2022-2023学年广东省惠州市惠阳区东王实验学校九年级（下）寒假收心数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州市惠阳区东王实验学校九年级（下）寒假收心数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，一定有实数解的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列方程中，有实数解的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知线段是线段，的比例中项，且：：，那么：的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列函数中，随增大而增大的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，、分别是边、上的点，且，已知，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  菱形的两条对角线长分别为，，则它的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在边上，，连接，轴，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  若函数是反比例函数，则______．

12.  方程转化为一元二次方程的一般形式是____．

13.  如图是反比例函数在第二象限内的图象，若图中的矩形的面积为，则 ______ ．

14.  设、是方程的两个实数根，则的值为______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为，则的值为______．

 

16.  方程组的解是______．

17.  如图，点的坐标为，点是线段上的一个动点不运动至，两点，过点作轴，垂足为，以为边在右侧作正方形连接并延长交轴的正半轴于点，连接，若以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标是______．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
．

19.  本小题分
已知．
求．
若，求，，的值．

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例为常数，且的图象交于，两点．
求反比例函数的表达式及点的坐标；
在轴上找一点，使的值最小，求的最小值．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，且，求证：
证明≌；
当时，试说明四边形为矩形．

22.  本小题分
现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表不完整：
 

请根据以上信息，解答下列问题：
写出，，，的值并补全频数分布直方图；
本市约有名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过步包含步的教师有多少名？
若在名被调查的教师中，选取日行走步数超过步包含步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在步包含步以上的概率．

23.  本小题分
如图，在▱中，于点，的垂直平分线交于点，交于点，，，：：．
如图，作于点，交于点，将沿方向平移，得到，连接．
求四边形的面积；
直线上有一动点，求周长的最小值．
如图，延长交于点，过点作，过边上的动点作，并与交于点，将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在直线上，求线段的长．

 

24.  本小题分
如图，在正方形中，边长为，，将绕点旋转，其中边分别与射线、直线交于、两点，边与射线交于点；连接，且与直线交于点．
如图，点在线段上时，求证：；求证：垂直平分；
当时，求的长．

 

25.  本小题分
如图，在正方形中，点，分别是，上的点，且，连接，过点作，使，连接，．

猜想：如图，四边形是______ ．
探究：如图，若点，分别是，延长线上的点，其他条件不变，中结论是否仍然成立？请说明理由．
应用：如图，若点，分别是，延长线上的点，其他条件不变若与，分别交于，两点，交于点，，，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原方程变形为，，所以方程没有实数根，故A不符合题意；
B.，所以原方程有实数根，故B正确，符合题意；
C.原方程变形为，解得，当时，分式分母，因此是原分式方程的增根，方程无解，故C不符合题意；
D.原方程变形为，，所以原方程没有实数根，故D不符合题意．
故选：．
将无理方程化为一元二次方程运用根的判别式判断根的情况，将分式方程求解再检验判断是否增根，此题难度不大
本题考查了一元二次方程与分式方程的解，熟练运用一元二次方程根的判别式与解分式方程是解题的关键
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查解无理方程和分式方程，关键在于熟练掌握解无理方程和分式方程的方法．逐个对每一项进行分析解答，通过分析解答每一项的方程来了解它们有无实数解．
【解答】
解：原方程移项得，而，所以方程没有实数解；
B.对于，根的判别式，所以方程有实数解；
C.对于，根的判别式，所以方程没有实数解；
D.解分式方程，得，为增根，所以方程没有实数解；
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：线段是线段、的比例中项，：：，
：：：．
故选：．
直接利用比例中项的定义分析得出答案．
此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，随的增大而减小，故本选项错误；
B、，，此函数图象随的增大而增大，故本选项正确；
C、，，此函数图象随的增大而减小，故本选项错误；
D、，，此函数图象随的增大而减小，故本选项错误．
故选：．
分别根据一次函数及反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数及反比例函数的性质，熟知一次函数及反比例函数图象的增减性是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
．
故选：．
由，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，又由，即可求得，则问题得解．
此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．根据菱形的性质即可求出答案．
【解答】
解：由于菱形的两条对角线的长为和，
菱形的边长为：，
菱形的周长为：，
故选C．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
根据菱形的四条边都相等求出，菱形的对角线互相平分可得，判断是的中点，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
【解答】
解：菱形的周长为，
，
是菱形，
，
是的中点，
为边中点，
是的中位线，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形是菱形是解此题的关键．由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形，则可求得答案．
【解答】
解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，
四边形是菱形，
四边形的周长为：．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，设交轴于点，

轴，轴，
四边形是矩形，
，，
和点，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
矩形的顶点在反比例函数的图象上，
．
故选：．
过点作轴于点，设交轴于点，得矩形，根据点和点在边上，根据，可以求出和的长，进而可得的长，所以得点的坐标，即可得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，解决本题的关键是掌握反比例函数图象和性质．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
先根据关于轴对称的点的坐标特征确定的坐标为，然后把的坐标代入中即可得到的值．
【解答】
解：点关于轴的对称点的坐标为，
把代入得．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据反比例函数的一般形式：的次数是，且系数不等于，即可求解．
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
方程去括号，移项合并，整理为一般形式即可．
【解答】
解：方程整理得：，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：因为反比例函数，且矩形的面积为，
所以，即，
又反比例函数的图象在第二象限内，，
所以．
故答案为：．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积是个定值，再由反比例的函数图象所在象限确定出的值．
主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程、是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为．
本题考查一元二次方程根与系数的关系．
根据根与系数的关系得到、的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据已知条件得到三角形的面积，得到，即可得到结论．
【解答】
解：轴，
，
，
，
函数的图象在第二象限，
，，
故答案为．  

16.【答案】和 

【解析】解：设，，则原方程可变为，
由式又可变化为，
把式代入得，这又可以变形为，
再代入又得，
解得，
又因为，
所以解这个方程组得或，
于是，解得；
，解得．
故答案为和．
根据式子特点，设，，然后利用换元法将原方程组转化为关于、的方程组，再换元为关于、的方程组解答．
本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．
 

17.【答案】或 

【解析】解：过点作，
点的坐标为，
，，
，
设，
四边形是正方形，
，，
，
，
以，，为顶点的三角形与相似，
，则，
，
，
∽，
，
即，
解得，
，
点的坐标为，
时，则，
，
，
∽，
，
即，
解得，
，
点的坐标为．
如图当点在点左边时，设正方形的边长为，
∽，
：：：，
，，
，
，
，
，
，
综上所述，点的坐标是或或．
故答案为：或或．
根据点坐标是可以确定，又四边形是正方形，所以，即可证明的边，再根据“以，，为顶点的三角形与相似”分，两种情况讨论，根据与相似，相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式计算即可求出正方形的边长，从而的长亦可求出．
此题考查了相似三角形的性质对应高的比等于对应边的比的性质，解题的关键是根据点的坐标确定出，注意要分情况讨论，避免漏解．
 

18.【答案】解：，
，
，
． 

【解析】把看作一个整体，利用十字相乘分解因式，即可求解．
本题主要考查解一元二次方程，掌握十字相乘分解因式是关键．
 

19.【答案】解：设，
则，，，
所以；

由得：，
解得：，
，，． 

【解析】设，得出，，，再代入计算即可；
根据先求出的值，再代入，，，求出，，的值即可．
本题主要考查的是比例的性质，设出、、的值是解题的关键．
 

20.【答案】解：把点代入一次函数，
得，
解得，
，
点代入反比例函数，
得，
反比例函数的表达式，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得，，
点坐标；

作点作关于轴的对称点，交轴于点，连接，交轴于点，此时的值最小，
，
，
，
的最小值为． 

【解析】把点代入一次函数，即可得出，再把点坐标代入反比例函数，即可得出，两个函数解析式联立求得点坐标；
作点作关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，然后根据勾股定理即可求得．
本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；轴对称最短路线问题；解题关键在于点的坐标的灵活运用．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌                        

四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形． 

【解析】利用平行四边形的性质，根据即可证明．
首先证明四边形是矩形，由，即可推出四边形是矩形．
本题考查矩形的判定和性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：，，，，
补全频数分布直方图如下：


，
答：估计日行走步数超过步包含步的教师有名；

设的名教师分别为、、，
的名教师分别为、，
画树状图如下：

由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在步包含步以上的概率为． 

【解析】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率频数总数，用样本估计整体让整体样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是本题的关键．
根据频率频数总数可得答案；
用样本中超过步包含步的频率之和乘以总人数可得答案；
画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
 

23.【答案】解：在▱中，，直线垂直平分，

，
又：：，
，
∽，
，
即，
，
根据平移的性质，，连接，如图，

四边形的面积；
连接交直线于点，连接，如图，

直线垂直平分，
，
，
，
在中，，
，
即，
，
周长的最小值为．
，
，
，
，
过点作，分别交于点，交于点，如图，

当点在线段上时，
在中，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
同理可得，当点在线段上时，，如图，

综上所述，的长为或． 

【解析】根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；
连接交直线于点，连接，利用勾股定理解答即可；
分点在线段上和点在线段上两种情况进行解答．
此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，注意分两种情况分析．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
垂直平分线段．
解：


当点在线段上时，作于，于．
在中，，
，
，设，
，
，
，，，
∽，
，
．
 

当点在的延长线上时，作于，于．
在中，，
，
，设，
，
，
，，，
∽，
，
．
综上所述，的长为或．

【解析】只要证明即可解决问题；
利用相似三角形的性质证明即可解决问题；
当点在线段上时，作于，于由∽，可知，想办法求出，，即可解决问题；当点在的延长线上时，作于，于，方法类似．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】平行四边形 

【解析】解：平行四边形，理由如下：
如图中，设与交于点．

四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
中结论仍然成立，理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，，
又，
．
又，，
．
．
．
四边形是平行四边形；
由知≌，
．
．
．
，
，
．
，
．
．
，
∽，
．
如图中，设与交于点，首先证明≌，推出，再证明四边形是平行四边形即可；
结论仍然成立．首先证明≌，推出，再证明四边形是平行四边形即可；
结论仍然成立．如图中，设与的延长线交于点，证明方法类似．
本题是四边形综合题，考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，注意这类题目的解题规律，图形变了，条件不变，证明的方法思路完全一样．