苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 2.2.2　直线与圆的位置关系(2)（含解析）

2．2.2　直线与圆的位置关系(2)

1. 解决直线与圆相切中的切线方程、切线长、切点弦方程等问题．

2. 理解直线与圆相交的弦长问题．

3. 体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用．

例1　已知圆x2＋y2＝r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程．

探究：已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，当点M(x0，y0)在圆上、圆外时，研究直线l：x0x＋y0y＝r2与圆O的位置．

1. 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

2. 过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x＋y0y＝r2.

例2　已知圆C：(x－2)2＋y2＝2.

(1) 求与圆C相切，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程；

(2) 从圆外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，且PM＝PO，求使PM 最小的点P的坐标．

例3　求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．

　已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程．

直线和圆相交的几何性质：d<r(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径)；圆心、弦的端点、弦的中点构成直角三角形.

例4　已知直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，求弦AB的垂直平分线的方程．

1. 对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　)

A. 相离  B. 相切 

C. 相交但直线不过圆心  D. 相交且直线过圆心

2. 已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a截直线x＋y＋2＝0所得的弦长为4，则实数a的值为(　　)

A. －2  B. －4  C. －6  D. －8

3. (多选)(2021·山东学情联考)下列说法中，正确的是(　　)

A. 直线2x＋y＝2与直线x＋2y＝1垂直

B. 过点(1，2)的直线被圆x2＋y2－6x＝0所截得的弦的长度的最小值为2

C. 直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系不确定

D. 若直线mx＋ny＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(m，n)在圆外

4. 直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为______________．

5. 已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.

(1) 求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；

(2) 设直线l与圆C交于A，B两点，若AB＝，求直线l的倾斜角．

参考答案与解析

【活动方案】

例1　当点M不在坐标轴上时，由x2＋y2＝r2，可知圆心为原点(0，0)，所以直线OM的斜率k＝.

因为所求切线与直线OM垂直，

所以切线的斜率为－，

所以经过点M的切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝r2；

当点M在坐标轴上时，验证可知上面的方程同样适用．

综上，所求的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

探究：①当点M(x0，y0)在圆上时，即x＋y＝r2，

所以圆O的圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝＝r，故此时直线l与圆O相切．

②当点M(x0，y0)在圆外时，即x＋y>r2，

所以圆O的圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝<r，故此时直线l与圆O相交．

例2　(1) 由题意，得圆心C的坐标为(2，0)，半径为.

若切线过原点，则设切线方程为kx－y＝0，

则＝，解得k＝±1，

所以切线方程为x＋y＝0或x－y＝0.

若切线不过原点，则设切线方程为x＋y＋c＝0(c≠0)，

则＝，解得c＝－4，

所以切线方程为x＋y－4＝0.

综上所述，所求切线的方程为x＋y＝0或x－y＝0或x＋y－4＝0.

(2) 设点P的坐标为(x，y)．

因为PM＝PO，PM2＋r2＝PC2，

所以x2＋y2＋2＝(x－2)2＋y2，解得x＝，

所以点P的轨迹为直线x＝.

要使PM最小，即使PO最小，

过点O作直线x＝的垂线，垂足为P，

故点P的坐标为.

例3　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)，

所以OM＝＝，

所以AB＝2AM＝2＝2＝2.

跟踪训练　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，将x＝－3代入圆方程，得y＝2或y＝－6，所以截得的弦长为2－(－6)＝8，不符合题意，舍去；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.

圆x2＋y2＋4y－21＝0化为标准方程为x2＋(y＋2)2＝25，

所以圆心为(0，－2)，半径为5，

所以圆心到直线l的距离为＝.

因为直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，所以(2)2＋＝52，

解得k＝2或k＝－，

所以直线l的方程为2x－y＋3＝0或x＋2y＋9＝0.

综上，直线l的方程为2x－y＋3＝0或x＋2y＋9＝0.

例4　由得13y2＋18y－7＝0，

同理可得13x2－14x－26＝0，

所以AB的中点坐标为，即(，－)．

又因为直线AB：2x＋3y＋1＝0的斜率为－，

所以弦AB的垂直平分线的斜率为，

所以弦AB的垂直平分线的方程为y＋＝，即3x－2y－3＝0，

故弦AB的垂直平分线的方程为3x－2y－3＝0.

【检测反馈】

1. C　解析：因为直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，且定点(0，1)在圆x2＋y2＝2内，所以直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1的斜率存在，所以该直线必不过圆心(0，0)．

2. B　解析：由题意，得圆心(－1，1)，r＝.设圆心到直线的距离为d，所以d＝＝＝.又d＝＝，所以＝，解得a＝－4.

3. BD　解析：对于A，因为直线2x＋y＝2与直线x＋2y＝1的斜率分别为k1＝－2，k2＝－，则k1·k2＝1≠－1，所以两直线不垂直，所以A错误；对于B，圆x2＋y2－6x＝0可化为(x－3)2＋y2＝9，圆心(3，0)，半径为3，当弦与圆心和点(1，2)的连线垂直时，弦长最短，最短弦长为2＝2，所以B正确；对于C，直线l：mx－y＋1－m＝0化为m(x－1)－y＋1＝0，所以直线l恒过点(1，1)．因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5内，所以直线l与圆C必相交，所以C错误；对于D，因为直线mx＋ny＝1与圆x2＋y2＝1相交，所以<1，所以m2＋n2>1，所以点P(m，n)在圆x2＋y2＝1外，所以D正确．故选BD.

4. x－y＋5＝0　解析：由圆的方程，可得圆心为(－1，2)，所以圆心和点C连线的斜率为＝－1，故直线l的斜率为k＝1，所以直线l的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.

5. (1) 由题意，得圆心C(0，1)，且直线l恒过定点P(1，1)，

则CP2＝12＋(1－1)2<5，所以点P在圆C内，

所以直线l与圆C总有两个不同的交点．

(2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立方程组消去y并整理，得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为AB＝|x1－x2|＝·，　

即＝·，

解得m＝或m＝－，

所以直线l的倾斜角为60°或120°.