高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数课时训练

函数的奇偶性

1 函数奇偶性的概念

① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.

② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.

由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的.

2 性质

① 偶函数关于轴对称；

② 奇函数关于原点对称；

③ 若奇函数定义域内含有，则；

④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．

3 判断函数奇偶性的方法

① 定义法

先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数.

② 数形结合

若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数.

③ 取特殊值排除法(选择题)

比如：若根据函数得到，则排除是偶函数.

④ 性质法

偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数；

奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数；

一个奇函数与偶函数的积为奇函数.

对于复合函数的奇偶性如下图

【题型一】对函数奇偶性概念的理解

角度1 函数奇偶性的概念

【典题1】 已知是定义在上的偶函数，那么的值是    .

【解析】依题意得，，

又(奇偶函数的定义域关于原点对称)，

，．

【典题2】 是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是________：

【解析】根据奇函数的定义可知，则(1)，(2)正确；

对于故正确；

对于是定义在上的奇函数，则则(4)不正确，故答案为：.

角度2 判断函数的奇偶性

情况1  具体函数的奇偶性判断

【典题1】函数的图象关于         对称．

【解析】要使函数有意义，则，即，

解得或，则定义域关于原点对称．

此时，则函数，(化简函数形式很重要)

，

函数是奇函数，图象关于原点对称，

【点拨】本题利用定义法判断函数的奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称，这点很重要；

情况2  抽象函数的奇偶性判断

【典题1】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是(   )

  是奇函数                是奇函数

  是奇函数            是奇函数

【解析】方法一 定义法

选项：设，则为偶函数．

选项：设， 则

关系不定．

选项：设为奇函数．

选项：设为偶函数．

故选.

方法二 取特殊函数排除法

令，可知是偶函数，排除，

令，可知排除，

可知是偶函数，排除.

【点拨】

① 判断函数的奇偶性，一般利用定义法：先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系.偶尔结合函数图像也可以.

② 判断抽象函数的奇偶性时，可以通过“取特殊函数排除法”.

③ 一般情况下，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数，偶函数偶函数=偶函数.

巩固练习

1(★) 下列函数中，是偶函数的是(　　)

【答案】

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于，，，函数不是偶函数，不符合题意；

对于，，，函数是偶函数，符合题意；

对于，，，函数是奇函数不是偶函数，不符合题意；

对于，，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；

故选：．

2(★) 函数的图象关于(　　)对称

．原点 ． ．轴 ．轴

【答案】

．

则，即函数是偶函数，

则函数的图象关于轴对称，

故选：．

3(★★) 若函数的定义域是，且对任意，都有成立．试判断的奇偶性．

【答案】 奇函数

【解析】在中，

令，得，.

再令，则，即，

，故为奇函数．

【题型二】函数奇偶性的运用

角度1 已知函数奇偶性，求值问题

【典题1】设为定义上上的奇函数，当时，为常数)，求.

【解析】因为为定义在上的奇函数，

所以，解得，

所以当时，

又因为为定义在上的奇函数，

所以，故选．

【点拨】若奇函数定义域内为，且，则有.

【典题2】 若函数是奇函数，为偶函数，

则         .

【解析】函数是奇函数，

，即，则   ①，

为偶函数，

，即，则    ②，

由解得．

角度2 判断函数的图像

【典题1】 函数的图象大致为(　　)

A．        B． 

C．        D．

【解析】函数的定义域为关于原点对称，且，

(或由均是奇函数，得是偶函数)

即函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除；

又，可排除；

故选：．

【点拨】选择题中判断函数的图像，可采取排除法，主要是研究函数性质(定义域、值域、奇偶性、单调性等)、取特殊值等手段进行排除选项！其中取特殊值排除法最简单.

巩固练习

1(★) 若函数的图象关于轴对称，则常数        .

【答案】

【解析】可知函数为偶函数，则，

即，解得，

将代入解析式验证，符合题意．

2(★) 已知函数，，则的值是       .

是奇函数 

.

3(★★) 已知函数为定义在上的奇函数，则    .

【答案】

【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，

特别地，当时，得到．

由取，所以，所以．

再分别令和，得，，

两式相加得，且，

，

所以．

4(★★) 函数的部分图象大致为  (　　)

． ． ． ．

【答案】    

【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合

【典题1】 已知奇函数在减函数，且，则不等式

的解集为   (　　)

【解析】由题意画出的草图如下，

因为，所以与同号，

由图象可得或，

解得或，

故选：．

【点拨】涉及到函数奇偶性和单调性综合的题目，多利用数形结合的方法进行理解，对每个条件要等价转化，做到有根有据的，不能“想当然”.

【典题2】 设函数，则使得成立的的取值范围为(　)

      ．

【解析】方法一

由得，(代入原函数暴力求解)

则，解得或.

方法二

根据题意，函数，其定义域为，

有，即函数为偶函数，

设，则，

在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，

则在上为增函数，

，

解得或，故选：．

【点拨】

① 若函数是偶函数，则函数在轴两侧的单调性是相反的，

若函数是奇函数，则函数在轴两侧的单调性是相同的，

② 若函数是偶函数，在上递增，

则求解等价于解不等式，不要漏了绝对值.(如下图所示).

③ 遇到类似的函数不等式，一般都是利用函数的单调性处理.

巩固练习

1(★) 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是(　　)

 B． 

【答案】

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于，，为二次函数，其对称轴为，在内不是增函数，不符合题意；

对于，，为偶函数，但在内不是增函数，不符合题意；

对于C，，，为奇函数，不符合题意；

对于，，既是偶函数，又在内单调递增的函数，符合题意；

故选：．

2(★) 如果奇函数在区间上是减函数，且最小值为，那么在区间上是(　　)

减函数且最大值为 增函数且最大值为6 

减函数且最小值为 增函数且最小值为6

【答案】   

【解析】当时，

，即．从而，

又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，

故在是减函数．

故选：． 

3(★★) 已知函数，则不等式的解集为      .

【答案】

【解析】函数为奇函数，且函数为增函数，

则不等式等价为，

则，得，得，

即不等式的解集为

4(★★) 已知函数，设，则的大小关系       .

【答案】  

是偶函数，且时递增，所以，即.

5(★★★)  已知是上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在上单调递增的有       .

；；；

【答案】①③④

【解析】因为是上的奇函数且单调递增，

故当时，，

①为偶函数，且当时，单调递增，符合题意；

②，故不满足偶函数；

③，且时单调递增，符合题意；

④，

满足偶函数，且时，，，

根据对勾函数的单调性可知 单调递增，符合题意．