2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案

专题四  三角函数与解三角形

第十二讲 解三角形

答案部分

2019年

1.解：（1）由已知得，故由正弦定理得．

由余弦定理得．

因为，所以．

（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，

即，可得．

由于，所以，故

．

2.解析：由余弦定理有，
因为，，，所以，

所以，.

3.解析（1）由题设及正弦定理得．

因为，所以．

由，可得，故．

因为，故，因此．

（2）由题设及（1）知△ABC的面积．

由正弦定理得．

由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故，从而．

因此，面积的取值范围是．

4.解析  设，

，

所以，解得，

所以，，

，

因为，所以，

所以，所以.

5.解析 （1）由余弦定理，得，即.

所以.

（2）因为，

由正弦定理，得，所以.

从而，即，故.

因为，所以，从而.

因此.

6.解析：在直角三角形ABC中，，，，，
在中，，可得；

，，

所以.
 

7.解析：（I）由余弦定理，得.

因为，所以.解得，

所以.

（II）由得.由正弦定理得.

在中，是钝角，所以为锐角.所以.

所以.

8.解析（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.

由余弦定理可得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

从而，，

故.

2010-2018年

1．A【解析】因为，所以由余弦定理，

得，

所以，故选A．

2．C【解析】根据题意及三角形的面积公式知，

所以，所以在中，．故选C．

3．A【解析】由，

得，

即，所以，即，选A．

4．A【解析】由余弦定理得,选A.

5．C【解析】设△中角，，的对边分别是，，，由题意可得

，则．在△中，由余弦定理可得

，则．

由余弦定理，可得，故选C．

6．B【解析】，∴，所以或．

当时，，

此时，易得与“钝角三角形”矛盾；

当时，．

7．A【解析】因为，由

得，

即，

整理得，

又，

因此，由

得，

即，因此选项C、D不一定成立．又，

因此，即，选项A一定成立．又，

因此，显然不能得出，选项B不一定成立．综上所述，选A．

8．C【解析】由可得①，由余弦定理及可得②．所以由①②得，所以．

9．C【解析】∵，

∴．

10．D【解析】，，由余弦定理解得．

11．A【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以．

12．C【解析】由余弦定理可得，再由正弦定理得．

13．B【解析】∵，

∴由正弦定理得，

∴，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．

14．B【解析】由正弦定理得：．

15．D【解析】由正弦定理，得，

即，，∴．

16．D【解析】设，则，，，在中，由余弦定理得，则，在中，

由正弦定理得，解得．

17．A【解析】因为，，

所以，

所以

因为，所以，所以．故选A．

18．9【解析】因为，的平分线交于点，

所以，

由三角形的面积公式可得，

化简得，又，，所以，

则，

当且仅当时取等号，故的最小值为9．

19．；3【解析】因为，，，所以由正弦定理得

．由余弦定理可得

，所以．

20．,【解析】由余弦定理可得，

，

由

所以，

．

因为，所以，所以，

．

21．【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以

．

22．【解析】∵，，

所以，，

所以，

由正弦定理得：解得．

23．1 【解析】由得或，因为，所以，所以，于是．有正弦定理，得，所以．

24．7【解析】由已知得的面积为，

所以，，所以．

由余弦定理得，．

25．

 【解析】如图作，使，，作出直线分别交线段、于、两点（不与端点重合），且使，则四边形就是符合题意的四边形，过作的平行线交于点，在中，可求得

，在中，可求得，所以的取值范围为

．

26．1【解析】∵，

而．

27．8 【解析】 因为，所以，

又，，

解方程组，得，，由余弦定理得

，所以．

28．【解析】依题意，，，在中，

由，

所以，因为，由正弦定理可得，

即 m，在中，因为，，

所以，所以 m．

29．150【解析】在三角形中，，在三角形中，

，解得，

在三角形中，，故．

30．2【解析】由得：，

即，，∴，故．

31．【解析】，

，所以．

32．【解析】∵

∴根据余弦定理可得，

．

33．①②③【解析】①

②

③当时，与矛盾

④取满足得：

⑤取满足得：．

34．4【解析】根据余弦定理可得，解得b=4．

35．【解析】 在中，根据，

得，同理，

因此

．

36．【解析】根据得，

，

所以

=．

37．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性．

当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，

，，= 4．

（方法二），

．

由正弦定理，得：上式．

38．【解析】由得，即，

因，所以.又因为

由正弦定理得，

解得，而则,故．

39．【解析】(1)在中，∵，∴，

∴．

由正弦定理得，∴．

∵，∴，∴．

(2)在中，∵

==．

如图所示，在中，∵，∴=，

∴边上的高为．

40．【解析】(1)在中，由正弦定理得．

由题设知，，所以．

由题设知，，所以．

(2)由题设及(1)知，．

在中，由余弦定理得

．

所以．

41．【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，

又由，得，

即，可得．

又因为，可得．

(2)在中，由余弦定理及，，，

有，故．

由，可得．因为，故．

因此，

所以，

42．【解析】（1）由题设得，即

由正弦定理得．

故．

（2）由题设及（1）得

所以，故．

由题设得，即．

由余弦定理得，即，得．

故的周长为．

43．【解析】（1）由已知得 ，所以．

在中，由余弦定理得，即．

解得（舍去），

（2）有题设可得，所以．

故面积与面积的比值为．

又的面积为，所以的面积为．

44．【解析】由题设及得，故．

上式两边平方，整理得，

解得（舍去），．

（2）由得，故．

又，则．

由余弦定理及得

．

所以． 

45．【解析】（Ⅰ）在中，因为，故由，可得．

由已知及余弦定理，有，所以.

由正弦定理,得.

所以，的值为，的值为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以，

．

故．

46．【解析】（Ⅰ）在△ABC中，因为，，

所以由正弦定理得．

（Ⅱ）因为，所以，

由，所以．

由余弦定理得，

解得或（舍）．

所以△ABC的面积．

47．【解析】(Ⅰ)由

得，

所以，由正弦定理，得．

（Ⅱ）由

．

所以的最小值为．

48．【解析】（I）证明：由正弦定理可知

原式可以化解为

∵和为三角形内角 ,  ∴

则，两边同时乘以，可得

由和角公式可知，

原式得证。

（II）由题,根据余弦定理可知，

 ∵为三角形内角，，

则，即

由（I）可知，∴．

∴．

49．【解析】(1)

由正弦定理得：

∵，

∴

∴，

∵

∴．

⑵ 由余弦定理得：

∴

∴

∴周长为

50．【解析】(Ⅰ)

因为，，所以．

由正弦定理可得．

(Ⅱ)因为，所以．在和中，

由余弦定理得，

．

．由(Ⅰ)知，所以．

51．【解析】（1）由及正弦定理，得，

所以，即．

又为钝角，因此+(，)，故=+，即=；

（2）由（1）知，=(+)=(2+)=2>0，

所以，

于是==

=，

因为0<<，所以0<<，因此<2．

由此可知的取值范围是（，]．

52．【解析】（I）在中，由题意知，

又因为，所有，

由正弦定理可得．

（II）由得，，

由，得．

所以

．

因此，的面积．

53．【解析】：（Ⅰ）∵，∴，

由正弦定理得

∵，∴．

（Ⅱ）由余弦定理得，

由于，∴，

故．

54．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得==，∴PA=；

（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，

由正弦定理得，，化简得，，

∴=，∴=．

55．【解析】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理得：

，

所以，

即，因为0，所以，解得B=；

（Ⅱ）由余弦定理得：，即，由不等式得：，当且仅当时，取等号，所以，解得，所以△ABC的面积为=，所以△面积的最大值为．

56．【解析】（Ⅰ）

（II）

在中，．

57．【解析】（1）由正弦定理得：

（2）

，解得：．

58．【解析】（I）由正弦定理，设

则

所以

即，

化简可得又，

所以，因此

（II）由得

由余弦定理

解得a=1．因此c=2．

又因为所以

因此

59．【解析】由，得

再由正弦定理，得

由上述结果知

设边BC上的高为，则有

60．【解析】由题意知海里，

在中，由正弦定理得

=（海里），

又海里，

在中，由余弦定理得

=

30（海里），则需要的时间（小时）．

答：救援船到达D点需要1小时．

61．【解析】（1），同理：，．

AD—AB=DB，故得，解得：．

因此，算出的电视塔的高度H是124m．

（2）由题设知，得，

，（当且仅当时，取等号）故当时，最大．

因为，则，所以当时，-最大．

故所求的是m．