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【同步讲义】北师大版数学九年级上册：第15讲 位似图形 讲义
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第15讲 位似图形
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课程标准
1.了解位似图形、位似中心的概念，掌握位似图形的性质，理解位似变换是特殊的相似变换。
2.会画位似图形，能够利用位似把一个图形放大或缩小。
3.掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标。
知识精讲
知识点01 位似多边形的有关概念
一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点，所在的直线都经过同一点，且有
，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心。实际上，就是这两个相似多边形的相似比。
注意：位似图形与相似图形的区别
位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。
知识点02 位似图形的性质
（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（2) 位似图形上的每组对应点和位似中心在同一条直线上；
（3）位似图形的对应线段平行或在同一条直线上。
（4）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质。
知识点03 位似图形的画法
1．位似变换
利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换。
2．画位似图形的一般步骤
（1）确定位似中心。
（2）确定原图形的关键点，通常是多边形的顶点。
（3）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）。
（4）根据已知的相似比，确定所画位似图形关键点的位置。
（5）顺次连接各点，得到放大或缩小后的图形。
3．实例
知识点04 平面直角坐标系中的位似变换
1．位似多边形对应点的坐标的变化规律
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，则所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为。
2．平移、轴对称、旋转与位似变换的坐标变化规律
名称
变换规律
变换方式
平移
对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度
全等变换
轴对称
若以轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
旋转
若一个图形绕原点旋转，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数。
位似
当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比。
相似变换（放大、缩小或不变）
能力拓展
考法01 位似多边形
【典例1】如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D．MO∥BC且BM＝CO
【答案】C
【解析】解：∵∠BAD不一定等于为120°，
∴△AOM和△AON不一定都是等边三角形，A错误；
∵BM不一定等于BO，
∴四边形MBON和四边形MODN不一定都是菱形，B错误；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝OC，又AM＝MB，
∴OM∥BC，OM＝BC，
同理，ON∥CD，ON＝CD，
∴四边形AMON与四边形ABCD是以A为位似中心的位似图形，C正确；
MO∥BC，但BM不一定等于CO，D错误；
故选：C．
【即学即练】如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
【答案】A
【解析】∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是：1：2．
故选：A．
【典例2】在下列图形中，不是位似图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；
D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．
故选：D．
【即学即练】在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形
C．四边形 D．四边形
【答案】A
【解析】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．
故选：A
考法02 位似图形的性质
【典例3】下列三个关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【解析】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；
位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；
位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误；
正确答案为：②③
故选：B．
【即学即练】下列说法中正确的有（ ）
①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81；④边数相同的正多边形一定相似；⑤矩形都相似．
A．1个 B．3个 C．4个 D．2个
【答案】D
【解析】解：①位似图形都相似，正确．
②两个等腰三角形不一定相似，错误；
③两个相似多边形的面积比为4：9，周长比应该是2：3，错误；
④边数相同的正多边形相似，角相等，边成比例，正确；
⑤矩形不一定相似，边不一定成比例，错误
故选：D．
【典例4】按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的，如图，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF；则下列说法错误的是（ ）
A．点O为位似中心且位似比为1：2
B．△ABC与△DEF是位似图形
C．△ABC与△DEF是相似图形
D．△ABC与△DEF的面积之比为4：1
【答案】A
【解析】∵如图，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，
∴将△ABC的三边缩小到原来的，此时点O为位似中心且△ABC与△DEF的位似比为2：1，故选项A说法错误，符合题意；
△ABC与△DEF是位似图形，故选项B说法正确，不合题意；
△ABC与△DEF是相似图形，故选项C说法正确，不合题意；
△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故选项D说法正确，不合题意；
故选：A．
【即学即练】如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知DF＝4，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AC：DF＝2：3，
∴AC：4＝2：3，
则AC＝．
故选C．
考法03 平面直角坐标系中的位似变换
【典例5】如图，△AOB中，A，B两个顶点在x轴的上方，点O是原点．以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△A′OB′，且AB：A′B′＝1：2．若点A的横坐标是a，则点A的对应点A′的横坐标是（ ）
A．﹣2a B．2a C． D．
【答案】A
【解析】解：∵在x轴的下方作△AOB的位似图形，AB：A′B′＝1：2，
∴相似比为2．
∵点A的横坐标是a，
∴点A的对应点A′的横坐标是：﹣2a．
故选：A．
【即学即练】如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，使与的位似比为，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：设的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a-1，、C间的水平距离为-x+1，
∵与的位似比为，
∴，
解得：，
故选：D．
【典例6】如图，在中，点的坐标为，以原点为位似中心，将位似缩小后得到．若点的坐标为，的面积为1，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】D
【解析】解∶∵△ABC和△A'B' C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点A (3，6) ，A'( 1，2)，
∴△ABC与△A'B' C'的相似比等于3∶ 1．
△△A'B'C'与△ABC的面积之比为9 ∶ 1．
∵△A'B'C'的面积为1，
∴△ABC的面积为9．
故选∶ D．
【即学即练】如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【解析】设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故选：B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列运动形式中：（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星．上述运动形式中不是位似变换的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】解：（1）传动带上的电视机，和（2）电梯上的人的升降；是平移变换；（4）国旗上的红五角星；它们都不满足对应点的连线相交于一点，则不是位似变换；
（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；满足对应点的连线相交于一点，则它属于位似变换；
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，1）
C．（﹣3，﹣1）或（3，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【答案】C
【解析】解：以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，点B的坐标为则点B的对应点B'的坐标为或，即或
故选：C．
3．如图，△ABC和△A1B1C1中，A1B1∥AB，A1C1∥AC，C1为OC的中点，△A1B1C1面积是5，则△ABC的面积为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
【答案】B
【解析】解：∵A1B1∥AB，A1C1∥AC，
∴△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∵C1为OC的中点，△A1B1C1面积是5，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
解得：S△ABC＝20．
故选：B．
4．如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，若，则的长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】解：∵与位似，
∴AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴DE=8．
故选：B．
5．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点在轴上．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的纵坐标是，则点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意得：，
由位似图形的性质得：点的纵坐标的绝对值等于点的纵坐标的绝对值的2倍，
即点的纵坐标的绝对值为，
在轴的下方作的位似图形，
点位于轴下方，
点的纵坐标小于0，即为，
故选：C．
6．如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， ，
则四边形与四边形的相似比为：，
∴四边形与四边形的面积比为；
故选：C．
7．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝___．
【答案】
【解析】解：∵以点为位似中心，放大后得到，
．
故答案为：．
8．如图，△与△是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1 : 2，则点A（1 , 2）在第一象限的对应点A1的坐标是______．
【答案】（2,4）
【解析】解：∵△与△是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1 ∶ 2，
∴点A（1，2）在第一象限的对应点（2，4）
故答案是（2，4）
9．如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积．
【答案】9
【解析】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝（）2＝，
∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4，
∵EF：FC＝1：2，
∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF，
∴S△BEF＝2，
∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9．
10．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【解析】(1)如图，为所作．
(2)如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．
题组B 能力提升练
1．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OD=2OA，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．90
【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OD=2OA，，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
∴△ABC的周长为10，则△DEF的周长是20
故选：A．
2．如图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，若，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA：OD=2：1，
∴AB：DE=2：1，
∵AB=4，
∴DE的长为：2．
故选：B．
3．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【答案】C
【解析】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：C．
4．如图，以C(0，1)为位似中心，在y轴右侧作ABC位似图形，使所作图形与原图形位似比为1：2，设点A的坐标为(-3，4)，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作于点，
ABC位似图形，位似比为1：2，
，
，
，
，
，
设，C(0，1) ，(-3，4)，
则，
，
解得，
．
故选B．
5．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法正确的有（ ）个
①
②
③点A，O，三点在同一条直线上
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4，故①选项说法错误；
∴AB：A′B′=1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，②③④说法正确；
故选C．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
【答案】D
【解析】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ________．
【答案】（3，2）
【解析】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
而BE=EF=6，
∴，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
故答案为：（3，2）．
8．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD＝_____．
【答案】
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，
∴AO：OD=4：3，
故答案为：4：3．
9．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△OA1B1；
(2)以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】(1)解：如图所示，即为所求；
(2)解：如图所示，即为所求．
10．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；
(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
【答案】(1)见解析；
(2)不是位似图形；
(3)6
【解析】(1)证明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴ △ADP∽△BCP．
(2)解：△ADP与△BCP不是位似图形．
理由是：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．△ADP与△BCP的对应点的连线交于一个点，
∴ △ADP与△BCP不是位似图形．
(3)解：∵△ADP∽△BCP，
∴，
∵∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴，
∴，
解得AP＝6．
题组C 培优拔尖练
1．如图，将△ABC以点O为位似中心放大后得到△A1B1C1，若OB:OB1=1:2，且△ABC的面积为3，则△A1B1C1的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AB∥A1B1，
∴△OAB∽△O A1B1，
∴，
∴，
∵△ABC的面积为3，
∴△A1B1C1的面积为3×4=12，
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，已知点E（－4，2），F（－3，－3），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（－2，1） B．（－8，4）
C．（－8，4）或（8，－4） D．（－2，1）或（2，－1）
【答案】D
【解析】如图，当点E和点E′在原点的同侧时，
∵点E（－4，2），原点O为位似中心，相似比为，
∴点E′的（－4×，2×）即（－2，1）；
当点E和点E′在原点的异侧时，
因为第二象限时坐标为（－2，1），
所以，异侧时，恰好是其原点的对称点即为（2，－1），
故选D．
3．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（ ）
A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点
【答案】C
【解析】如图，连接AO并延长于点G
根据题意，得：
以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的
当△ABC缩小后，在位似中心同侧时，点A的对应点为点D
当△ABC缩小后，在位似中心异侧时，点A的对应点为点G
故选：C．
4．如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．10.5
【答案】D
【解析】解：由已知得：，
∴，
设之间的距离为h，则： ，
，
，
同理有，
∴图中三个阴影三角形面积之和为：
，
故选D．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝8，DC＝7，则AB的值为（ ）
A．15 B．20 C．2+7 D．2+
【答案】B
【解析】延长CB到E使BE=BA，接连EA．设AB=a，则BE=a．∵BE=BA，∴∠E=∠EAB，∴∠ABD=2∠E．∵∠ADC＝3∠BAD，∠ADC=∠ABD+∠BAD，∴∠ABD=2∠BAD，∴∠E=∠BAD．∵∠ADB=∠ADB，∴△ABD∽△EAD，∴BD：AD=AD：ED，∴AD2=BD•ED，∴AD2=8（8+a）=64+8a．在Rt△ACD中，AC2=AD2-DC2=64+8a-49=15+8a．在Rt△ABC中，∵AB2=BC2+AC2，∴，∴，∴（a-20）（a+12）=0，解得：a=20或a=－12（舍去）．故选B．
6．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：延长A′B′交BC于点E，如图．
∵在正方形ABCD中，AC＝3，
∴BC＝AB＝3，
∵点A′的坐标为（1，2），
∴OE＝1，EC＝A′E＝3﹣1＝2，
∴CE：BC＝2：3，
∵A′E∥AB，
∴△A′CE∽△ACB，
∴CA′：AC＝2：3，
∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，
∴AA′＝CC′，
∴AA′＝CC′＝A′C′，
∴A′C′：AC＝1：3，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是．
故选：B．
7．如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且点C与点D在直线同侧和的周长之比为，点C的坐标为(-2，0)，若点A的坐标为(-4，3)，则点E的坐标为______．
【答案】
【解析】解：∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，
而△ABC和△EDC的周长之比为1：2，
∴△ABC和△EDC的位似比为1：2，
把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为（-2，3），
点（-2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，-6），
把点（4，-6）向左平移2个单位得到（2，-6），
∴E点坐标为（2，-6）．
故填：．
8．如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3=10，则S=__．
【答案】4
【解析】
解：根据正三角形的性质，∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°，
∴AB∥HF//DC//GN，
设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，
∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形，
∵F、G分别是BC、CE的中点，
故答案为4.
9．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上．
(1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的2倍后的位似图形；
(2)已知的面积为，则的面积是多少？
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)∵△ABC和△A1B1C1关于原点位似，
∴．
10．如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE．
(1)当DE∥BC时，如图1．
①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长；
②若DE平分△ABC的周长，求AD的长；
(2)如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)存在，
【解析】(1)解：①∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∵DE平分△ABC的面积，
∴＝，
∴＝，即，
解得：AD＝；
②在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，
∵DE平分△ABC的周长，
∴AD+AE＝6，即AE＝6﹣AD，
∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝；
(2)如下图过点E作EF⊥AC于F，
设DE将△ABC的周长平分，
则AD+AE＝6，
设AD＝x，则AE＝6﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝，
∴S△ADE＝×AD×EF＝×x×＝﹣x2+x，
当DE将△ABC的面积平分时，﹣x2+x＝×3×4×，
解得：x1＝，x2＝，
∵0＜x＜3，
∴x＝，
当AD＝时，DE将△ABC的周长和面积同时平分．
第15讲 位似图形
目标导航
课程标准
1.了解位似图形、位似中心的概念，掌握位似图形的性质，理解位似变换是特殊的相似变换。
2.会画位似图形，能够利用位似把一个图形放大或缩小。
3.掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标。
知识精讲
知识点01 位似多边形的有关概念
一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点，所在的直线都经过同一点，且有
，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心。实际上，就是这两个相似多边形的相似比。
注意：位似图形与相似图形的区别
位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。
知识点02 位似图形的性质
（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（2) 位似图形上的每组对应点和位似中心在同一条直线上；
（3）位似图形的对应线段平行或在同一条直线上。
（4）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质。
知识点03 位似图形的画法
1．位似变换
利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换。
2．画位似图形的一般步骤
（1）确定位似中心。
（2）确定原图形的关键点，通常是多边形的顶点。
（3）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）。
（4）根据已知的相似比，确定所画位似图形关键点的位置。
（5）顺次连接各点，得到放大或缩小后的图形。
3．实例
知识点04 平面直角坐标系中的位似变换
1．位似多边形对应点的坐标的变化规律
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，则所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为。
2．平移、轴对称、旋转与位似变换的坐标变化规律
名称
变换规律
变换方式
平移
对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度
全等变换
轴对称
若以轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
旋转
若一个图形绕原点旋转，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数。
位似
当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比。
相似变换（放大、缩小或不变）
能力拓展
考法01 位似多边形
【典例1】如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D．MO∥BC且BM＝CO
【答案】C
【解析】解：∵∠BAD不一定等于为120°，
∴△AOM和△AON不一定都是等边三角形，A错误；
∵BM不一定等于BO，
∴四边形MBON和四边形MODN不一定都是菱形，B错误；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝OC，又AM＝MB，
∴OM∥BC，OM＝BC，
同理，ON∥CD，ON＝CD，
∴四边形AMON与四边形ABCD是以A为位似中心的位似图形，C正确；
MO∥BC，但BM不一定等于CO，D错误；
故选：C．
【即学即练】如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
【答案】A
【解析】∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是：1：2．
故选：A．
【典例2】在下列图形中，不是位似图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；
D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．
故选：D．
【即学即练】在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形
C．四边形 D．四边形
【答案】A
【解析】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．
故选：A
考法02 位似图形的性质
【典例3】下列三个关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【解析】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；
位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；
位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误；
正确答案为：②③
故选：B．
【即学即练】下列说法中正确的有（ ）
①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81；④边数相同的正多边形一定相似；⑤矩形都相似．
A．1个 B．3个 C．4个 D．2个
【答案】D
【解析】解：①位似图形都相似，正确．
②两个等腰三角形不一定相似，错误；
③两个相似多边形的面积比为4：9，周长比应该是2：3，错误；
④边数相同的正多边形相似，角相等，边成比例，正确；
⑤矩形不一定相似，边不一定成比例，错误
故选：D．
【典例4】按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的，如图，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF；则下列说法错误的是（ ）
A．点O为位似中心且位似比为1：2
B．△ABC与△DEF是位似图形
C．△ABC与△DEF是相似图形
D．△ABC与△DEF的面积之比为4：1
【答案】A
【解析】∵如图，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，
∴将△ABC的三边缩小到原来的，此时点O为位似中心且△ABC与△DEF的位似比为2：1，故选项A说法错误，符合题意；
△ABC与△DEF是位似图形，故选项B说法正确，不合题意；
△ABC与△DEF是相似图形，故选项C说法正确，不合题意；
△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故选项D说法正确，不合题意；
故选：A．
【即学即练】如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知DF＝4，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AC：DF＝2：3，
∴AC：4＝2：3，
则AC＝．
故选C．
考法03 平面直角坐标系中的位似变换
【典例5】如图，△AOB中，A，B两个顶点在x轴的上方，点O是原点．以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△A′OB′，且AB：A′B′＝1：2．若点A的横坐标是a，则点A的对应点A′的横坐标是（ ）
A．﹣2a B．2a C． D．
【答案】A
【解析】解：∵在x轴的下方作△AOB的位似图形，AB：A′B′＝1：2，
∴相似比为2．
∵点A的横坐标是a，
∴点A的对应点A′的横坐标是：﹣2a．
故选：A．
【即学即练】如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，使与的位似比为，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：设的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a-1，、C间的水平距离为-x+1，
∵与的位似比为，
∴，
解得：，
故选：D．
【典例6】如图，在中，点的坐标为，以原点为位似中心，将位似缩小后得到．若点的坐标为，的面积为1，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】D
【解析】解∶∵△ABC和△A'B' C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点A (3，6) ，A'( 1，2)，
∴△ABC与△A'B' C'的相似比等于3∶ 1．
△△A'B'C'与△ABC的面积之比为9 ∶ 1．
∵△A'B'C'的面积为1，
∴△ABC的面积为9．
故选∶ D．
【即学即练】如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【解析】设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故选：B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列运动形式中：（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星．上述运动形式中不是位似变换的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】解：（1）传动带上的电视机，和（2）电梯上的人的升降；是平移变换；（4）国旗上的红五角星；它们都不满足对应点的连线相交于一点，则不是位似变换；
（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；满足对应点的连线相交于一点，则它属于位似变换；
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，1）
C．（﹣3，﹣1）或（3，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【答案】C
【解析】解：以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，点B的坐标为则点B的对应点B'的坐标为或，即或
故选：C．
3．如图，△ABC和△A1B1C1中，A1B1∥AB，A1C1∥AC，C1为OC的中点，△A1B1C1面积是5，则△ABC的面积为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
【答案】B
【解析】解：∵A1B1∥AB，A1C1∥AC，
∴△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∵C1为OC的中点，△A1B1C1面积是5，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
解得：S△ABC＝20．
故选：B．
4．如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，若，则的长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】解：∵与位似，
∴AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴DE=8．
故选：B．
5．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点在轴上．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的纵坐标是，则点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意得：，
由位似图形的性质得：点的纵坐标的绝对值等于点的纵坐标的绝对值的2倍，
即点的纵坐标的绝对值为，
在轴的下方作的位似图形，
点位于轴下方，
点的纵坐标小于0，即为，
故选：C．
6．如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， ，
则四边形与四边形的相似比为：，
∴四边形与四边形的面积比为；
故选：C．
7．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝___．
【答案】
【解析】解：∵以点为位似中心，放大后得到，
．
故答案为：．
8．如图，△与△是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1 : 2，则点A（1 , 2）在第一象限的对应点A1的坐标是______．
【答案】（2,4）
【解析】解：∵△与△是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1 ∶ 2，
∴点A（1，2）在第一象限的对应点（2，4）
故答案是（2，4）
9．如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积．
【答案】9
【解析】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝（）2＝，
∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4，
∵EF：FC＝1：2，
∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF，
∴S△BEF＝2，
∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9．
10．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【解析】(1)如图，为所作．
(2)如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．
题组B 能力提升练
1．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OD=2OA，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．90
【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OD=2OA，，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
∴△ABC的周长为10，则△DEF的周长是20
故选：A．
2．如图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，若，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA：OD=2：1，
∴AB：DE=2：1，
∵AB=4，
∴DE的长为：2．
故选：B．
3．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【答案】C
【解析】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：C．
4．如图，以C(0，1)为位似中心，在y轴右侧作ABC位似图形，使所作图形与原图形位似比为1：2，设点A的坐标为(-3，4)，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作于点，
ABC位似图形，位似比为1：2，
，
，
，
，
，
设，C(0，1) ，(-3，4)，
则，
，
解得，
．
故选B．
5．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法正确的有（ ）个
①
②
③点A，O，三点在同一条直线上
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4，故①选项说法错误；
∴AB：A′B′=1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，②③④说法正确；
故选C．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
【答案】D
【解析】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ________．
【答案】（3，2）
【解析】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
而BE=EF=6，
∴，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
故答案为：（3，2）．
8．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD＝_____．
【答案】
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，
∴AO：OD=4：3，
故答案为：4：3．
9．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△OA1B1；
(2)以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】(1)解：如图所示，即为所求；
(2)解：如图所示，即为所求．
10．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；
(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
【答案】(1)见解析；
(2)不是位似图形；
(3)6
【解析】(1)证明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴ △ADP∽△BCP．
(2)解：△ADP与△BCP不是位似图形．
理由是：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．△ADP与△BCP的对应点的连线交于一个点，
∴ △ADP与△BCP不是位似图形．
(3)解：∵△ADP∽△BCP，
∴，
∵∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴，
∴，
解得AP＝6．
题组C 培优拔尖练
1．如图，将△ABC以点O为位似中心放大后得到△A1B1C1，若OB:OB1=1:2，且△ABC的面积为3，则△A1B1C1的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AB∥A1B1，
∴△OAB∽△O A1B1，
∴，
∴，
∵△ABC的面积为3，
∴△A1B1C1的面积为3×4=12，
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，已知点E（－4，2），F（－3，－3），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（－2，1） B．（－8，4）
C．（－8，4）或（8，－4） D．（－2，1）或（2，－1）
【答案】D
【解析】如图，当点E和点E′在原点的同侧时，
∵点E（－4，2），原点O为位似中心，相似比为，
∴点E′的（－4×，2×）即（－2，1）；
当点E和点E′在原点的异侧时，
因为第二象限时坐标为（－2，1），
所以，异侧时，恰好是其原点的对称点即为（2，－1），
故选D．
3．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（ ）
A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点
【答案】C
【解析】如图，连接AO并延长于点G
根据题意，得：
以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的
当△ABC缩小后，在位似中心同侧时，点A的对应点为点D
当△ABC缩小后，在位似中心异侧时，点A的对应点为点G
故选：C．
4．如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．10.5
【答案】D
【解析】解：由已知得：，
∴，
设之间的距离为h，则： ，
，
，
同理有，
∴图中三个阴影三角形面积之和为：
，
故选D．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝8，DC＝7，则AB的值为（ ）
A．15 B．20 C．2+7 D．2+
【答案】B
【解析】延长CB到E使BE=BA，接连EA．设AB=a，则BE=a．∵BE=BA，∴∠E=∠EAB，∴∠ABD=2∠E．∵∠ADC＝3∠BAD，∠ADC=∠ABD+∠BAD，∴∠ABD=2∠BAD，∴∠E=∠BAD．∵∠ADB=∠ADB，∴△ABD∽△EAD，∴BD：AD=AD：ED，∴AD2=BD•ED，∴AD2=8（8+a）=64+8a．在Rt△ACD中，AC2=AD2-DC2=64+8a-49=15+8a．在Rt△ABC中，∵AB2=BC2+AC2，∴，∴，∴（a-20）（a+12）=0，解得：a=20或a=－12（舍去）．故选B．
6．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：延长A′B′交BC于点E，如图．
∵在正方形ABCD中，AC＝3，
∴BC＝AB＝3，
∵点A′的坐标为（1，2），
∴OE＝1，EC＝A′E＝3﹣1＝2，
∴CE：BC＝2：3，
∵A′E∥AB，
∴△A′CE∽△ACB，
∴CA′：AC＝2：3，
∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，
∴AA′＝CC′，
∴AA′＝CC′＝A′C′，
∴A′C′：AC＝1：3，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是．
故选：B．
7．如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且点C与点D在直线同侧和的周长之比为，点C的坐标为(-2，0)，若点A的坐标为(-4，3)，则点E的坐标为______．
【答案】
【解析】解：∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，
而△ABC和△EDC的周长之比为1：2，
∴△ABC和△EDC的位似比为1：2，
把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为（-2，3），
点（-2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，-6），
把点（4，-6）向左平移2个单位得到（2，-6），
∴E点坐标为（2，-6）．
故填：．
8．如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3=10，则S=__．
【答案】4
【解析】
解：根据正三角形的性质，∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°，
∴AB∥HF//DC//GN，
设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，
∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形，
∵F、G分别是BC、CE的中点，
故答案为4.
9．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上．
(1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的2倍后的位似图形；
(2)已知的面积为，则的面积是多少？
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)∵△ABC和△A1B1C1关于原点位似，
∴．
10．如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE．
(1)当DE∥BC时，如图1．
①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长；
②若DE平分△ABC的周长，求AD的长；
(2)如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)存在，
【解析】(1)解：①∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∵DE平分△ABC的面积，
∴＝，
∴＝，即，
解得：AD＝；
②在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，
∵DE平分△ABC的周长，
∴AD+AE＝6，即AE＝6﹣AD，
∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝；
(2)如下图过点E作EF⊥AC于F，
设DE将△ABC的周长平分，
则AD+AE＝6，
设AD＝x，则AE＝6﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝，
∴S△ADE＝×AD×EF＝×x×＝﹣x2+x，
当DE将△ABC的面积平分时，﹣x2+x＝×3×4×，
解得：x1＝，x2＝，
∵0＜x＜3，
∴x＝，
当AD＝时，DE将△ABC的周长和面积同时平分．
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