2023年湖北省恩施州中考数学试卷（含解析）

2023年湖北省恩施州中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，数轴上点所表示的数的相反数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

2.  如所示个图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列实数：，，，其中最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  用个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：

根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为精确到(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  分式方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离单位：及弹簧秤的示数单位：满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立直角坐标系则关于的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在中，分别交，于点，，交于点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，等圆和相交于，两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间下列结论：
；
；
；
若，为方程的两个根，则；
其中正确的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  计算： ______ ．

14.  因式分解： ______ ．

15.  九章算术被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等问门高、宽和对角线的长各是多少如图？答：门高、宽和对角线的长分别是______ 尺

16.  观察下列两行数，探究第行数与第行数的关系：
，，，，，，
，，，，，，
根据你的发现，完成填空：第行数的第个数为______ ；取每行数的第个数，则这两个数的和为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，，的对应点分别为，，连接交于点．
若，求的度数；
连接，试判断四边形的形状，并说明理由．

19.  本小题分
春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：包粽子，划旱船，诵诗词，创美文；人人参加，每人限选一项为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图请根据统计图中的信息，回答下列问题：
请直接写出统计图中的值，并补全条形统计图；
若学校有名学生，请估计选择类活动的人数；
甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们人中选人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率．

 

20.  本小题分
小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高如图，的长为，高为他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，，，，在同一平面内．
你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由参考数据：，，，结果保留整数

 

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，与双曲线在一，三象限分别交于，两点，，连接，．
求的值；
求的面积．

22.  本小题分
为积极响应州政府“悦享成长书香恩施”的号召，学校组织名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装经市场调查得知，购买套男装和套女装共需元；购买套男装与购买套女装的费用相同．
男装、女装的单价各是多少？
如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？

23.  本小题分
如图，是等腰直角三角形，，点为的中点，连接交于点，与相切于点．
求证：是的切线；
延长交于点，连接交于点，若，求的长．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．
如图，若，抛物线的对称轴为求抛物线的解析式，并直接写出时的取值范围；
在的条件下，若为轴上的点，为轴上方抛物线上的点，当为等边三角形时，求点，的坐标；
若抛物线经过点，，，且，求正整数，的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点表示的数为，
数轴上点所表示的数的相反数是．
故选：．
根据数轴得出点表示的数，根据相反数的定义即可求解．
本题考查了相反数的定义，在数轴上表示有理数，数形结合是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
在，，，这四个数中，
，
最小的数是，
故选：．
根据正数大于，大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：该几何体的左视图为
．
故选：．
找到从左面看，所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

5.【答案】 

【解析】解：由题意，对于选项，，
选项错误，不符合题意．
对于选项，，
选项错误，不符合题意．
对于选项，，
选项正确，符合题意．
对于选项，与不是同类项不能合并，
选项错误，不符合题意．
故选：．
依据题意，由完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项逐项判断可以得解．
本题主要考查了完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项，解题时要能熟练掌握并理解．

6.【答案】 

【解析】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在左右，
故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为．
故选：．
用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．

7.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，，
，
，
，
．
故选：．
由题意可得，，从而可得，由平行线的性质可得，再由三角形的内角和即可求．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

8.【答案】 

【解析】解：，
方程两边同乘最简公分母，
去分母得，
解得，
把代入，
原分式方程的解是，
故选：．
方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解，然后再进行检验可得出方程的解．
此题主要是考查了分式方程的解法，能够正确去得分母化为整式方程是解答此题的关键，注意分式方程要检验．

9.【答案】 

【解析】解：根据杠杆原理可得，，
把弹簧秤与中点的距离记作，弹簧秤的示数记作，
；
，
，
图象经过点，故选项C不符合题意；
是的反比例函数，
选项A、不符合题意；
故F关于的函数图象大致是选项B．
故选：．
根据杠杆原理得出与的函数关系式，再检验各数对是否满足函数解析式即可．
本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是掌握杠杆原理，能得出与的函数关系式．

10.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，
设，
，
，
，
∽，
，
，
，
，即，
解得，
故选：．
由，，得四边形是平行四边形，，设，由∽，可得，即可解得答案．
本题考查相似三角形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例，列出方程解决问题．

11.【答案】 

【解析】解：连接，，
和是等圆，经过的圆心，
，
，
，
，
，
≌，
阴影的面积扇形的面积，
扇形的面积，
阴影的面积．
故选：．
连接，，得到，因此，由相交两圆的性质得到，，因此，推出≌，得到阴影的面积扇形的面积，求出扇形的面积，即可得到答案．
本题考查相交两圆的性质，阴影面积的计算，关键是由相交两圆的性质推出≌，得到阴影的面积扇形的面积．

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故错误；
抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，，
，故错误；
抛物线的对称轴为直线，时，
时，，即，
，
，故正确；
若，为方程的两个根，由函数图象与轴交点可知，，
，故正确，
正确的有：，共个，
故选：．
根据抛物线的对称轴为直线，可得，，判断错误；由图象可得，，，知，判断错误；而时，知时，，即，可得，，判断正确；由，，可得，判断正确．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，涉及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．

13.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
根据二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：
，
故答案为：．
根据完全平方公式进行分解，即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

15.【答案】，， 

【解析】解：设门对角线的长为尺，则门高为尺，门宽为尺，
根据勾股定理可得：
，即，
解得：不合题意舍去，，
尺，
尺．
答：门高尺，门宽尺，对角线长尺．
故答案为：，，．
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
本题考查勾股定理的应用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．

16.【答案】   

【解析】解：观察数列可得，第行数的第个数为，
第行数的第个数为，第行数的第个数为，
，
取每行数的第个数，这两个数的和为．
故答案为：，．
观察可得，第行数的第个数为，第行数的第个数为，即可得到答案．
本题考查数字变化规律，解题的关键是观察数列，得到两个数列中数字的规律．

17.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：点是的中点，
，
由翻折可知：，
，
，
，
；
四边形是矩形，理由如下：
如图，连接，
由翻折可知：，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形． 

【解析】根据翻折的性质和三角形的外角定义即可解决问题；
根据翻折的性质和矩形性质证明，，所以，得是的中点，证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，三角形的外角定义，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，解决本题的关键是得到是的中点．

19.【答案】解：抽取的学生人数为：人，
，
选择的人数为：，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计选择类活动的人数约有人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有种，
甲、乙两人同时被选中的概率为． 

【解析】由选择的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由学校共有学生人数乘以选择类活动的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】解：能，过作于，
则，，
在中，，，
，
在中，，
，
设，
，，
在中，，
解得，
，
答：信号塔的高为． 

【解析】过作于，于是得到，，根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，于是得到，，根据三角函数的定义即可得到结论．
此题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．

21.【答案】解：在中，令得，令得，
，，
，
为中点，
，
把代入得：
，
解得；
的值为；
由得：或，
，
，
的面积是． 

【解析】求出，，由，知为中点，故C，用待定系数法可得的值为；由可解得，再用三角形面积公式可得答案．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法和函数图象上点坐标的特征．

22.【答案】解：设男装单价为元，女装单价为元，
根据题意得：，
解得：，
答：男装单价为元，女装单价为元．
设参加活动的女生有人，则男生有人，
根据题意可得，
解得：，
为整数，
可取，，，，，，，，，，，一共个数，
故一共有种方案，
设总费用为元，则，
，
当时，有最小值，最小值为元，
此时，套，
答：当女装购买套，男装购买套时，所需费用最少，最少费用为元． 

【解析】设男装单价为元，女装单价为元，根据题意列方程组求解即可；
设参加活动的女生有人，则男生有人，列不等式组找到的取值范围，再设总费用为元，得到与的关系，根据一次函数的性质可得当取最小值时有最小值，据此求解即可．
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键．

23.【答案】证明：连接，作于，
，是中点，
平分，，
切圆于，
，
，
是的切线；
作于，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，作于，由，是中点，得到平分，，由切线的性质得到，由角平分线的性质得到，即可证明是的切线；
作于，得到，由等腰直角三角形的性质，求出，，由勾股定理得到，由，得到，求出，得到．
本题考查切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形，关键是证明到的距离等于圆的半径长；由等腰直角三角形的性质求出，的长，由勾股定理求出的长，由锐角的余弦求出的长，即可得到的长．

24.【答案】解：，抛物线的对称轴为．
，，
解得：，
抛物线解析式为，
当时，，
解得：，，
的取值范围是：；

连接，在对称轴上截取，
由已知可得：，，
在中，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
是等边三角形，
，
点在上，
，
，
设的解析式为，则有：
，
解得：，
的解析式为：，
由，得：
，，
当时，，
，
设，则有：
，
解得：，
；
当与重合时，
，
点与点关于轴对称，符合题意，
此时，，；
，或，；

抛物线经过点，，，
、关于对称轴对称，，
，，
抛物线解析式为，
顶点坐标为，
由，得：
，
，当时，，
或，
当时，把点代入，得：
，
又，
；
当时，把点代入，得：
，
又，
；
，或，． 

【解析】把点的坐标代入抛物线的解析式，可得，由对称轴是，可求得；当时，结合图象求得的范围；
连接，在对称轴上截取，分两种情况进行讨论，根据题意可得、、、四点共圆，先证、、在同一直线上，根据等边三角形的性质，两点之间的距离公式，坐标系中的交点坐标特征等即可求解．
根据抛物线经过点，，，可得抛物线的对称轴，以及、之间的关系，结合二次函数的图象和性质分别讨论即可求解．
本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．