浙江省绍兴市越州中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

越州中学2022学年第二学期期中教学诊断性测试

高一数学试题

考生须知：

1．本卷共4 页满分100分，考试时间120分钟.

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4．考试结束后，只需上交答题纸.

第一部分　选择题部分

一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知是虚数单位，则复数的虚部是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的概念求解即可.

【详解】复数的实部是1，虚部是.

故选：B

2. 若，则（    ）

A. 7 B.  C. 5 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量的模的坐标表示即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：B.

3. 内角，，所对的边分别为，，．若，，，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理计算即可求解.

【详解】在中，因为，，，

由正弦定理，即，得，

又，所以.

故选：C.

4. 已知，且为第二象限角，那么　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由的值及为第二象限角，利用同角三角函数间基本关系求出的值，即可求出的值．

【详解】，且为第二象限角，

，

则，

故选D．

【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

5. 是第几象限角（　　）

A. 第一象限角 B. 第二象限角

C. 第三象限角 D. 第四象限角

【答案】C

【解析】

【分析】根据终边相同的角的定义求解.

【详解】因为，

所以与终边相同，且的终边在第三象限，

所以是第三象限角，

故选:C.

6. 如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且．若，则（    ）

A ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量减法的几何意义，化简整理即可得出答案.

【详解】因为，所以有，

整理可得.

故选：A.

7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由正弦函数的图象的对称性可得，由此可以求出的值.

【详解】由题得：，故，而，所以.

故选：B.

8. 奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】延长交于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得，再利用和可得，不妨设，利用可求出的值，从而可求出的值.

【详解】延长交于点P，

是的垂心，，

．

同理可得，．

又，

．

又，

．

不妨设，其中．

，

，解得．

当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．

故，则，故C为锐角，

∴，解得，

故选：B．

【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用垂心的性质得，再结合已知条件得，设，再利用两角和的正切公式可得，从而可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于较难题.

二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）

9. 若复数满足，则（    ）

A.

B. 是纯虚数

C. 复数在复平面内对应的点在第三象限

D. 若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则

【答案】AB

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出，根据共轭复数的概念求出可得A正确；求出，根据纯虚数的定义可得B正确；根据复数的坐标表示可得C错误；根据复数的坐标表示和三角函数的定义可得D错误.

【详解】对于A：，，A正确；

对于B：为纯虚数，B正确；

对于C：，其在复平面内对应的点为，在第一象限，C错误；

对于D：复数在复平面内对应的点为，则，D错误.

故选：AB.

10. 如图，是单位圆上的两个点，点的坐标为，点以的角速度､点以的角速度均按逆时针方向开始在单位圆上运动，则（    ）

A. 时，的弧度数为

B. 时，扇形的弧长为

C. 时，扇形的面积为

D. 时，点，点在单位圆上第一次重合

【答案】BC

【解析】

【分析】根据已知条件，弧长公式及扇形面积公式，逐项分析即可求解.

【详解】时，点按逆时针方向运动，点按逆时针方向运动，此时的弧度数为，故不正确；

时，的弧度数为，故扇形的弧长为，故正确；

时，的弧度数为，故扇形的面积为，故正确；

设时，点，点在单位圆上第一次重合，则，解得，故不正确.

故选：.

11. 已知三个内角的对边分别是，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则为钝角三角形

C. 若为锐角三角形，则

D. 若，则为锐角三角形

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A：结合大角对大边及正弦定理即可求解；对于B：由向量夹角公式即可判断；对于C：由锐角三角形内角的性质与诱导公式即可求解；对于D：由余弦定理变形式即可求解.

【详解】对于A：由大角对大边及正弦定理可知：

，故A正确；

对于B：因为，所以，

所以为钝角，所以为钝角三角形，故B正确；

对于C：因为为锐角三角形，所以,

所以，故C正确；

对于D：因为，由正弦定理得：

，设，

由余弦定理变形式得：，

所以为钝角，故D错误.

故选：ABC.

12. 已知是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（　　）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】CD

【解析】

【分析】设，可得，，将转化为，结合图形即可求出最小值，进而求解.

【详解】

如图，设，则，设，易知在直线上，由可得，

，，又，则，

过作，易知，又，故，

结合选项，可能取值为或.

故选：CD.

第二部分    非选择题部分

三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13. 已知向量，，且，则实数_________．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示和向量平行的坐标表示可求出结果.

【详解】因为向量，，

所以，，

因为，所以，

所以.

故答案为：.

14. 已知，则__________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据诱导公式进行求解即可.

【详解】，

故答案为：

15. 小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若，，则.试用上述成果解决问题：已知，，，则___________.

【答案】1

【解析】

【分析】计算的坐标，结合结论求三角形的面积.

【详解】因为，，，

所以，

又当，时，，

所以，

故答案为：1.

16. 在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，．若，则的面积_________．

【答案】或

【解析】

【分析】由题意可知，根据复数的加减法法则的几何意义及余弦定理求出、，进而分类讨论当与反向、线段在的内部时的面积，即可求解.

【详解】由题意知，，

由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理，

得，即，

，即，

当与反向，；

当线段在的内部时，，

所以的面积为或.

故答案为:或.

四、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知＝4，＝8，与的夹角是120°．

（1）计算：||；

（2）当k为何值时，?

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据结合数量积的运算律即可得解；

（2）若，则，结合数量积的运算律，从而可得出答案.

【小问1详解】

解：；

【小问2详解】

解：若，

则，

即，

即，解得，

所以当时，

18. 如图，圆的半径为5，弦的长为 5.

（1）求圆心角大小；

（2）求扇形的弧长及阴影部分的面积.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）由等边三角形即可求解角.

（2）利用弧长公式以及扇形的面积公式即可求解.

【小问1详解】

由于圆O的半径为，弦AB的长为5，所以为等边三角形，所以．

【小问2详解】

因为，所以，，又，所以阴影部分的面积

19. 在中，角所对的边分别为，.

（1）若，求的值；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）弦化切后，将代入可求出结果；

（2）根据和求出，，结合求出，再根据三角形面积公式可求出结果.

【小问1详解】

因为，且,所以，

所以，得.

【小问2详解】

若，则，由（1）可得，则，
 

又，即，所以，，则，

所以是以为顶角的等腰三角形，所以，

所以的面积为.

20. 已知复数为纯虚数，且为实数.

（1）求复数；

（2）设，，若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据纯虚数的定义设出复数的表示形式，再根据复数除法运算法则，结合复数的分类进行求解即可；

（2）求出，结合在复平面内对应点所在象限，求出范围，结合模的计算求得答案.

【小问1详解】

设，且，

则.

又∵为实数，∴，即.

【小问2详解】

由（1）得，

由题知且，解得.

又∵，∴.

∴，即的取值范围是.

21. .

（1）求；

（2）将函数化为的形式，写出其最小正周期并求函数在区间上的值域.

【答案】（1）   

（2）最小正周期为，值域为

【解析】

【分析】（1）直接根据的解析式求值即可；

（2）根据两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简，由正弦函数的最小正周期公式求出最小正周期，由正弦函数的图象求出值域.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

所以的最小正周期，

由于，，，

所以，，

所以在区间上的值域为.

22. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿想在一望无际的麦田里划一块形为平面四边形的麦田成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B，D连接，经测量知，．

（1）霍尔顿发现无论多长，都为一个定值，试问霍尔顿的发现正确吗？若正确，求出此定值；若不正确，请说明理由.

（2）霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和有关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．

【答案】（1）正确，1   

（2）

【解析】

【分析】（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出的关系，即可得出是一个定值；

（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出的最大值.

【小问1详解】

在中，由余弦定理得：，

即，

在中，，

即

因此，即，

所以．

【小问2详解】

因为，

，

于是得

由（1）知，

因此

，

在中，，

在中，，则，

由，得，

即有，

从而当时，，