浙江大学附属中学2022-2023学年高一数学下学期期中模拟试题（Word版附解析）

2022-2023学年浙江省浙江大学附中高一下学期期中数学

模拟试卷

一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式求得，由此求得.

【详解】由题意可知，所以，

又由，

所以，所以.

故选：C

2. 设，则“”是“且”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，利用必要不充分条件的定义判断即可.

【详解】根据不等式的性质由且能推出 ；

当，时，有  而，

则“”是“且”的必要不充分条件.

故选：B．

【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理．

3. 如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的线性运算可求的值.

【详解】，而，

故，

而且不共线，故，

故选：C.

4. 已知扇形的圆心角为120°，面积为，则该扇形所在圆的半径为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

先将圆心角化为弧度数，再由扇形的面积公式可得答案.

【详解】由.

∴，解得.

故选：B.

5. 已知角的终边经过点，且，则（    ）

A.  B. 1 C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由三角函数定义求得值．

【详解】由题意，解得．

故选：C．

6. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（　　）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据两边之和大于第三边及正弦定理判断三角形解的个数即可.

【详解】对于A，，，，由两边之和大于第三边，，可知符合A的三角形不存在；

对于B，由，，，可得， 或，符合条件三角形有2个，不符合题意；

对于C，，，，可得 ，不符合题意；

对于D，，，符合条件的三角形有一个，是等腰三角形.

故选：D.

7. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 在区间[0，2π]上存在零点

C. 的图象的对称中心为（ ）

D. 的图象的对称轴方程为（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的图象的伸缩变换以及平移变换的规律，求出函数的解析式，判断A;令函数等于0，求得x的表达式，可判断B;根据正弦函数的性质，求出函数的对称中心和对称轴，即可判断C,D.

【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，

得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，故A错误；

令,则，无论k取何值，

则上函数无零点，B错误；

由B的分析可知的对称中心为，，故C错误；

令，则，

即的图象的对称轴方程为（），故D正确，

故选：D

8. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时，则函数的零点个数是（    ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】在平面直角坐标系中作出的图象后可得正确的选项.

【详解】因为，故的图象关于直线对称.

结合为偶函数可得，故是周期为2的周期函数，

在平面直角坐标系中作出的图象，如图所示：

由图象可得的图象的交点有7个，

故的零点个数为7，

故选：C.

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9. 设向量，则（    ）

A  B.

C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A，求出的坐标，然后求出其模进行判断，对于B，求出的坐标，再与的坐标进行比较判断，对于C，利用向量的夹角公式计算判断，对于D，利用投影向量的定义计算判断.

【详解】对于A，因为，所以，所以，

因为，所以，所以A正确，

对于B，因为，，

所以，所以与不平行，所以B错误，

对于C，因为，所以，

因，所以，所以C错误，

对于D，因为，

所以在上的投影向量为，所以D正确，

故选：AD

10. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列选项中正确的有（　　）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则为锐角三角形

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项，求出，，，进而求出；B选项，由正弦定理得到，进而求出；C选项，由余弦定理求出；D选项，无法确定是否是锐角，D错误.

【详解】对于A选项，由知，，，，所以，所以A错误；

对于B选项，由，根据正弦定理得，即，则，所以B正确；

对于C选项，因为，由余弦定理得，所以C正确；

对于D选项，由得，，仅能判断为锐角，未知，所以D错误.

故选：BC.

11. 下列说法中正确的是（    ）

A. 非零向量和满足，则与的夹角为

B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

C. 若，则在方向上的投影向量的模为

D. 若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

【答案】BC

【解析】

【分析】利用数量积的运算律可得，再求出，最后根据夹角公式计算即可判断A，由即可判断B，根据投影的定义判断C，根据且与不能同向，即可得到不等式组，解得即可判断D.

【详解】对于A：由，，

所以，即，

所以，

所以，所以与的夹角为，故A错误；

对于B：由，，所以，则与共线，不能作为平面向量的基底，故B正确；

对于C：，则或，则在方向上的投影向量的模为，故C正确；

对于D：由，，则，

若与的夹角为锐角，则且与不能同向，

即，解得且，故D正确；

故选：BC．

12. 如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（    ）

A.  B. 四边形的面积为

C.  D. 四边形的周长为

【答案】ACD

【解析】

【分析】在和中，分别利用余弦定理，得到，结合，求得，得到，可判定A正确；利用直角三角形的面积公式，可判定B不正确；在直角中，利用勾股定理，可判定C正确；求得四边形的周长，可判定D正确.

【详解】在中，可得，

在中，可得，

可得，即

因为，可得，可得，

又因为为三角形的内角，所以，所以，所以A正确；

由

，所以B不正确；

在直角中，可得，所以C正确；

四边形的周长为，

所以D正确.

故选：ACD

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13. 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在某次事故中，根据现场勘测结果，肇事汽车的刹车距离为72m，经查询知该车的刹车距离s m与车速v 之间的关系为，则该车的速度为______.

【答案】.

【解析】

【分析】

将代入即可求解.

【详解】将代入可得，

即，可得，

解得：或（舍）

故答案为：.

14. 已知函数在一个周期内简图如图所示，则函数的解析式为___________，方程的实根个数为__________.

【答案】    ①.     ②. 63

【解析】

【分析】利用函数的最值可求A；利用函数图像过可求；利用函数的周期可求，从而可求出解析式， 在同一坐标系内作出函数和函数的图象，的最大值为2，令得，在内求出交点个数即可.

【详解】解析显然，由图象过点，得，

即，又，所以，

又点在图象上，所以，即，

由图象可知，是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点，

所以，解得，

所以函数的解析式为.

在同一坐标系内作出函数和函数的图象，

如图.

因为的最大值为2，令得.

令，得，

而，所以在内有31个形如的区间.

而在每一个区间上，函数和函数的图象都有2个交点，

故这两个图象在内有62个交点，另外在内还有1个交点.

所以方程共有63个实根.

故答案为：；63

【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式以及零点个数，考查了学生的数形结合思想和转化思想，解题的关键是作出三角函数和对数函数，属于中档题.

15. 设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，可得，分段求解析式及对应函数值集合，再结合图象推理计算作答.

【详解】因，则，又当时，，

当时，，，

当时，由，解得或，

当时，，，

显然，当时，，如图，

对任意，都有，必有，

所以m的取值范围是.

故答案为：

16. 已知函数，当时，的最小值为__________；若的最大值为2，则的值为__________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】第一空换元法即可求出函数的最值；第二空换元后根据动轴定区间进行分类讨论即可求出结果.

【详解】因为，

令，则，

当时，，因此当时，，

由于开口向上，对称轴为，

若，即，此时，则；

若，即，此时，则；

综上：，

故答案为：；.

四、解答题（共6小题，满分70分）

17. 已知向量，，，

（1）若与的夹角为，求；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）求出，，，利用平面向量夹角公式即可求解；

（2）由题意可得，再由向量数量积的坐标表示列方程，解方程即可求解.

【详解】（1），，，

所以；

（2）因为，，，

所以，，

因为，所以

即，解得：，

所以的值为.

.

18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______.

（1）求；

（2）若的面积为，为的中点，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）6

【解析】

分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换即可求解；（2）利用余弦定理和基本不等式求解.

【小问1详解】

选①时，，

利用正弦定理得：，

由于，所以，

故，

又，，整理得，

因为，故.

选②时，，利用正弦定理得：，

由于，所以，

即，

又，，，，

故，，故.

选③时，，

利用正弦定理得：，

又，，

整理得.

所以，

整理得，，故.

【小问2详解】

由于的面积解得.在中，由余弦定理得

故，当且仅当，即，，的最小值为6.

19. 已知实数，且函数，，，，，当时，的最小值记为.

（1）若，求函数的单调递减区间；

（2），，，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先求出，的解析式，再解关于的不等式，即可求出的解析式，从而求出函数的单调递减区间；

（2）首先令，求出方程的解，从而确定的解析式，再根据二次函数的性质求出的最小，从而求出，依题意只需，令，求出，即可求出参数的取值范围.

【小问1详解】

解：当时，，，

由，解得，

由，解得或，

即，

，

，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，函数在上单调递增，

故函数的单调递减区间为.

【小问2详解】

解：令，

得，解得或，

，解得，

，解得或，

，

，，

又因为函数的图象关于直线对称，

故，

所以，

令，由，得，

由，有成立，

可知，

故，

又时，，

所以，解得.

【点睛】思路点睛：有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

20. 已知函数．

（1）化简；

（2）已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；

（3）若关于x的方程有解，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数倍角公式化简即可；

（2）根据 的单调递增区间对比，并考虑 即可；

（3）将“有解”转化为直线 与所求函数由交点即可.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

当为增函数时，，

∴，

因为在上为增函数，所以有 ，

∴ ，由①得 ，

由②得 ，

，∴k=0，代入上方程组解得；

【小问3详解】

原方程为，即有解，

令，

当时，；当时，，

所以a的取值范围为；

综上， ，， .

21. 已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，.

（1）求角C的大小；

（2）若，且的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）首先根据正弦定理角化边公式得到，再利用余弦定理求解即可.

（2）首先根据三角形面积得到，利用余弦定理得到，即可得到三角形的周长.

【详解】（1）因为

由正弦定理可得，即.

由余弦定理知

又因，所以；

（2），的面积，

即，

所以

，

所以，即.

所以的周长为.

22. 在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A；

（2）线段上一点D满足，，求的长度．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解；

（2）根据角之间的关系及正弦定理求出，由同角三角函数间的基本关系求出即可得解.

【小问1详解】

由结合正弦定理可得，

因为，所以，

所以，

即，

因为，所以，

因为，所以；

【小问2详解】

如图，

由题设，令，

则，，，

在△中，

即，

所以，故，

所以，又，，

解得.

在等腰中，取中点，连接，则，