【阶段测试】高中数学人教A版(2019)选修第一册--第三章 圆锥曲线的方程 练习（含解析）

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圆锥曲线 练习
1.过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
2.已知F是椭圆的左焦点，P为C上一点，点，则的最小值为( )
A. B. C.4 D.
3.已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(   )
A. B. C. D.
4.，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
5.已知，是椭圆的左、右焦点， A是椭圆的上顶点， 过点A且斜率为的直 线上有一点P， 满足是以为顶角的等腰三角形， ， 则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的离心率为，则双曲线C的一个焦点F到它的一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.2
7.若椭圆的离心率为，两焦点分别为，，M为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆C的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在C上，若，O为坐标原点，且的面积为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
9.已知抛物线过点，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若，则实数为( )
A. B. C.2 D.3
10.已知是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，，且，则与的面积之比为( )
A. B. C. D.
11.（多选）双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
12.（多选）已知，是双曲线的上、下焦点，M是该双曲线的一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆过点M，则下列说法正确的有( )
A.双曲线C的渐近线方程为
B.以为直径的圆的方程为
C.点M的横坐标为
D.的面积为
13.（多选）已知曲线( )
A.若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若，则C是圆，其半径为
C.若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D.若，，则C是两条直线
14.（多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，短轴的上、下两个端点分别为，的面积为1，离心率为，点P是C上除长轴和短轴端点外的任意一点，的平分线交C的长轴于点M，则( )
A.椭圆的焦距等于短半轴长 B.面积的最大值为2
C. D.的取值范围是
15.已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是________.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.
17.如图，已知抛物线的方程为，过点作直线，与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为，连接BP，BQ，设QB，BP的延长线与x轴分别相交于M，N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则的大小等于__________.

18.椭圆与直线相交于A、B两点，C是AB的中点，O为坐标原点，OC的斜率为，则椭圆C的离心率为__________.
19.已知双曲线的右焦点为，点F到C的渐近线的距离为1.
(1)求C的方程.
(2)若直线与C的右支相切，切点为与直线交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得?若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.
20.如图，已知椭圆.设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段AB上，直线PA，PB分别交直线于C，D两点.

（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求的最小值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：本题考查与已知椭圆方程共焦点的椭圆方程.设所求椭圆方程为（，且），将点代入，可得，解得（舍去），故所求椭圆的标准方程为，故选C.
2.答案：D
解析：由椭圆的方程可知，，.如图所示，设是椭圆的右焦点.由椭圆的定义可知，，所以，所以求的最小值，也就是求的最大值.由图易知，当P，A，三点共线时，取得最大值，此时，所以的最小值为.

3.答案：C
解析：点M在以为直径的圆上.又点M在椭圆的内部，，即，即.又椭圆离心率.
4.答案：A
解析：延长垂线，交的延长线于点A，如图所示，则是等腰三角形，
，.由题意知O是的中点，Q是的中点，连接OQ，则.
点的轨迹是以原点O为圆心，a为半径的圆.故选A.

5.答案：B
解析：由题意易知直线AP 的方程为①， 因为 为等腰三角形， ， 所以直线的方程为 ②， 联立①②可得. 如图， 过点P 向x 轴引垂线， 垂足为H， 则， 所以， 即，， 所以，， 故选 B.

6.答案：B
解析：不妨设双曲线的焦点，则它到渐近线的距离为.由，得，即，解得，所以，所以，故选B.
7.答案：D
解析：，，设，则，.
又的周长为，
，
，，.
椭圆C的方程为，故选D.
8.答案：A
解析：在中，，由余弦定理得，
得，故的面积，所以.
因为O是的中点，所以，两边同时平方得
，
因为，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，故选A.
9.答案：C
解析：本题考查直线与抛物线的位置关系.把点，代入抛物线方程，得，所以抛物线的方程为，则，所以，直线AB的方程为，与联立，解得故，所以，所以，故选C.
10.答案：D
解析：设，则，由椭圆的定义可得，则.由，得，即，解得.由得，则与的面积之比为，故选D.
11.答案：AB
解析：当双曲线C的焦点在x轴上时，渐近线为，可设，，则，离心率；当双曲线C的焦点在y轴上时，渐近线为，可设，，则，离心率，故选AB.
12.答案：AD
解析：A项，双曲线的实半轴长，虚半轴长，其渐近线方程为，故A项正确；
B项，半焦距，，，以为直径的圆的方程为，故B项错误；
C项，，即点M的横坐标，故C项错误；
D项，，故D项正确.
13.答案：ACD
解析：由曲线，得其标准形式为，
A中，若，则，表示焦点在y轴上；
B中，若，则，表示圆心在原点，半径为的圆；
C中，若，则m，n异号，C表示双曲线，渐近线方程为；
D中，若，，则，表示两条直线.
14.答案：CD
解析：由椭圆C的离心率为，得.因为的面积为1，所以.又.所以，所以椭圆的焦距等于短轴长，因此A错误.由，得椭圆C的标准方程为，故，所以，因此B错误.由于的平分线交C的长轴于点M，因此，，所以，即.又，，所以，因此C正确.设，则.又，且，即，且，所以，且，所以，且，所以，所以，因此D正确.故选CD.
15.答案：或
解析：由椭圆的方程可得，且，焦距为2，可得，即，
当焦点在x轴上时，则，，可得，
由题意可得，所以，这时离心率；
当焦点在y轴上时，则，即，这时离心率，
综上，离心率为或，
故答案为：或.
16.答案：
解析：，线段与y轴交于点Q，，P在y右侧，则，，，
为等腰三角形，则，
所以，，整理得，
，，
故答案为：.
17.答案：
解析：设直线PQ的方程为，，，
由消去y，得，
则，.
因为，，
所以.
又，所以，，
所以，，
故.
18.答案：
解析：设，，，则，
两式作差有，
.
又，，，
，，即，
椭圆C的方程为，且，即，
设椭圆的半长轴、半短轴长分别为、，则，，
故椭圆C的离心率.
故答案为：.
19.答案：(1)
(2)
解析：(1)易知C的渐近线方程为，
所以到渐近线的距离，
所以，
所以C的方程为.
(2)由题意易知直线的斜率存在，设其方程为，联立与C的方程，消去y，得，
因为直线与C的右支相切，所以，

得，则.
设切点，则，
.
设，因为Q是直线与直线的交点，所以.
假设x轴上存在定点，使得，
则




，
故存在，使得，即，
所以x轴上存在定点，使得.
20.答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）设是椭圆上任意一点，
由，知，
故的最大值是，
即点P到椭圆上点的距离的最大值为.
（Ⅱ）易知直线AB的斜率存在，设直线AB：，
联立直线AB与椭圆的方程，整理得，
设，，则，.
直线PA的方程为，代入，
整理得.
同理可得，，
则








，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取得最小值，为.