素养拓展16 解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练）-高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展16 解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练）

1.正弦定理

.（其中为外接圆的半径）

（边化角）

（角化边）

2.余弦定理：

3.三角形面积公式：

=

4.三角形内角和定理： 

在△ABC中，有.

5.基本不等式（优先用基本不等式）

①

②

6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）

利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。

【典例1】若，，求的最大值．建议使用两种方法来解决：

法一：余弦定理＋不等式．

法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式．

【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得最大值；

方法二：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得的范围，代入三角形面积公式即可求得最大值.

解：方法一：由余弦定理得：，

（当且仅当时取等号），，

（当且仅当时取等号），的最大值为；

方法二：由正弦定理得：，

；

，，，，

，的最大值为.

【典例2】若，，求周长的取值范围．建议使用两种方法来解决：

法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系．

法二：正弦定理＋辅助角公式．

【分析】方法一：利用余弦定理构造方程，根据可求得的最大值，结合三角形三边关系可求得结果；

方法二：利用正弦定理角化边，可将化为，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得结果.

解：方法一：由余弦定理得：，

又（当且仅当时取等号），，

解得：（当且仅当时取等号），

又，，周长的取值范围为；

方法二：由正弦定理得：，

，

，，，，

即周长的取值范围为.

【题型训练1-刷真题】

1．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值．

2．（2020·全国·统考高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

3．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（I）求角B的大小；

（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

【题型训练2-刷模拟】

1.面积的最值（范围）问题

一、解答题

1．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）在中，角，，的对边分别是，，，满足.

(1)求角；

(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值.

2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求A；

(2)若，求面积的最大值.

3．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）已知内角所对的边长分别为.

(1)求；

(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

4．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求∠C.

(2)若，求面积的最小值.

5．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若．

(1)求角的值；

(2)若，求面积的最大值．

6．（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）的内角的对边分别为，已知.

(1)求角的值；

(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

7．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，D为边上一点，平分．

(1)求角A；

(2)求面积的最小值．

8．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为．

(1)求；

(2)若，且，求面积的取值范围．

9．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为.

(1)若外接圆的半径为，求面积的最大值；

(2)若内切圆的半径为，求面积的最小值.

10．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且．

(1)求；

(2)若，且，求面积的取值范围．

11．（2023·江西·校联考二模）在中，角所对的边分别为，已知.

(1)求角；

(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

12．（2023·广东茂名·统考二模）已知中，角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，点、在边上，，求面积的最小值.

13．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，．

(1)求角B的大小；

(2)若，求△ABC面积的最大值．

14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．

(1)求A；

(2)点D在边上，且，，求面积的最大值．

15．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求的值；

(2)若，求三角形ABC面积的最大值．

16．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）在中，角、、所对的边分别为、、，.

(1)求；

(2)若，求面积的最小值.

2.周长（边）的最值（范围）问题

一、解答题

1．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在中，.

(1)求；

(2)若，求周长的最小值.

2．（2023·全国·高三专题练习）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

(1)求角A的大小．

(2)若，求c的取值范围．

3．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知平面四边形中，，若，的面积为．

(1)求的长；

(2)求四边形周长的最大值．

4．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角，，的对边分别是，，，满足．

(1)求角的大小；

(2)若的外接圆半径为，求周长的取值范围．

5．（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求A；

(2)若，求BC边上的高AD的最大值．

6．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，C=.

(1)当 时，求的面积;

(2)求周长的取值范围.

7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．

(1)求角B的大小；

(2)求的取值范围．

8．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）在中，内角A、、所对的边分别为、、，已知．

(1)求角A的大小；

(2)点为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围．

9．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，求的取值范围.

10．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

(1)求B；

(2)若的面积等于，求的周长的最小值．

11．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．

(1)求A；

(2)若，求的周长的取值范围．

12．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c.

(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；

(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.

13．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求C；

(2)若为锐角三角形，，求周长范围．

14．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）已知的内角，，的对边分别为，，，若.

(1)求的值；

(2)若的面积为，求周长的最大值.

15．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知．

(1)求B；

(2)若为锐角三角形，且，求△ABC周长的取值范围．

16．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．

(1)若，求出的值；

(2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围．

17．（2023·江苏盐城·统考三模）在中,为的角平分线,且.

(1)若,,求的面积;

(2)若,求边的取值范围.

18．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．

(1)求角B的值；

(2)若，求的周长的取值范围．