初中数学人教版八年级上册11.3.1 多边形精品教学设计

11.3多边形及其内角和（第1课时）

一、内容和内容解析

1.内容

多边形及其有关概念，多边形内角和公式.

2.内容解析

多边形及其有关概念包括多边形的定义，多边形的边、内角、外角、对角线，凸多边形，正多边形等。多边形以三角形为基础，多边形的边、内角、外角、内角和等有关概念都可以与三角形类比，多边形的对角线能把多边形分成几个三角形，因此，多边形的问题通常可以转化为三角形的问题来解决.

多边形内角和公式反映了多边形的要素之一——“角" 之间的数量关系，是多边形的基本性质.多边形内角和公式是三角形内角和定理的应用、推广和深化，它源于三角形内角和定理又包含三角形内角和定理.多边形内角和公式为多边形外角和公式、四边形及正多边形的有关角的学习提供知识基础.

多边形内角和公式的探索是从具体的正方形、长方形的内角和研究出发，逐步深入地提出一般的问题（如: （1）任意一个四边形的内角和是否也等于360°？ （2）你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？（3）你能发现多边形的内角和与边数的关系吗?），进而获得一般结论， 并加以推理论证，这个过程体现了从特殊到一般的研究问题方法.多边形内角和公式的探索与证明都涉及将多边形分割成若干个三角形的化归过程，即将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和公式得出多边形内角和公式，这个过程体现了将复杂图形转化为简单的基本单元的化归思想.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：多边形内角和公式的探索与证明过程.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）了解多边形的有关概念，感悟类比方法的价值.

（2）探索并证明多边形内角和公式，体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法.

（3）运用多边形内角和公式解决简单问题.

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能类比三角形的有关概念，了解多边形及多边形的边、内角、外角、对角线、凸多边形、正多边形等的有关特征，并能从具体情境中识别它们，感悟类比方法在学习多边形有关概念中的重要价值.

达成目标（2）的标志是：学生能在教师的启发引导下，从对具体的特殊的四边形内角和的研究出发，利用三角形内角和公式，逐步探索四边形、五边形、六边形.....边形的内角和，并利用推理证明n边形内角和公式，体会从具体到抽象的研究问题的方法.在参与四边形、五边形、六边形.....边形分割成若千个三角形的过程中，感悟化归思想.

达成目标（3）的标志是：学生能将公式运用于简单的多边形内角和计算，能在多边形问题情境(如计算正多边形的每个内角的大小)中，自觉地联想用该公式解决问题.

三、教学问题诊断分析

由具体的特殊的多边形内角和到n边形内角和公式的获得，是一个多层次的探索过程，本质上是由具体到抽象以及逻辑推理的过程.如何获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，如何确定分割后三角形的个数，这个过程不但结论随着多边形边数的变化而变化，而且需要关注的因素也较多——边数、 从一个顶点出发的对角线数、分割的三角形数、内角和等，学生把握这一过程会有一定难度，教学的关键是：（1）引导学生弄清解决问题（推导）的层次；（2）引导学生注意相关的因素（边数、从一个顶点出发的对角线数、三角形数）； （3）引导学生观察相关因素之间的变化关系（即边数的变化引起从一个顶点出发的对角线数的变化、 对角线数的变化又引起三角形个数的变化），并使上述的（1）（2）（3）直观化.

本节课的教学难点是：获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，确定分割后的三角形的个数.

四、教学过程设计

1.了解多边形的有关概念

教师引入本节课内容：前面我们已经研究了三角形的有关概念和性质，那么由条数大于三的线段首尾相接组成的封闭图形的概念和性质是什么呢？它们和三角形中的有关概念和性质是否有相似之处呢？让我们一起来探究吧.

问题1

（1）你能从这几个图中抽象出什么几何图形？

（2）类比三角形的定义，你能给多边形下定义吗?

师生活动：学生边看、边议教师引导学生回忆三角形的定义，并仿照三角形的定义给多边形下定义.教师举例说明多边形定义中的“在平面内”的意义.

多边形的定义: 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.

多边形按组成它的线段的条数可以分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.

设计意图：让学生类比三角形的定义给多边形下定义，感悟类比方法的重要作用.

师生活动：教师介绍多边形的分类.

追问：在三角形中，我们专门研究了它的内角、外角，类似地，你能指出这个五边形的内角、外角吗?

师生活动：学生回答图中的五边形的5个内角，指出五边形的一个外角、顶点、边.教师进而指出，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

设计意图:让学生了解多边形的概念，并通过类比的方法，了解多边形的内角、外角.

追问：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图，从五边形的一个顶点出发可以得到几条对角线？

师生活动:教师介绍对角线的概念，学生通过画图回答问题.

设计意图:让学生了解对角线的概念，通过画出从一个顶点出发的六边形的对角线，为研究n边形的内角和作铺垫.

追问：你能说出图中两个四边形的异同点吗?

教师介绍:像左图这样的多边形称为凸多边形，本节只讨论凸多边形.

设计意图:让学生了解凸多边形的概念.

追问5：正方形的边、角有什么特点?你能给正多边形下定义吗?图中的各个图形分别读作什么?

思考：

（1）各个角都相等的多边形是正多边形吗？

（2）各条边都相等的多边形是正多边形吗？

师生活动：（1）学生回答，并给正多边形下定义；（2）教师与学生共同分析正多边形的两个条件，并通过反例（如一般的长方形各个内角都相等，但它不是正方形，一般的菱形各边都相等，它也不是正方形），说明“各个角都相等、各条边都相等”两个条件缺不可；（3）学生指出图中的图形分别是正三角形、正方形、正五边形、正六边形.

设计意图:让学生类比正方形学习正多边形，提高学生的学习能力.

2.探索四边形、五边形、六边形的内角和

问题2我们知道，三角形的内角和等于180，正方形、长方形的内角和都等于360o.那么，任意一个四边形的内角和是否等于360°呢?能证明你的结论吗?

师生活动：教师引导学生分析问题解决的思路——如何利用三角形的内角和求出四边形的内角和，进而发现：只需连接一条对角线， 即可将一个四边形分割为两个三角形.学生说出证明过程，教师板书.

设计意图: (1) 从学生熟悉的、已知的特例出发，建立起四边形和三角形之间的联系，为提出一般问题作铺垫; (2) 通过连接四边形的对角线，将四边形分割成两个三角形，得出四边形内角和等于两个三角形内角和之和，这个环节渗透了将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想.

追问1:这里连接对角线起到什么作用?

师生活动:学生回答将四边形分割成两个三角形，进而将四边形的内角和问题转化为两个三角形所有内角的和的问题.

设计意图:让学生进一步感受对角线在探索四边形内角和中的作用，体会化归思想.

追问2：类比前面的过程，你能探索出五边形的内角和吗?

师生活动：学生先独立思考，再分组讨论，然后代表汇报.学生类比四边形内角和的研究过程，得出从五边形的一个顶点出发可以作2条对角线，将五边形分割成3个三角形.进而得出五边形的内角和为(5- 2)X 180°-540°.教师进一步启 发学生从顶点或边两个角度解释(从顶点的角度:所取顶点与相邻的两个顶点无法连成对角线，所以少了两个三角形；从边的角度：所取顶点与它所在的两条边不能构成三角形，所以少了两个三角形)，进而可以得出五边形内角和为(5-2)X 180°= 540o.

3.探索并证明n边形的内角和公式

问题3你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究过程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系吗?能证明你发现的结论吗?

总结n边形的内角和是(n-1)X180-180，即(n-2)X180.

设计意图:让学生体会从具体到抽象的研究问题的方法，感悟化归思想的作用。让学生尝试用不同的方法分割多边形，把n边形问题转化为熟悉的三角形问题，再次体会化归思想的作用，进一步加深对n边形内角和公式推理过程的理解。

4.巩固多边形内角和公式

【做一做】

（1）求十五边形内角和的度数。

（2）已知一个多边形的内角和是1440O，求这个多边形的边数。

【思考】

如果能设计一个内角和是2014度的多边形图形，多有意义啊。这个想法能实现吗？

5.小结

在这节课中，你学到了什么，印象最深的是什么，感到困惑的是什么？

（1）多边形的内角和公式：（n-2）×1800 = n 边形的内角和；

（2）作用：① 已知边数可以求出内角和；② 已知内角和可以求出边数。

6.   试一试

用剪刀把一张长方形纸片的一个角一刀剪去，剩下的纸片是一个几边形？  它的内角和是多少？