买了一件运动服节省元，那么他购买这件衣服实际用了______ 元．
7．（2022·河北·涿州市双语学校七年级期末）家乐福超市购进了一批书包，按成本价提高50%后标价，为了增加销量，又以9折优惠进行销售，每个售价为108元．
(1)这批书包每个的成本价是多少元？请你列方程此应用题；
(2)若这批书包一共购进100个，全部以108元的售价卖出，该超市共盈利多少元？
8．（2022·甘肃·甘州中学七年级期末）元旦节期间，百货商场为了促销，每件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件仍盈利20元，这批夹克每件的成本价是多少元？
9．（2022·山东济南·七年级期末）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种水果共140千克，这两种水果的进价、售价如下表所示：

进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种水果
5
8
乙种水果
9
13

(1)这两种水果各购进多少千克？
(2)若该水果店把这两种水果全部按九折售完，则可获利多少元？
10．（2022·山东青岛·八年级期末）某社区蔬菜超市从生产基地购进一种蔬菜进行销售，在运输、销售过程中因水分流失，腐烂变质等因素质量损失8%，假设不计超市其他费用．
(1)如果超市在进价的基础上提高8%，那么请你通过计算说明超市是否亏本？
(2)如果超市至少要获得25%的利润，那么这种蔬菜的售价最低应提高百分之几？（结果精确到0.1%）
11．（2021·江苏·东海县驼峰中学七年级阶段练习）某水果店以5元/千克的价格购进一批橙子，很快售罄，该店又再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了2元，两次一共购进600千克，且第二次进货的花费是第一次进货花费的1.2倍．
(1)该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？
(2)售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价进行定价，第二批橙子因为进价便宜，因此以第一批橙子的定价再打八折进行销售．销售时，在第一批橙子中有的橙子变质不能出售，在第二批橙子中有的橙子变质不能出售，该水果店售完两批橙子能获利2102元，求的值．
12．（2022·山东·日照市北京路中学七年级期末）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为 元，利润率为 ％．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品多少件？
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
售价打九折
超过600元
其中600元部分打8.2折优惠超过600元部分3折优惠
13．（2022·陕西·西安市第三中学七年级阶段练习）已知：A＝3mx－x，B＝－mx－3x＋m．
(1)化简：3A－2B；
(2)若3A－2B的值与字母m的取值无关，求x的值．
(3)请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知甲型号口罩每箱进价为700元，乙型号口罩每箱进价为500元．该医药公司根据疫情情况，决定购进两种型号的口罩共30箱，有多种购进方案．现销售一箱甲型号口罩，利润率为40%，乙型号口罩的售价为每箱800元，而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型号口罩，返还顾客现金a元，甲型号口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求a的值．
14．（2022·全国·七年级课时练习）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：（利润=售价-进价）
型号
进价（元/只）
预售价（元/只）
甲型号
20
25
乙型号
35
40
(1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？
(2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的甲型号节能灯全部售出，购进的乙型号节能灯部分售出后，决定将乙型号节能灯打九折销售，全部售完后，两种节能灯共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？
考点5：比赛积分问题
典例：（2022·安徽合肥·七年级期末）聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：
校篮球赛成绩公告
比赛场次
胜场
负场
积分
22
12
10
34
22
14
8
36
22
0
22
22
聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决：
(1)从表中可以看出，负一场积 　 　分，胜一场积 　 　分；
(2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由．
方法或规律点拨
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的重点语句找到等量关系并列出方程求解．
巩固练习
1．（2022·陕西咸阳·七年级开学考试）甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，设甲队胜了x场，则列方程为（       ）
A．x-3（10-x）=22 B．3x-（10-x）=22
C．x+3（10-x）=22 D．3x+（10-x）=22
2．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心七年级期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．答对一题得x分，答错一题扣2分．在此次竞赛中，有一位参赛者答对14道题，答错6道题，这位参赛者的最终得分为72分．则x＝________．
3．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）某足球协会举办一次足球赛，其记分规则及奖励方案（每人）如下表：

胜一场
平一场
负一场
积分（分）
3
1
0
奖金（元）
1500
700
0
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名球员）共积分22分，并且没有输一场．
（1）A队胜______场；
（2）若每赛一场每名队员均得出场费500元，则A队的某一名队员在这12场比赛中所得的奖金与他的出场费的和为______元．
4．（2022·云南昆明·七年级期末）为了传承中华文化，激发爱国情怀，提高文学素养，师达中学初一（1）班举办了“古诗词”大赛，现有小关、小雯、小婷三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮， 规定：每轮分别决出第 1，2，3 名（没有并列），对应名次的得分都分别为a ，b ，c(a > b > c且 a ， b ， c 均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，则小婷同学在这六轮中，共有____轮获得了第三．

第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后
得分
小关
a


a


27
小雯

a


b
c
11
小婷

c

b


10
5．（2021·福建·政和县第三中学七年级期中）小明和爸爸下象棋，爸爸赢一盘得1分，小明赢一盘得3分，下了8盘后，两人得分相等，如果没有和棋，那么他们各赢了多少盘？对于这个问题，请你设未知数，列出方程，并解方程．
6．（2022·江西宜春·七年级阶段练习）利用二元一次方程组解应用题：为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
7．（2022·山东滨州·七年级期末）某年全国男子篮球联赛某赛区有圣奥（山西）、香港、悦达（南京军区）、济源（河南）、三沟（辽宁）、广西、丰绅（黑龙江）等球队参加，积分情况如下：
球队名称
比赛场次
胜场
负场
积分
悦达
12
11
1
23
香港
12
9
3


济源
12
8
4


圣奥
12
6
6
18
丰绅
12
5
7
17
广西
12
3
9
15
三沟
12
0
12
12
(1)观察上面表格，请直接写出篮球联赛胜一场积多少分，负一场积多少分；
(2)若设负场数为m，请用含m的式子表示某一个队的总积分；
(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的4倍吗？说明理由．
8．（2022·辽宁大连·七年级期末）下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）
球队
场次
胜场
负场
总积分
A
12
11
1
23
B
12
10
2
22
C
12
9
3
21
D
11
8
3
19
E
11


15
(1)观察积分榜，填空∶球队胜一场积___，负一场积 _____分；
(2)根据比赛规则，请求出E队进行了的11场比赛中，胜、负各多少场？
(3)此次篮球比赛，E球队共参加 14场比赛．试猜想E球队在接下来的比赛中，会不会出现胜场总积分等于负场总积分的2倍，如果会，说出是第几场？共胜多少场？并通过计算验证你的猜想；如果不会，说明理由．
9．（2022·辽宁大连·七年级期末）某中学三年级各班级举行一次篮球比赛，前四名队伍积分榜信息如下表所示：
名次
班级
场次
胜场
负场
总积分
1
二班
8
8
0
16
2
七班
8
7
1
m
3
五班
8
5
3
n
4
一班
8
4
4
12
(1)表中信息可以看出，胜一场得________分，负一场得_________分；
(2)请直接写出_____，________；
(3)若某班级的总积分之和为10分，求该班级胜场次数．
考点6：几何问题
典例：（2022·吉林省第二实验学校期中）如图，在长方形ABCD中，，，点P从点A出发，沿折线A→B→C→D运动，到点D停止；点P以每秒的速度运动4秒，之后以每秒2cm的速度运动，设点P运动的时间是x（秒），点P运动的路程为，的面积是．

(1)点P共运动___秒；
(2)当时，求y的值；
(3)当的面积S是长方形ABCD面积的时，直接写出x的值．
方法或规律点拨
此题考查了动点问题，正确理解动点问题中路程，时间，速度之间的关系是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·河北承德·七年级期末）如图，在大长方形（是宽）中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．若设，分析思路描述正确的是（       ）

甲：我列的方程，找小长方形的长作为相等关系；
乙：我列的方程，找的是大长方形的长做相等关系．
A．甲对乙不完全对 B．甲不完全对乙对
C．甲乙都正确 D．甲乙都不对
2．（2022·江苏·七年级单元测试）一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，就变成一个正方形，则这个长方形的面积是（     ）
A．48 B．45 C．40 D．33
3．（2022·四川眉山·七年级期中）如图，将长方形分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为，则（       ）

A． B． C． D．
4．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在中，cm，射线，动点E从点A出发沿射线的AG方向以每秒2cm的速度运动，点E出发1秒后，动点F从点B出发在线段BC上以每秒4cm的速度向点C运动．当点F运动到点C时，点E随之停止运动．连接AF，CE．设点E的运动时间为t（秒），当的面积等于的面积时，t的值为______（秒）

5．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）如图，一个长方形征好分成A、B、C、D、E、F这6个正方形，其中最小的正方形A边长为1，则这个长方形的面积是_____________．

6．（2022·重庆丰都·七年级期末）在边长为的正方形中，放置两张大小相同的正方形纸板，边在上，点，分别在，上，若区域的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，则正方形纸板的边长为______．

7．（2022·四川巴中·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，，，点E是AD上一点，，点P从点B出友，以1cm/s的速度从点B—C—D—E匀速运动，设点P运动的时间为ts，当的面积为6cm2时，则t＝________．

8．（2021·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，已知周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以3cm/s的速度按同样的方向运动，设运动时间为t（s），在P、Q第一次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距12cm时，则t＝_________．

9．（2022·河南南阳·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为__________．

9．（2022·上海杨浦·期中）如图所示，在一块展示牌上，整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小相同，卡片之间露出了三块正方形空白（图中阴影部分）．已知每张卡片的短边长度是12厘米，求图中阴影部分的面积．

10．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）某社区进行环境改造，计划用地面砖铺设楼前长方形广场的地面，长为100米，长为80米，图案设计如图所示：广场的四角为四个完全相同的长方形（邻边长分别为米和米），阴影部分为四个长方形，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．

(1)若，请直接写出四个相同的小正方形面积总和______（用只含的代数式表示）；
(2)若，经过市场调查了解白色地面砖每平方米的费用为20元，绿色地面砖每平方米的费用为10元．
①请用含的代数式表示图中所有空白处的面积之和；
②并求出当时，所铺白色地面砖需要资金多少元；
(3)在（2）的条件下，为了增加广场的绿化，现将广场四角的白色正方形地面砖的85%中的一部分改为种植绿色景观，另一部分改为铺设绿色地面砖，种植绿色景观每平方米的费用为30元．若广场四角种植绿色景观和铺设绿色地面砖共花费9400元，则应该将多少平方米的白色地面砖改为种植绿色景观．
11．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请你说明理由．（容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm）

12．如图，中，，cm，cm，cm，若动点P从点C开始沿的路径运动，回到点C结束，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．试求：

(1)当t为何值时，CP把的周长分成相等的两部分？
(2)当t为何值时，CP把的面积分成相等的两部分？
(3)当t为何值时，的面积为18cm2？
13．（2022·浙江湖州·七年级期末）如图1所示，爱心农场的一个长、宽、高分别为12分米、8分米、20分米的长方体鱼池内装有高度为9分米的水．某项目化学习小组需要将一长方体基座（足够高）放置在鱼池内．若基座竖直放置在鱼池底部，如图2所示，则池内水面上升3分米．

(1)求基座的底面积；
(2)在安装过程中，先将基座吊起，使得基座的底部与水面齐平，如图3所示，然后将基座以每分钟2分米的速度下降，设下降的时间为t分钟．求当时，水面上升的高度；
(3)在（2）的条件下，求下降过程中，基座的底面把池中水深分成1：2的两部分时t的值
14．（2022·吉林· 七年级期末）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动．到点停止．若设点运动的时间是秒（）．

(1)点到达点时，______秒；点到达点时．______秒．
(2)当线段长度为时，求的值；
(3)当点在线段上运动时，求线段的长度（用含的代数式表示）（）；
(4)当的面积等于时，直接写出的值．
考点7：和差倍分问题
典例：（2022·河南南阳·七年级阶段练习）为创设一个洁净、美丽的校园环境，培养学生的环保意识和爱护校园的主人翁意识，2021年11月29日，郑州某校组织开展了“弯弯腰捡垃圾，美丽校园我创造”的主题活动．在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个．问：有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？
方法或规律点拨
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的重点语句找到等量关系并列出方程求解．
巩固练习
1．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的，则七年级2班植树的棵数是（       ）
A．36 B．60 C．100 D．180
2．（2022·山东威海·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，向五人各得几何？”题目大意是：诸侯五人，共同分60个橘子，若后面的每个人总比他前一个人多分3个，问每个人各分得多少个橘子？若设中间的那个人分得x个橘子，依题意可列方程为（   ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·河南开封·七年级期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：令有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱，每人出7钱，会差3钱，问合伙人数：羊价各是多少？设合伙人数为x，所列方程正确的是（       ）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D．
4．（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）某校组织学生种花，三个年级共种植909盆，初二年级种植的数量比初一年级的2倍少3盆，初三年级种植的数量比初二年级多25盆．初一，初二，初三年级各种植多少盆花？
5．（2022·黑龙江·大庆市第四十四中学校期末）列综合算式或方程进行计算
(1)一个数的是15，它的是多少？
(2)一个数的75%比它的多25，这个数是多少？
6．（2022·吉林长春·七年级期末）新冠疫情肆虐春城期间，全市有大批志愿者不畏艰险加入到抗疫队伍中来．“大白”们的出现，给封控小区居民带来了信心，为他们的生活提供了保障．已知某社区在甲小区原有志愿者23名，在乙小区原有志愿者17名．现有来自延边州支援该社区的志愿者20名，分别去往甲小区和乙小区支援，结果在甲小区的志愿者人数比乙小区志愿者人数的三分之二还多5名，求延边州志愿者去往甲小区的人数．
7．（2022·福建泉州·七年级阶段练习） 为了进一步落实“双减”政策，学校积极开展社团活动，原国际象棋社团有学生64人，羽毛球社团有学生56人．在家乡著名羽毛球运动员黄东萍获得奥运冠军后学校掀起一股羽毛球热潮，有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团，现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半．问有多少名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？
8．（2022·江西吉安·七年级期末）直播带货已经成为年轻人购物的新时尚．某网红为回馈粉丝，在直播间为某品牌带货促销：凡购买该品牌产品均享受13%的补贴（凭付款截屏到线上客服处返现）．某粉丝购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元．
(1)该粉丝可以到线上客服处返多少元现金？
(2)该粉丝所买的空调与电视的单价各是多少元？
考点8：日历问题
典例：（2022·安徽阜阳·七年级期末）下表所示是2022年元月的月历表．下列结论：

①每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；
②可以框出一竖列上相邻的三个数，这三个数的和是24；
③可以框出一个的矩形块的四个数，这四个数的和是82；
④任意框出一个的矩形块的九个数，这九个数的和是中间数的9倍，其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）．
方法或规律点拨
本题考查一次方程的应用，重点是通过观察规律设出恰当的未知数（比如a），并用这个未知数（比如a）的式子来表示其他的未知数（比如a+7），从而能够建立一元一次方程．
1．（2022·江苏·七年级单元测试）如图，在2022年2月的日历表中用优美的“ ”形框住五个数，框出1，3，8，10，16五个数，它们的和为38，移动“ ”的位置又框出五个数，已知这五个数的和是53，则它们中最小两个数的和是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．19
2．（2022·江苏·七年级单元测试）在日历中一个竖框圈出三个日期，它们的和是48，那么最大的一天是________号．
3．（2020·江苏·苏州市吴江区实验初级中学七年级开学考试）如图中，用一个长方形任意圈出四个数字，如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字可以表示为( )，如圈出的四个数的和是200，那么圈的是四个数中最小的数是( )．

4．（2022·全国·七年级课时练习）2022年是共青团建团100周年．1922年5月5日，中国社会主义青年团第一次全国代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领全国各族青年，积极投身到振兴中华，实现中华民族伟大复兴的事业中．在5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所示），若圈出的这四个数的和是64，求这个最小数（请用方程知识解答）．

5．（2022·山西长治·七年级期末）2022年是共青团建团100周年．1922年5月5日，中国社会主义青年团第2次全国代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领全国各族青年，积极投身到振兴中华，实现中华民族伟大复兴的事业中．在5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所示），若圈出的这四个数的和是64，求这个最小数（请用方程知识解答）．

6．（2022·河北保定·七年级期末）将连续的偶数0，2，4，6，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移）

(1)若框住的5个数中，正中间的一个数为16，则这5个数的和为________；
(2)十字框内五个数的最小和是________；
(3)设正中间的数为a，用式子表示十字框内五个数的和；
(4)十字框能否框住这样的5个数，它们的和等于2030？若能，求出正中间的数a；若不能，请说明理由．
7．（2022·湖北荆州·七年级期末）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、第3行……，从左到右分别称为第1列、第2列、第3列……．用如图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为a，b，c，d．设a＝x．
                                               
(1)在图1中，数2022排在第几行第几列？
(2)若，求出d所表示的数；
(3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时的值能否为2700？如果能，请求出a所表示的数，并求出a在图1中排在第几行第几列；如果不能，请说明理由．
8．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，将1，2，3，…，40这40个数按照下表进行排列，现用一个Z字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为．

(1)请用含的代数式表示框中4个数的和．
(2)框中4个数的和可能是132吗？若能，请求出最小的数．
9．（2022·山西太原·七年级期中）数学活动-探究日历中的数字规律
如图1是2022年2月份的日历，小宇在其中画出两个2×2的方框，每个框均框住位置为的四个数，计算“bc-ad”的值，探索其运算结果的规律．

(1)计算：2×8-1×9＝ ，19×25-18×26=
(2)小宇通过特例分析，猜想所有日历中，2×2方框里“bc-ad”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整；
解：bc-ad的值均为       ．理由如下：
设a＝x，则b＝x＋7，c＝x＋1，d＝
因为bc-ad＝
所以bc-ad的值均为
(3)同学们利用小宇的方法，借助2022年4月份的日历，继续进行如下探究．
请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择
A，在日历中用“十字框”框住位置为的五个数，探究bc-ad的值的规律，请写出你的结论，并说明理由．
B．在日历中用日数柜框住位置为的七个数，探究bc-ad的值的规律，请写出你的结论，并说明理由．
10．（2022·河南南阳·七年级期末）如图是某月的月历．

(1)带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？
(2)如果将带阴影的方框移至图1的位置，（1）中的关系还成立吗？

(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？请说明其中的理由．
(4)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
(5)如图2，如果带阴影的方框里的数是4个，请直接写出你发现的结论．

考点9：数轴上的动点问题
典例：（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）如图，在数轴上，O为原点，点A表示的数为－10，点B表示的数为4．

(1)A，B两点间的距离是______．
(2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，此时原点O与表示数______的点重合．
(3)若点A，B分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向左运动，则几秒时点B追上点A？
(4)若点A，B以（3）中的速度相向而行，则几秒时A，B两点相距2个单位长度？
方法或规律点拨
本题主要考查了一元一次方程的应用和数轴上两点之间的距离，根据数量关系列出方程是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东枣庄·七年级期末）如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为﹣6．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动（       ）秒追上点Q．

A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B也从原点出发向数轴正方向运动．3秒后，两点相距12个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：3（速度单位：1个单位长度/秒）．

(1)求两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；
(2)若A、B两点分别从（1）中标出的位置同时向数轴负方向运动，
①问经过几秒钟，原点恰好处于两个动点的正中间；
②再经过多长时间，OB＝2OA？
3．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发向数轴正方向运动，秒后，两点相距个单位长度．已知动点、的速度比为：速度单位：每秒个单位长度．

(1)动点的运动速度为每秒______ 个单位长度，动点的运动速度为______个单位长度．
(2)在数轴上标出、两点从原点出发运动秒时的位置；
(3)若表示数的点记为，、两点分别从中标出的位置同时向数轴负方向运动，再经过多长时间，、两点相距个单位？
4．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知多项式的次数为a，常数项为b，a，b分别对应着数轴上的A、B两点．

(1)______，______；并在数轴上画出A、B两点；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度单位的速度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
(3)数轴上还有一点C的坐标为30，若点P和Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，点Q到达终点C停止．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4．
5．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心七年级期末）如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10.动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．

(1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是______；
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
6．（2022·山东烟台·期中）已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是5，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的6倍．

(1)a＝ ，b＝ ；
(2)动点M、N分别从点A、B的位置同时出发，在数轴上做无折返的运动．已知动点M的运动速度是2个单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒．
①若点M和点N相向而行，经过几秒，点M与点N相遇？
②若点M和点N都向左运动，经过几秒，点N追上点M？
③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒，点M、N相距15个单位长度？
7．（2022·广西玉林·七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为16，B是数轴上位于点A左侧的一点，且AB＝54，动点P从A点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
(1)写出数轴上点B表示的数 　 　；点P表示的数 　 　（用含t的代数式表示）；
(2)动点P从A点出发多少秒时，AP的长度为24？
(3)动点Q从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问出发多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于2？

8．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数为，点B对应的数80，

(1)请直接写出AB的中点M对应的数______；
(2)现在有一只电子蚂蚁P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点B出发，以3个单位长度/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，请求出点C对应的数；
(3)若当电子蚂蚁P从点A出发时，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点B出发，以3个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度？
9．（2021·重庆市黔江区教育科学研究所七年级期末）如图1，线段．

(图1)
(1)点沿线段自点向点以厘米/秒运动，同时点沿线段自点向点以厘米/秒运动，几秒钟后、两点相遇？
(2)如图2，，，现点绕着点以的速度顺时针旋转一周后停止，同时点沿直线自点向点运动，假若点、两点也能相遇，求点运动的速度．

(图2)
10．（2022·山西大同·七年级期末）如图，A在数轴上所对应的数为

(1)点B在点A右边，距离A点4个单位长度，则点B所对应的数是____________；
(2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，点B停止运动，此时A，B两点间距离是____________；
(3)在（2）的条件下，现在A点静止不动，B点再以每秒2个单位长度沿数轴向左运动时，求经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．
11．（2022·河南南阳·七年级期末）如图，已知、、是数轴上三点，点表示的数为4，，．

(1)点表示的数是______，点表示的数是______．
(2)动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为（）秒．
①用含的代数式表示：点表示的数为______，点表示是数为______；
②当时，点、之间的距离为______；
③当点在上运动时，用含的代数式表示点、之间的距离；
④当点、到点的距离相等时，直接写出的值．
12．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为－24，12

(1)A、B两点间的距离为___．
(2)如图①，如果点P沿线段AB自点A向点B以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向点A以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．
①运动t秒时，点P对应的数为___，点Q对应的数为___；（用含t的代数式表示）
②当P、Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是___；
③求P、Q相距6个单位长度时的t值；
(3)如图②，若点D在数轴上，点M在数轴上方，且AD＝MD＝DC＝5，，现点M绕着点D以每秒转的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点N沿射线BA自点B向点A运动．当M、N两点相遇时，直接写出点N的运动速度．
巩固练习
能力提升

一、单选题（每题3分）
1．（2022·河南·郑州市第五十七中学七年级期末）新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产400个口罩面或500个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下列所列方程正确的是（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南·郑州市第五十七中学七年级期末）把9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中a的值为（       ）                         

A．2 B．4 C．6 D．1
3．（2022·云南·云大附中三模）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
4．（2022·湖北随州·七年级期末）如图，是学习列方程解应用题时，老师板书的问题和两名同学列的正确方程．
例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度．
兵兵：          倩倩：
根据以上信息，有下列四种说法：①兵兵所列方程中的x表示船在静水中的平均速度；②倩倩所列方程中的x表示船在静水中的平均速度：③兵兵所列方程中的x表示甲乙两码头的路程；④倩倩所列方程中：x表示甲乙两码头的路程；其中，正确的是（     ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．（2022·浙江绍兴·七年级期中）小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（       ）
A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元
C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元
6．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室二模）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：
行驶里程
计费方法
不超过3公里
起步价8元
超过3公里且不超过7公里的部分
每公里按标准租费收费
超过7公里且不超过25公里的部分
每公里再加收标准租费的50%
超过25公里且不超过100公里的部分
每公里再加收标准租费的75%
超过100公里的部分
每公里再加收标准租费的100%
说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；
行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．
若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（       ）
A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里
二、填空题（每题3分）
7．（2022·江苏盐城·七年级期末）某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下表：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
18
14
4
32
B
18
11
7
29
C
18
9
9
27
根据表格提供的信息，可知胜一场积 _____分．
8．（2022·四川广元·七年级期末）已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
9．（2022·湖南湘西·七年级期末）我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中记载了一些诗歌形式的算题，其中有一个“百羊问题”．题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只．”请问甲原来赶的羊一共有多少只？如果设甲原来赶的羊一共有x只，那么可列方程为______________________．

10．（2022·湖北·鄂州市第一中学七年级期末）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为170米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米．按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作__________天．
11．（2022·河南南阳·七年级期中）如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别是和． 动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A、B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B、A之间往返运动，设运动时间为秒，当时，若原点O恰好是线段PQ的中点，则的值是_______．

12．（2022·北京密云·二模）某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示：

（1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了______张宣传单；
（2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择______图文社更省钱（填A或B）．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·浙江衢州·七年级期末）“双十一”活动期间，某羽绒服商家的优惠措施是：购买所有商品先按标价打六折，再享受折后每满200元减30元的优惠．付款可采用“花呗”分3期的方式，还款的费率为2.5%．如图是小亮购买的优惠价和小红“花呗”分3期每期的应付款．（备注：“花呗”是一种消费信用贷款，用户可以“先消费，后付款”）

(1)在此次活动中要购买标价为2350元的羽绒服．
①打折满减后的优惠价为多少元？
②若采用“花呗”分3期付款，则每期应付款为多少元？
(2)在此次活动中购买某羽绒服，若采用“花呗”分3期付款，每期应付款为348.5元，求购买此羽绒服的优惠价及羽绒服标价．
14．（2022·江苏泰州·七年级期末）

(1)如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环运动．
设点P运动时间为x秒．
①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇．
②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．
(2)如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当三角形AME的面积等于9时，请求出t的值．
15．（2022·福建省泉州市培元中学七年级期中）如图1，点C在线段AB上，点C将线段AB分成两条不相等的线段AC，BC，如果较长线段BC是较短线段AC的倍，即，则称点C是线段AB的一个圆周率点，此时，线段AC，BC称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段AB的圆周率点有两个，一个在线段AB中点的左侧（如图中的点C），另一个在线段AB中点的右侧．

(1)①如图1，若，则_________；若点D是线段AB的不同于点C的圆周率点，则AC_________BD（填“>”，“<”或“=”）；
②如果线段，点M是线段AB的圆周率点，则_________；
(2)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点C的位置．若点M、N是线段OC的两个不同的圆周率点，求线段MN的长；
(3)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点E的位置．若点D在射线OE上，且线段ED与以O、E、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你求出点D所表示的数．