北师大版九年级下册1 二次函数优秀同步练习题

第10讲  二次函数单元复习

知识点01  二次函数的定义

一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。
注意：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数。这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

知识点02  二次函数的图象与性质

1．二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：

2．抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点。
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3．抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4．用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).

注意：

求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

知识点03  二次函数与一元二次方程的关系

函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

注意：

二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根。
知识点04  利用二次函数解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义。
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

注意：

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、桥梁、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

考法01   求二次函数的解析式

【典例1】已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴交于点，这个抛物线的解析式是（       ）

A． B．

C． D．

【即学即练】已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）

A． B． C． D．

【典例2】如图，将二次函数的图像沿轴对折，得到的新的二次函数的表达式是（   ）

A． B． C． D．

【即学即练】若抛物线与抛物绒的顶点重合，且与轴的交点的坐标为，则抛物线的表达式是（             ）

A． B． C． D．

考法02   根据二次函数图象及性质判断代数式的符号

【典例3】在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（       ）

A． B．C． D．

【即学即练】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是(     )．

A． B．

C． D．

【典例4】如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则．正确的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【即学即练】在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考法03   函数与一元二次方程

【典例5】已知抛物线（，，是常数，）经过点和，其对称轴在轴左侧．有下列结论：

①抛物线经过；

②有两个不相等的实数根；

③，

其中正确结论的个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【即学即练】已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧．有下列结论：

①；

②抛物线经过点；

③方程有两个不相等的实数根；

④．

其中，正确结论的个数为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【典例6】已知抛物线经过点，，则关于的一元二次方程的解为（       ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【即学即练】如图，抛物线过点（1，0）和点（0，－2），且顶点在第三象限，设p＝a－b＋c，则下列判断错误的是（       ）

A．a＋b＝2 B．方程有两个不相等的实数根

C．0＜b＜2 D．－1＜p＜0

考法04   二次函数与实际问题

【典例7】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（　　　）

A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s

C．小球抛出3s时，速度为0 D．当s时，小球的高度m

【即学即练】如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（       ）

A．小球落地点距O点水平距离为7米

B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势

C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m

D．小球距斜坡的最大铅直高度为

【典例8】如图，矩形中，，动点P沿着的路径匀速运动，过点P作，垂足为Q，设点P的运动路程为x，以B，C，P，Q为顶点的四边形的面积为y，则y与x的大致函数图象为（       ）

A． B．

C． D．

【即学即练】某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为（       ）

A．45.51万元 B．45.56万元 C．45.6万元 D．45.606万元

题组A  基础过关练

1．抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（       ）

A． B．

C． D．

2．抛物线与y轴的交点坐标为(     )

A． B． C． D．

3．由二次函数y＝2（x﹣3）2＋1，可知（       ）

A．其图象的开口向下 B．其图象的顶点坐标为（3，1）

C．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 D．当x＜3时，y随x的增大而增大

4．在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=，由此可知该生此次实心球训练的成绩为(     )

A．6米 B．10米 C．12米 D．15米

5．已知抛物线过点(2，2)，则m的值为(       )

A．1 B．4 C．3 D．0

6．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y1)，(4，y2)在抛物线上，则y1<y2；③当−1<x<3时，y<0时；④8a+c>0．其中正确的有（       ）

A．①② B．①④ C．①③④ D．②④

7．二次函数的图象的对称轴是直线_________________；

8．二次函数的图象如图，对称轴为直线．

（1）_________；

（2）若直线与抛物线在的范围内有两个交点，则t的取值范围是___________．

9．一条抛物线由抛物线平移得到，对称轴为直线，并且经过点．

(1)求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标；

(2)该抛物线由抛物线经过怎样平移得到？

10．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；

(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；

(3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．

题组B  能力提升练

1．已知点，在抛物线上，且与x轴的交点为和．当时，则，应满足的关系式是（       ）

A． B． C． D．

2．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（       ）

A．y的最小值为1

B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2

C．当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小

D．它的图象可由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

3．若两个不相交的函数图像在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．则抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣2的“和谐值”为（　　）

A．3 B．2 C． D．

4．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(     )

A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝

5．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（       ）

A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2

6．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　）

A． B． C． D．

7．已知二次函数的图像顶点在x轴上，则_________

8．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．

9．某件产品的成本是每件10元，试销售阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表所示．

(1)观察以上数据，根据我们所学到的一次函数、二次函数，回答：y是x的什么函数？并求出解析式．

(2)要使得每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少？此时每日的销售利润是多少？

10．在平面直角坐标系内，二次函数的图象经过点和．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)求出二次函数的顶点坐标；

(3)将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使平移后所得的图象经过坐标原点，请在图中直接画出平移后的二次函数的大致图象，并写出平移后的图象与轴的另一个交点的坐标．

题组C  培优拔尖练

1．若A(，)，B(，)，C(1，)为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

2．如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（       ）

A． B． C． D．

3．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（       ）

A．x＞3 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣1

4．已知二次函数的y与x的部分对应值如表：

以下结论，①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④若是抛物线上两点，则，其中正确的是 （       ）

A．①② B．②③④ C．①③ D．①②④

5．抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（       ）

A．或 B． C． D．

6．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中正确的个数有（       ）

A．5个 B．1个 C．3个 D．2个

7．已知一次函数和二次函数部分自变量与对应的函数值如下表

当时，自变量x的取值是______，当时，自变量x的取值范围是______．

8．在平面直角坐标系中，已知抛物线恰好经过和两点．

（1）求a的值___________；

（2）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值___________．

9．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现：若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．

(1)求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；

(2)求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

10．如图，抛物线与x轴交于A（1，0），B（，0）两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在（1）中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形，求出点M的坐标；

(3)设（1）中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．