三年（2021-2023）高考数学真题专项18坐标系与参数方程、不等式选讲含答案

  专题18 坐标系与参数方程、不等式选讲

知识点目录

知识点1：不等式选讲之面积问题

知识点2：不等式选讲之证明不等式、范围问题

知识点3：直角坐标方程与极坐标方程互化

知识点4：的几何意义

近三年高考真题

知识点1：不等式选讲之面积问题

1．（2023•甲卷（文））设，函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．

【解析】（1），当时，，

当时，，

则当时，由得，，此时，

当时，由得，，此时，

综上，即不等式的解集为，．

（2）作出的图象如图：

则，，，，，则，

则的高，

则，得，即．

2．（2023•乙卷（文））已知．

（1）求不等式的解集；

（2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积．

【解析】（1）当时，，

当时，，

当时，，

则当时，由得，得，即，此时．

当时，由得，得，即，此时．

当时，由得，得，即，此时．

综上，即不等式的解集为，．

（2）不等式组等价为，

作出不等式组对应的平面区域如图：则，，

由，得，即，

由，得，即，

则阴影部分的面积．

3．（2023•甲卷（理））已知，．

（1）解不等式；

（2）若曲线与轴所围成的面积为2，求．

【解析】（1），，

可化为：

，

，

，

，又，

，

原不等式的解集为，，其中；

（2），，

的对称轴为，且最低点的坐标为

令，可得的两零点分别为和，

函数图象大致如下：

曲线与轴所围成的面积为，

解得．

知识点2：不等式选讲之证明不等式、范围问题

4．（2022•乙卷（文））已知，，都是正数，且，证明：

（1）；

（2）．

【解析】（1）证明：，，都是正数，

，当且仅当时，等号成立．

因为，

所以，

所以，

所以，得证．

（2）根据基本不等式，，，

，

当且仅当时等号成立，故得证．

5．（2022•甲卷（文））已知，，均为正数，且，证明：

（1）；

（2）若，则．

【解析】证明：（1），，均为正数，且，

由柯西不等式知，，

即，；

当且仅当，即，时取等号；

（2）法一、由（1）知，且，

故，则，

由权方和不等式可知，，当且仅当，即，时取等号，

故．

法二、由（1）知，，当且仅当等号成立，

，当且仅当等号成立，

故．

6．（2021•乙卷（文））已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

【解析】（1）当时，，

，或或，

或，

不等式的解集为，，．

（2），

若，则，

当时，不等式恒成立；

当时，，不等式两边平方可得，解得，

综上可得，的取值范围是，．

知识点3：直角坐标方程与极坐标方程互化

7．（2021•乙卷（文））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．

（1）写出的一个参数方程；

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

【解析】（1）的圆心为，半径为1，

则的标准方程为，

的一个参数方程为为参数）．

（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，

设切线方程为，即，

圆心到切线的距离，解得，

所以切线方程为，

因为，，

所以这两条切线的极坐标方程为．

8．（2022•甲卷（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）．

（1）写出的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．

【解析】（1）由为参数），消去参数，

可得的普通方程为；

（2）由为参数），消去参数，

可得的普通方程为．

由，得，

则曲线的直角坐标方程为．

联立，解得或，

与交点的直角坐标为，与；

联立，解得或，

与交点的直角坐标为，与．

9．（2022•乙卷（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．

（1）写出的直角坐标方程；

（2）若与有公共点，求的取值范围．

【解析】（1）由，得，

，

又，，，

即的直角坐标方程为；

（2）由曲线的参数方程为为参数）．

消去参数，可得，

联立，得．

，

令，

可得，当时，，

，，

的取值范围是，．

10．（2023•乙卷（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线为参数，．

（1）写出的直角坐标方程；

（2）若直线既与没有公共点，也与没有公共点、求的取值范围．

【解析】（1）曲线的极坐标方程为，

根据转换为直角坐标方程为，

因为，，，，

，，

所以的直角坐标方程为，，，，；

（2）由于曲线的方程为，，曲线为参数，，转换为直角坐标方程为，；

如图所示：

由于与圆相交于点，即，

当时，直线与曲线没有公共点；

当曲线与直线相切时，圆心到直线的距离，解得（负值舍去），

由于直线与曲线没有公共点，

所以，

故直线既与没有公共点，也与没有公共点、实数的取值范围为．

知识点4：的几何意义

11．（2023•甲卷（理））已知，直线为参数），为的倾斜角，与轴，轴正半轴交于，两点，．

（1）求的值；

（2）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．

【解析】（1）已知，直线为参数），与轴，轴正半轴交于，两点，．

令，解得，令，解得，

由于，

所以，故，解得，

故或，解得或，

由于与轴，轴正半轴，所以直线的倾斜角，，

故．

（2）由（1）可知，斜率为，且过，

所以直线方程为，即，

因为，，

所以直线极坐标方程为．

12．（2023•甲卷（文））已知点，直线为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，且．

（1）求；

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．

【解析】（1）直线为参数）化为普通方程为，

令，得，令，得，

所以，，

所以，

整理得，

因为与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，

所以，

所以，

故；

（2）由（1）得，即，

因为，，

所以极坐标方程为，

即．