【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第11讲 《分式》单元整体分类复习

第11讲 《分式》单元整体分类复习

考点一  分式的意义与基本性质：

【知识点睛】

1.分式概念：如果A、B是整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，分式中A叫做分子，B叫做分母。

2.分式有意义的条件：

3.分式值为零的条件：

4.分式的基本性质：

5.分式约分的结果必须是整式或最简分式！

      最简分式：分式的分子分母中不含有公因式的分式

6.分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

【类题训练】

1．在式子①；②；③；④；⑤；⑥中，分式有 　   　个．

2．使式子有意义的x的取值范围是 　      　．

3．对于分式，当x　      　时，分式有意义．

4．下列分式中，当a取任何实数时，该分式总有意义的是（　　）

A． B． C． D．

5．若分式的值为0，则a的值为 　       　．

6．当x　                  　时，分式的值为正．

7．若a3+3a2+a＝0，则＝　     　．

8．已知的值为正整数，则整数m的值为 　      　．

9．下列从左到右变形正确的是（　　）

A． B． C． D．

10．与分式相等的是（　　）

A． B． C． D．

11．＝　   　（用“+”“﹣”号填在括号内）

12．若，则分式＝（　　）

A．5 B．3 C．2 D．2a

13．将分式中的x、y都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）

A．不变 B．扩大为原来的2倍 

C．扩大为原来的4倍 D．缩小到原来的

14．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（　　）

A．扩大1000倍 B．扩大100倍 C．扩大10倍 D．不变

15．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　）

A．   B．    C．   D．

16．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数．

（1）     （2）．

17．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如 ．

（1）下列分式中，属于真分式的是　   　

A、    B、     C、   D、

（2）将假分式，化成整式和真分式的和的形式．

考点二  分式的混合运算及化简：

【知识点睛】

1.分式的乘除法法则：

2.同分母分式的加减法则：

3.异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分式，然后再加减；

4.分式的混合运算法则：

先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，能约分的先约分

5.分式的化简求值问题中，一般先化简，再求值，且化简结果应为整式或最简分式。

{分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数适当的大，适合的数排除分母}

【类题训练】

1．下列约分正确的是（　　）

A．   B．    C．   D．

2．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（　　）

A．   B．    C．   D．

3．在化简＝……①＝……②

其中步骤①、②的运算依据分别属于（　　）

A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分 

C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分

4．把，通分，下列计算正确的是（　　）

A．＝，＝    B．＝，＝ 

C．＝，＝    D．＝，＝

5．请你从x2+y2，x+y，x2﹣y2，x﹣y中选出两个代数式分别作为分子、分母组成一个最简分式，那么这个最简分式可以是 　                  　（写出一个即可）．

6．下列分式：

①；②；③；④中，

最简分式是 　     　．

7．分式，，的最简公分母为（　　）

A．12a2b2 B．a2b2c C．12abc D．12a2b2c

8．计算（）2÷的结果是（　　）

A． B． C． D．

9．计算12a2b4的结果等于 　       　．

10．若，则分式的值为（　　）

A． B． C． D．

11．设p＝，q＝，则p，q的关系是（　　）

A．p＝q B．p＞q C．p+q＝0 D．p＜q

12．观察下列各式：a1＝1，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足则，则a2023＝　                  　．

13．已知，则AB的值 　   　．

14．在计算时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（　　）

嘉嘉：＝＝＝1

琪琪：＝＝＝＝1

A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．都正确 D．都不正确

15．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米（m＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（m﹣1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米2和Q千克/米2．下列说法：

①P＞Q；②P＝Q；③P＜Q；④P是Q的倍．其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

16．若a＝，则a2的值为（　　）

A．11 B．±11 C．13 D．±13

17．若x﹣y＝3xy，则的值是（　　）

A．﹣3 B．3 C． D．

18．阅读下面的材料，并解答问题：

分式的最大值是多少？

解：，

因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4．

根据上述方法，试求分式的最大值是 　   　．

19．甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b是正数，且a≠b），那么甲所购面粉的平均单价是　                  　元/kg，乙所购面粉的平均单价是　                  　元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为　                  　元/kg．（结果用含a，b的代数式表示，需化为最简形式）

20．已知x2﹣3x+1＝0，则的值为 　   　．

21．先化简：（），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．

22．先化简，再求值：，其中满足a满足a2﹣4a＝﹣3．

23．先化简，再求值：÷，其中实数x、y满足．

考点三  分式方程及增根无解问题：

【知识点睛】

1.分式方程：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程

2.分式方程的解法步骤：

①分式方程两边同乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程

②解出对应的整式方程       

③验根

3.分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值；

☆：分式方程会无解的几种情况

①解出的x的值是增根，须舍去，无解

②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解

☆：求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤：

①让最简公分母为 0 确定增根；

②去分母，将分式方程转化为整式方程；

③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；

④解含参数字母的方程的解。

【类题训练】

1．在①x2﹣x+，②﹣3＝a+4，③+5x＝6，④＝1中，其中关于x的分式方程的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．解分式方程﹣＝2时，去分母后变形为（　　）

A．2﹣（x﹣1）＝2（x﹣3） B．2+（x﹣1）＝2（x﹣3） 

C．2﹣（x﹣1）＝2 D．2+（x﹣1）＝2（3﹣x）

3．若关于x的分式方程﹣＝0的解为x＝3，则常数a的值为（　　）

A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝﹣1 D．a＝1

4．定义一种“⊗”运算：a⊗b＝（a≠b），例如：1⊗3＝，则方程2⊗x＝+1的解是（　　）

A．x＝﹣1 B． C． D．x＝2

5．解下列方程：

（1）+＝4；    （2）﹣＝0．

6．解下列方程：

（1）；   （2）．

7．关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）

A．﹣2 B．3 C．﹣3 D．2

8．若关于x的分式方程+＝有增根x＝﹣2，则k的值为 　    　．

9．若关于x的分式方程+＝会产生增根，则m的值为 　  　．

10．若关于x的方程＝a无解，则a的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．0 D．±1

11．若关于x的分式方程＝无解，则k的值为（　　）

A．1或4或﹣6 B．1或﹣4或6 C．﹣4或6 D．4或﹣6

考点四  分式方程应用题：

【知识点睛】

常见问题的等量关系：

1.销售问题：，，，

2. 行程问题：，
3. 工程问题：，

【类题训练】

1．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）

A．            B．

 C．           D．

2．同学聚餐预定的酒席价格为2400元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分推，则每人比原来多支付40元，设原来有x人参加聚餐，由题意可列方程（　　）

A．          B．  

C．          D．

3．某工程队要对一条长3千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，每天比原计划多改造10米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际每天改造x米，则可列方程为（　　）

A．     B． 

C．         D．

4．某车间加工1200个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用10h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（　　）

A．      B． 

C．      D．

5．某服装店用4000元购进一批A型号服装，很快售完：该店又用了5500元购进第二批A型号服装，所进件数比第一批多25%，第二批A型号服装每件进价比第一批A型号服装每件进价多10元，求第一批购进A型号服装多少件？若设第一批购进A型号服装x件，则可列方程为（　　）

A．     B． 

C．         D．

6．八年级（3）班小王和小张两人练习跳绳，小王每分钟比小张少跳60个，小王跳120个所用的时间和小张跳180个所用的时间相等．设小王跳绳速度为x个每分钟，则列方程正确的是（　　）

A．    B．     C．    D．

7．在某核酸检测任务中，乙医疗队比甲医疗队每小时少检测12人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（　　）

A．＝×（1﹣10%） B．×（1﹣10%）＝ 

C．＝×（1﹣10%） D．×（1﹣10%）＝

8．某电商准备销售甲，乙两种特色商品，已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价多20元，用5000元购进甲型商品的数量与用4500元购进乙商品的数量相等．甲，乙两种商品的销售单价分别为在其进价基础上增加60%和50%．

（1）求甲、乙两种商品每件进价分别为多少元？

（2）该电商平均每天卖出甲商品200件，乙商品100件，经调查发现，甲，乙两种商品销售单价都降低1元，这两种商品每天都可多销售2件，为了使每天获取更大的利润，该电商决定把甲，乙两种商品的销售单价都下降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲，乙两种商品获取的总利润最大？

9．2021年10月17日是我国第8个扶贫日，也是第29个国际消除贫困日．为组织开展好扶贫日系列活动，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一批生姜送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等．

（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜？

（2）如果这批生姜有1535箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了55箱，其它装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？

10．受新冠肺炎疫情持续影响，医用防护服和防护面罩的需求大大增加，为保障一线医护人员的健康安全，重庆一医疗器械有限公司组织甲、乙两个生产组进行防护服生产，甲生产组工人的人数比乙生产组工人人数多10人，由于乙生产组采用的新生产技术，所以乙生产组每天人均生产的防护服套数是甲生产组每天人均生产的防护服套数的倍，甲生产组每天可生产防护服2160套，乙生产组每天可生产防护服1920套．

（1）求甲、乙两个生产组各有工人多少名？

（2）随着天气转谅，疫情有所反弹，医用防护服的需求急增，该公司紧急组织甲、乙两个生产组加班生产一批防护服，并且在每个生产组都加派了生产工人．甲生产组的总人数比原来增加了，每天人均生产的防护服套数比来增加了a%；乙生产组的总人数比原来增加了5a%，每天人均生产的防护服套数比原来增加了24套，现在两个生产组每天共生产防护服7200套，求a的值．