人教版八年级下册17.1 勾股定理优秀课后复习题

这是一份人教版八年级下册17.1 勾股定理优秀课后复习题，文件包含172勾股定理的逆定理原卷版docx、172勾股定理的逆定理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
17.2 勾股定理的逆定理

1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

知识点01：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
　 （3）理解勾股定理的一些变式：
，， .
知识点02：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
　　　 图（1）中，所以.
　　　　　
　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
　　　　 　　图（2）中，所以.
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
　　　　　　
　　　　 ，所以.
知识点03：勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为的线段.





【典例分析01】（2023八上·郑州期末）如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段，，.现在取出这三条线段，，首尾相连拼三角形.下列判断正确的是（　　）

A．能拼成一个锐角三角形 B．能拼成一个直角三角形
C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形
【答案】B
【规范解答】解：由题意得：，
∴，
∴三条线段，，首尾相连拼三角形是直角三角形.
故答案为：B.
【思路引导】根据勾股定理分别求出AB2、BC2、CD2，然后利用勾股定理逆定理进行判断.
【典例分析02】（2022八上·德惠期末）下列三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．中，
B．中，，
C．中，
D．中，三边之比为
【答案】A
【规范解答】解：A、中，，设，
则：，解得：，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
B、中，，则：，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、中，，则：，∴是直角三角形，不符合题意；
D、中，三边之比为，
设三角形的三边长分别为：，
∵，
∴是直角三角形，不符合题意；
故答案为：A．

【思路引导】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
【随堂演练01】（2022七上·咸阳月考）如图，在中，.

（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若点为线段上一点，连接BP，且BP=CP，求AP的长.
【答案】（1）解：在 中， ，
因为 ，
所以 ，
所以 是直角三角形，且 .
（2）解：设 ，则 .
在 中，因为 ，所以 ，
解得 ，
所以 的长为3.5
【思路引导】（1）分别求出AB2+AC2和BC2的值，再证明AB2+AC2=BC2，利用勾股定理的逆定理可证得结论.
（2）设AP=x，可表示出BP，CP的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AP的长.
【随堂演练02】（2022八上·龙岗期末）下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．7，24，25 B．8，15，17 C．5，11，12 D．3，4，5
【答案】C
【规范解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C．

【思路引导】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。

【典例分析03】（2022八上·大田期中）下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，9，10 D．9，40，41
【答案】C
【规范解答】解：A.，且3， 4，5都是正整数，所以3，4，5是勾股数，此选项不符合题意；
B.，且5，12，13都是正整数，所以5，12，13是勾股数，此选项不符合题意；
C.，所以8，9，10不是勾股数，此选项符合题意；
D.，且9，40，41都是正整数，所以9，40，41是勾股数，此选项不符合题意；
故答案为：C.

【思路引导】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可.
【典例分析04】（2022八下·同江期末）下列各组数是勾股数的是（　　）
A．5，12，14 B．6，8，12 C．4，5，6 D．7，24，25
【答案】D
【规范解答】解：A、∵，∴5，12，14不是勾股数，故不符合题意；
B、∵，∴6，8，12不是勾股数，故不符合题意；
C、∵，∴4，5，6不是勾股数，故不符合题意；
D、∵，∴7，24，25是勾股数，故符合题意．
故答案为：D．

【思路引导】根据勾股定理逆定理计算求数判断是否是勾股数．
【随堂演练03】（2022八下·广州期末）
（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）解：3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：
∵k是正整数，
∴3k，4k，5k都是正整数，
∵（3k）2+（4k）2=（5k）2，
∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数；
（2）解：ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：
∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，
∴ak，bk，ck是三个正整数，
假设c最大，则a2+b2=c2，
∴（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2=（ck）2，
∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数．
【思路引导】（1）根据勾股数的定义求解判断即可；
（2）根据勾股数的定义求解判断即可。
【随堂演练04】（2022八下·合肥期末）早在我国西汉时期算书《周脾算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表（其中m，n为正整数，且）：
m
2
3
3
4
4
…
n
1
1
2
1
2
…
a





…
b
4
6
12
8
16
…
c





…
（1）探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示：　 　，　 　，　 　．
（2）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）m2+n2；2mn；m2-n2
（2）解：以a，b， c为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下：
∵a2 = （m2 +n2）2 =m4+ 2m2n2 + n4
∴b2+c2=m4- 2m2n2 +n4+ 4m2n2= m4+ 2m2n2 + n4
∴a2=b2+c2，
∴以a，b， c为边长的三角形一定为直角三角形．
【规范解答】解：（1）
观察得，a=m2 +n2， b= 2mn，c=m2-n2
故答案为：m2+n2，2mn， m2-n2；
【思路引导】（1）根据题意求出a=m2 +n2， b= 2mn，c=m2-n2即可作答；
（2）先求出 b2+c2=m4- 2m2n2 +n4+ 4m2n2= m4+ 2m2n2 + n4 ，再求解即可。

【典例分析05】（2022八上·长春期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【规范解答】解：如图所示：

由题意得：，
设折断处离地面的高度是x尺，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【思路引导】设折断处离地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。
【典例分析06】（2022八上·市北区期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．

【答案】解：如图，

设旗杆高度为x米，则，，而，
在中，，即，
解得：，
即旗杆的高度为17m．
【思路引导】设旗杆高度为x米，则，，而，利用勾股定理列出方程，再求出x的值即可。
【随堂演练05】（2022八上·龙岗期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　）

A． B． C．6 D．
【答案】B
【规范解答】解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
∴，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为．
故答案为：B．

【思路引导】设秋千绳索的长度为，利用勾股定理可得，再求出即可。
【随堂演练06】（2022八上·泗县期中）如图，长为的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升至D点，则橡皮筋被拉长了（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【规范解答】解：根据题意得：CD=8cm，AD=BD，AB=12cm，
∵点C为AB的中点，
∴CD⊥AB，AC=6cm，
∴，
∴橡皮筋被拉长了．
故答案为：C

【思路引导】利用勾股定理求出AD的长，再计算即可。

【典例分析07】（2023八上·榆林期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型.如图是底面直径，是高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【规范解答】解：圆柱的展开图是长方形，

AC=A′C，点C是BB′的中点，
∵底面周长为20，
∴BC=BB′=×20=10，
在Rt△ABC中
，
∴装饰带的长度最短为2AC=cm.
故答案为：D
【思路引导】画出圆柱的侧面展开图，可得到底面圆的周长即BB′=20cm，AC=A′C，点C是BB′的中点，可求出BC的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，利用两点之间线段最短，可知装饰带的长度最短为2AC，代入计算可求解.
【典例分析08】（2022八上·将乐期中）如图所示，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为　 　.（取3）

【答案】10
【规范解答】解：如图，将圆柱的侧面展开，得到长方形，连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，B分别是，的中点.

∵，，
∴，
∴，
故答案为：10.
【思路引导】将圆柱的侧面展开，得到长方形ADFE，连接AB，则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，B分别是AE、DF的中点，根据底面圆的周长等于侧面长方形的长可得DF的值，由中点的概念可得DB，然后利用勾股定理计算即可.
【随堂演练07】（2022八上·源城期中）如图，有一个圆柱体，它的高等于，半径等于，一只蚂蚁在点A处，它要吃到上底面上与A点相对的点B处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路程是　 　cm（的值取3）．

【答案】15
【规范解答】解：如图，将圆柱体展开，连接，根据两点之间线段最短，

根据题意可得：AC是圆周的一半，
，
，
故答案为：．
【思路引导】将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求解即可。
【随堂演练08】（2022八上·电白期中）如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿侧面爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是　 　cm．

【答案】10
【规范解答】解：∵一圆柱高8cm，底面半径为cm，
∴底面周长为：2×π×＝12cm，则半圆弧长为6cm，
展开得：

BC＝8cm，AC＝6cm，
由勾股定理得：（cm）．
故答案为：10cm．
【思路引导】将立体几何转化为平面几何，再利用勾股定理求出AB的长即可。

一、选择题
1．（2022八上·埇桥期中）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（　　）
A．1.5，2.5，3 B．1，，2 C．6，8，10 D．5，12，13
【答案】A
【规范解答】解：A. ，不能组成直角三角形，符合题意；
B. ，能组成直角三角形，不符合题意；
C. ，能组成直角三角形，不符合题意；
D. ，能组成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A．

【思路引导】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
2．（2022八上·大丰期中）的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【规范解答】解：A.∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.设，则∠，
∵，
∴，解得，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【思路引导】根据勾股定理逆定理可怕的A、D；根据B、C中的条件结合内角和定理求出∠A、∠C的度数，据此判断.
3．（2022八上·东阳期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长， 可看作两直角边分别是12﹣x和3的Rt△BDP的斜边长.于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小.请你解决问题：当0＜x＜4时，则代数式 的最小值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【规范解答】解：依题意如图，AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4﹣x，

∴AE＝1+2＝3，BE＝4，
∴AB ＝5，
∴代数式 的最小值是5.
故答案为：B.
【思路引导】依题意可得：AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4-x，则AE=AC+CE=3，BE=4，利用勾股定理求出AB，进而可得代数式的最小值.
4．（2022八上·南海期中）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，—只在A点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（　　）

A．9 B．13 C．14 D．
【答案】B
【规范解答】解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，

根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为，
恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，
即长为，宽为5，
∴，
即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．
故答案为：B．
【思路引导】将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AB的长即可。
5．（2021八上·运城期中）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点 处有一滴糖浆，容器外 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为 ，宽为 ，高为 ，点 距底部 ，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【规范解答】解：沿着上面和棱将A点翻折至 处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，

将容器展开：





∵
∴蚂蚁需爬行的最短距离是
故答案为：D

【思路引导】沿着上面和棱将A点翻折至 处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，分三总情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可。
6．（2021八下·浦北期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　　）

A．2 B．2.4 C．3.2 D．3.6
【答案】B
【规范解答】解：如图，连接AP.

在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴FE＝AP，
∵AP的最小值即为斜边AB上的高，
∴AP的最小值＝ ＝2.4，
∴EF的最小值为2.4.
故答案为：B.
【思路引导】连接AP，利用勾股定理的逆定理可证得△ABC是直角三角形，由此可证得四边形AEPF是矩形，利用矩形的性质可证得FE=AP，利用垂线段最短，可知AP的最小值即为斜边AB上的高，利用三角形的面积公式求出EF的最小值.
7．（2021八下·合肥期中）如图，△ABC中，∠ABC=30°，BC=6，点D是BC边上一点，且BD=2，点P是线段AB上一动点，则PC+PD的最小值为(　　)

A．2 B．2 C．2 D．3
【答案】A
【规范解答】解：
作点C关于直线AB的对称点C′，连接CC′，作C′E⊥BC，连接C′D,
所以CC′⊥AB,并且PC=PC′，△BCC′为等腰三角形
所以PC+PD=PC′+PD，最小值为P、C′、D三点共线时C′D的值，
∵∠ABC=30°，BC=6，
∴∠BCC′=60°
∴△BCC′为等边三角形，
∴BE=CE=3，CC′=6
∴C′E=
∵DE=BE-BD=3-2=1
∴C′D=
所以PC+PD的最小值为
故答案为：A
【思路引导】本题考查最短路径问题、等腰三角形、等边三角形的性质、勾股定理的综合运用，将PC+PD的最小值转化为点C关于AB 的对称点C′到D的距离，然后利用等腰三角形与等边三角形的性质以及勾股定理求解即可。
二、填空题
8．（2022八上·黄岛期末）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为　 　（取3）．

【答案】15
【规范解答】解：将半圆面展开可得，如图所示：

∵滑行部分的斜面是半径为3的半圆
∴，
∵， ，
∴，
在中，
．
故答案为：15．

【思路引导】将立体几何转化为平面几何，再利用勾股定理求出AE的长即可。
9．（2022八上·埇桥期中）如图，圆柱体中底面周长是，是底面直径，高，点是上一点且，一只从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路程是　 　．

【答案】10cm
【解析】【解答解：如图展开，连接，则线段的长是从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短距离，

∵，
∵圆柱的底面周长为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：10cm．

【思路引导】连接，则线段的长是从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短距离，再利用勾股定理求出AP的长即可。
10．（2022八上·兴平期中）如图，点D在内，，，，，则图中阴影部分的面积为　 　．

【答案】
【规范解答】解：∵在Rt△BDC中
，
∵，
∴，
∴∠ACB=90°，
∴S阴影部分=.
故答案为：
【思路引导】利用勾股定理求出BC的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形；然后根据阴影部分的面积等于△ABC的面积减去△BDC的面积，利用三角形的面积公式可求出阴影部分的面积.
11．（2022八上·衢州期中）如图，△ABC是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为9cm， 则正方形I，Ⅱ的面积之和为　 　cm2．

【答案】81
【规范解答】解：∵△ABC是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为9cm，
∴AC2+BC2=AB2，AB=9，
∴AC2+BC2=81，
∴正方形I，Ⅱ的面积之和为81cm2.
故答案为：81
【思路引导】利用勾股定理可证得AC2+BC2=AB2，根据最大的正方形的边长为9cm，可得到AB的长，由此可求出AC2+BC2的值，即可得到正方形I，Ⅱ的面积之和.
12．（2022八上·杭州期中）如图，一根长的木杆斜靠在竖直的墙上，这时到墙底端的距离为，木杆的顶端沿墙面下滑，那么点将向外移动　 　；木杆在下滑过程中，面积最大为　 　．

【答案】0.8；
【规范解答】解：在 中，
， ，
，
又 ，
，
在 △ 中，
，
则 ．
如图，作AB边上的中线CD ，

在 中， ．
当 为高时， 取得最大面积为： ．
故答案为：0.8， ．
【思路引导】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC的长，在Rt△A'B'C中，利用勾股定理算出B'C的长，进而根据BB'=CB'-CB算出BB'的长；作AB边上的中线CD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD的长，当CD为高时，△ABC的面积最大，进而根据三角形面积计算公式计算即可.
13．（2022八上·罗湖期中）如图，已知点是长方形中边上一点，将四边形沿直线折叠，折叠后点的对应点为，点的对应点为，若点在上，且，，则　 　．

【答案】5
【规范解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴∠D=∠C=∠DAB=90°，AB=DC=10，AD=BC=8，
根据折叠的性质可得：∠D'=∠D=90°，∠C'=∠C=90°，BC'=BC=8，D'C'=DC=10，
∴，
∴AD'=D'C'-AC'=10-6=4，
设DE=D'E=x，则AE=8-x，
∴；
∴x=3，
∴AE=5，
故答案为：5.
【思路引导】利用勾股定理先求出AC'=6，再求出AD'的值，最后计算求解即可。
14．（2022八上·雁塔期中）如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是　 　．

【答案】
【规范解答】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形；

∵台阶阶梯每一层高，宽，长
∴ （）
故答案为：

【思路引导】将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据两点之间线段最短知AB的长即为最短距离，利用勾股定理求解即可.
三、解答题
15．（2023八上·榆林期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）.如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高）

【答案】解：在 中，∵ ， （m），
∴ （m），
在 中，∵ ， ， （m），
∴ （m），
∴ （m），
答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离 为 .
【思路引导】利用已知条件可得到∠AOB=90°，同时可求出OB的长，利用勾股定理求出AO的长；再在Rt△COD中，可得到OD的长，利用勾股定理求出OC的长；然后根据AC=OA-OC，代入计算求出AC的长.
16．（2022八上·大丰期中）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB.

【答案】解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米，
在Rt△ABC中，，
即，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米.
【思路引导】设AB＝x米，则AC＝(x＋1)米，由图可得：∠ABC＝90°，BC＝5米，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求解即可.
17．（2022八上·太原期中）为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．

【答案】解：该材料符合设计要求，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该材料符合设计要求．
【思路引导】先利用勾股定理的逆定理证明，，可得，即可得到，从而得解。
18．（2022八上·沈北新期中）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)

【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，
∴AB＝＝12(米)，
由题意，得CD＝13－0.5×10＝8(米)，
∴AD＝＝＝ (米)，
∴BD＝AB－AD＝(12－)米，
答：船向岸边移动了(12－)米．
【思路引导】先利用勾股定理求出AB和AD的长，再利用线段的和差求出BD的长即可。
19．（2022八下·慈溪期末）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C.

（1）若 米， 米.
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）.
（2）若 ，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小.
【答案】（1）解：∠C=90°， 米，
∴ 米，
①根据题意得： ，
∴ 米，
∴ 米，
∴ 米，
即点B将向外移动 米；
②竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下：
设从A处沿墙 下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据题意得：
，
解得： （舍去），
∴从A处沿墙 下滑的距离为3.5米时，点B也向外移动的距离为3.5米，
即竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等；
（2）解：不可能相等，理由如下：
设AC=BC=a，从A处沿墙 下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则 ，根据题意得：
，
整理得： ，
即 ，
∵a、m、n都为正数，
∴ ，即 .
∴顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离.
【思路引导】（1）①利用勾股定理可得AC的值，由题意可得AA′=1m，则A′C=AC-AA′=5米，利用勾股定理可得B′C，然后根据BB′=B′C-BC进行计算；
②设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据勾股定理可得关于x的方程，求解即可；
（2）设AC=BC=a，从A处沿墙AC下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则AB=A′B′=a，根据勾股定理可得(a-m)2+(a+n)2=(a)2，化简可得m-n=，根据a、m、n都为正数可得m>n，据此解答.
20．（2021八上·朝阳期末）（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，所以．

（1）（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，其中，，根据拼图证明勾股定理．
（2）（定理应用）在中，，、、所对的边长分别为、、．求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵
∴．
∴．
∵．
∴．
∵直角梯形的面积可以表示为，也可以表示为，
∴，
整理，得．
（2）解：在中，，
∴；
∵．
∴．
【思路引导】（1）根据阅读内容，图中梯形的面积分别表示为，即可得出结论；
（2）分解因式，根据勾股定理即可得出结论。