浙江省金华市东阳中学2022-2023学年高二数学上学期7月月考试题（Word版附解析）

东阳中学新高二7月月考试卷数学

一.选择题(共8小题，满分40分，每小题5分)

1. 若，则在复平面内对应的点位于（    ）

A 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断.

【详解】因为，所以，

故对应的点位于复平面内第二象限.

故选：B.

【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.

2. 已知、为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（　　）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】在平面、外一点作、，设直线、确定平面，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质可得出结论.

【详解】因为、为异面直线，在平面、外一点作、，则、相交，

设直线、确定的平面，如下图所示：

因为，，则，，又因为，所以，，

因为，，故，又，故，同理可证，

若，由，可知，矛盾，故，

，，则，同理可得，所以，，，

因为，则，所以，.

故选：D.

3. 已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为x，方差为，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】利用平均数和方差公式进行计算.

【详解】某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，

则，∴.

故选：C.

4. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小可得答案.

【详解】，，所以，

由，得，得，

综上所述：.

故选：D

5. 已知函数，现将的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则在的值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将按照题目要求变换可得，再根据范围求出相位角的范围，继而求出的范围，则函数的值域可得.

【详解】函数的图像向右平移个单位，

得到函数的图像，

再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，

得到函数的图像；

由于，故，

故，可得.

故选：A.

6. 设a,b,c分别是的三个内角 所对的边，若, 则是 的（　　）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：因为，时，由正弦定理得，，所以B=60°或120°，反之，时，由正弦定理得，A=30°，故若,则是的必要不充分条件，选B．

考点：本题主要考查差应用角的概念，正弦定理的应用．

点评：中档题，涉及充要条件的判定问题，往往综合性较强，涉及知识面广．充要条件的判定方法有：定义法，等价关系法，集合关系法．

7. 已知函数，则不等式的解集为（    ）

A.  B. 或 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.

【详解】函数中，

在上单调递减，在上单调递减，且，

则函数在定义域上单调递减，

，

，解得：，

即不等式的解集为.

故选：D.

8. 已知向量满足：.设与的夹角为，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，则，根据，求得，利用及平方关系即可求出的最大值.

【详解】解：设，则，

因为，所以，

所以，则，

，

因为，

所以，

令，则，

当时，取得最大值，即取得最大值，

所以的最大值为，

即的最大值为.

故选：A.

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9. 下列化简正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】通过两角和差弦切公式的逆用，以及降幂公式，即可化简求值.

【详解】

，故A选项正确；

,故B选项正确；

,故C选项正确；

，

故D选项错误；

故选：ABC.

10. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，则下列说法正确的是（    ）．

A. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则

B. 若甲、乙两组数据的方差分别为，，则

C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差

D. 甲成绩比乙成绩稳定

【答案】AD

【解析】

【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，由平均数的计算公式以及方差的计算公式结合极差的定义对四个选项逐一判断即可．

【详解】解：由折线图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，

其他次考试成绩都高于乙同学，所以，故选项A正确；

由折线图的变化趋势可知，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，

所以，故选项B错误，选项D正确；

极差为数据样本的最大值与最小值的差，

所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差，故选项C错误．

故选：AD．

11. 在中，，点为直线上的点.则（    ）

A. 当时，

B. 当时，

C. 当为的角平分线时，

D. 当时，为的角平分线

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据各个选项所给的条件，利用正弦定理解三角形即可得到答案.

【详解】解：A，当时，在中，，故A对；

B，当时，在中，由正弦定理得：，解得，

因为，所以，即，故B正确；

C，当为的角平分线时，则，在中，由正弦定理得：，则，故C正确；

D，当时，在中，由正弦定理得：，则，因为，所以或，或，当时，与重合，故不一定为的角平分线，故D错误.

故选：ABC.

12. 如图，在直角梯形中，，，，，点在线段上，现将沿折起为，记二面角的平面角为，底面，垂足为，则下列说法正确的是（    ）

A. 不存在，使得

B. 若，则存在，使得平面平面

C. 若，则四棱锥体积的最大值为

D. 当时，的最小值为

【答案】BC

【解析】

【分析】作，垂足为，点在直线上，利用线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断选项，利用线面垂直的判断定理和面面垂直的判定定理，即可判断选项，当四棱锥的体积最大，则，即点为点，由锥体的体积公式求解，即可判断选项，点的轨迹是以为直径的一段圆弧，由此求解的最小值，即可判断选项．

【详解】解：作，垂足为，点在直线上，

对于，当为的中点且时，，垂足为，

由已知可得，又，，平面，

所以平面，又平面，

则，故选项错误；

对于，当时，，当点即为点时，平面，又平面，

所以平面平面，故选项正确；

对于，当时，，

若四棱锥的体积最大，则，即点为点，

此时，

则四棱锥的体积为，

故选项正确；

对于，点的轨迹是以为直径的一段圆弧，记的中点为，

则的最小值为，故选项错误．

故选：．

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13. 蚌埠市2022年人冬第一周出现了“小阳春”，气温跟往年比偏高，这一周（11月6日至11月12日）的日最高气温（单位：℃）分别为，，，，，，，则这周的日最高气温的分位数是___________℃.

【答案】

【解析】

【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.

【详解】依题意将数据从小到大排列为，，，，，，，

又，所以第分位数为第个数即.

故答案为：

14. 从分别写有1.2.3.4.5.6.7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意写出抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的所有基本事件，然后代入古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件，

事件包括以下种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

而有放回地连续抽取2张卡片共有（种）不同情况，

则．

故答案为：.

15. 已知球的球面面积为，四面体的四个顶点均在球面上，且平面，，，则该四面体的体积的最大值是____．

【答案】

【解析】

【分析】先根据球的表面积求出半径，再利用球心到底面的射影点为的外接圆圆心，构造直角三角形，求出外接圆半径，再利用解三角形知识求出的面积最大值，便可知该四面体的体积最大值.

【详解】设球的半径为，由球的球面面积为得，，，

设球心到平面内的射影点为，连接，，，

则有，平面，且为的外接圆圆心，

又平面，，所以，所以.

即的外接圆半径为，

在中，记，，，又，

由正弦定理得，，.

由余弦定理得，，，

所以的面积，

故四面体的体积，

当且仅当时，等号成立

故答案为：.

16. 在中，若，则的最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】先由题证明得，再化简得，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.

【详解】首先证明：在△ABC中，有,

在△ABC中，由余弦定理得，

由正弦定理得，

令，

上述两式相加得

所以

=,

当即时取等.

故答案为：.

四.解答题(共6小题，满分70分)

17. 已知函数．

（1）求的最小正周期和对称轴方程；

（2）若函数在上的值域．

【答案】（1）最小正周期为，对称轴为   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用两角和差、二倍角和辅助角公式化简得到，由正弦型函数最小正周期、对称轴方程的求法直接求解即可；

（2）利用整体代换法，结合正弦函数的性质可确定值域.

【小问1详解】

，

的最小正周期；

令，解得：，

的对称轴方程为.

【小问2详解】

当时，，，

即在上的值域为.

18. （Ⅰ）在复数范围内解方程：；

（Ⅱ）如图，在矩形中，，，为中点，点在边上，若，求的值．

【答案】（Ⅰ）方程的根为或；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）把方程化为，开平方求出方程的解；

（Ⅱ）建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算的值．

【详解】解：（Ⅰ）方程可化为，

所以，

解得原方程的根为或．

（Ⅱ）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则，，，．

设，，

由，解得，

所以，，

所以．

19. 某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.

（1）求居民月收入在的频率；

（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？

【答案】（1）0.15   

（2）2400元    （3）25人

【解析】

【分析】（1）根据图中所对应的频率/组距的值，乘上组距，即可得到月收入在的频率.

（2）通过比较几个区间的频率之和与0.5的关系，判断出中位数所在区间，进而求出样本数据的中位数.

（3）根据表格先居民月收入在的频率，接着计算10000人中月收入在的人数，再根据分层抽样抽出100人，计算得出月收入在的这段应抽取的人数.

【小问1详解】

月收入在的频率为：

∴居民月收入在的频率为0.15.

【小问2详解】

，

，

，

，

∴样本数据的中位数为

∴样本数据的中位数为2400元.

【小问3详解】

居民月收入在的频率为：

，

∴10000人中月收入在的人数为：

，

再从10000人中分层抽样方法抽出100人，

则月收入在的这段应抽取：

，

∴月收入在的这段应抽25人.

20. 如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点C，点D是的中点，且.

（1）证明：；

（2）已知，，，求直线与平面所成角正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）可证平面，从而可证.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出的方向向量与平面的法向量后可求线面角的余弦值.

【小问1详解】

证明：∵点在底面内的射影是点C，

∴平面，∵平面，∴.

在中，，∴，

∵，∴平面.

∵平面，∴.

【小问2详解】

解：在平面内，过点B作，则平面，

以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，故，.

设平面的法向量为，

可取.

又，∴，

∴直线与平面所成角正弦值为.

21. 在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：

（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；

（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p（x）.

【答案】（1）（2）x的取值为2或4, .

【解析】

【分析】

（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；

（2）先根据比赛规则确定x的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.

【详解】（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，

所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，

（2）根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为

两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为；

两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.

【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查综合分析求解能力，属中档题.

22. 已知函数是偶函数．

（1）求的值；

（2）若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用偶函数的定义结合对数运算可求得实数的值；

（2）分析函数在上的单调性，令，，则对恒成立，对实数的取值进行分类讨论，验证对能否恒成立，综合可得出的取值范围.

【小问1详解】

因为，

所以，

，

因为函数为偶函数，则，即，

所以，，解得.

【小问2详解】

由（1）可得

，

，

任取、，且，则，

，

当时，，则，

所以，，即，

当时，，则，

所以，，即，

所以，函数在上递减，在上递增，

令，问题转化为：，即，

再令，所以，对恒成立．

（i）当时，左边，右边，不符合题意

（ii）当时，

①当时，则，，

当时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则，解得，此时；

②当时，有，

所以，，

当，则，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，故在上的最大值为，

所以，，此时，；

③当时，恒成立，符合题意．

综上所述，的取值范围是，的取值范围是．

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；