奥数六年级下册秋季课程 第13讲《最小公倍数》教案

六年级                                               备课教员：×××

第13讲    最小公倍数

一、教学目标：

1. 理解公倍数和最小公倍数的意义。

2. 把问题转化成求最小公倍数的问题。

3. 学会用分解质因数法求最小公倍数。

4. 假设推理能力得到提升。

二、教学重点：

1. 用分解质因数法求最小公倍数。

2. 培养学生假设推理能力。

三、教学难点：

转换问题成求最小公倍数问题。

四、教学准备：

PPT、卡片

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

师：大家喜欢玩游戏吗？

生：喜欢。

师：今天我们来玩一个新游戏——抢倍数。左边分为小5组，右边分为小7组。
师：规则和分组：有7张数字卡片，这些数字分别是5、6、9的倍数。每组快速派一名代表上来。其他学生共同商讨，只能拿一张。拿到它们倍数最多的小组为胜。

（PPT出示）

（卡片为25、30、45、54、90、108、120）

师：请获胜的队伍来说说你为什么选择这个数？

生：90既是5的倍数,又是6的倍数，还是9的倍数。
师：说的真棒！90既是5的倍数,又是6的倍数，还是9的倍数，这里我们把

    90叫做5、6、9的公倍数，今天我们就来学习“最小公倍数”。

板书：

    最小公倍数

二、探索发现授课（40分）

（一）例题一：（10分）

有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？

（PPT出示)

师：同学们，我们先来看看除数和余数，它们有什么关系？

生：除数和余数的差都是3。

师：不错，如果我们把这个数加上3后，这个“新数”能被10、7、4整除。那

    么这个问题转换成什么了呢？

生：求4、7、10的最小公倍数。

师：是！4、7、10的最小公倍数是多少呢？快拿出你们的笔算一算。

生：140。

师：回答得又快又正确，请这位同学来告诉老师是怎么算的？

生：4、10是合数，先把它们分解成4=2×2,10=2×5，它们有最大公约数是2。

    所以三个数最小公倍数是2×2×5×7=140。

师：回答得非常不错，看来这位同学已经熟练地掌握了找公倍数的方法。

板书：

4、7、10最小公倍数是

2×2×5×7=140

这个数为140-3=137

答：这个自然数最小是137。

（PPT出示)

师：表示几个数的公倍数，我们常用中括号表示，例如本题

板书：

    [4,7,10]=140

（PPT出示)

练习一：（5分）

学校五年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。五年级最少有多少人？

（PPT出示)

分析：

本题也是转换成求最小公倍数问题，只要5年级人数再少2人，就可以被3、7、11整除。

3、7、11最小公倍数：3×7×11=231

五年级最少人数为231+2=233(人)

答：五年级最少有233人。

（PPT出示)

师：同学们，我们来猜个谜语，动动你的小脑子，第一个猜到奖励2个大拇指！

（PPT出示）

（二）例题二：（10分）

有一批水果，总数在1000个以内，如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？

(PPT出示）

师：同学们，看完题目后，谁能来告诉老师解题思路呢？

生：只要这批水果再多2个，它就能刚好被24一箱、28一箱、32一箱装完。

    所以先求24、28、32的公倍数，再减去2。

师：看来同学们通过例题1和练习1的学习，已经学会如何去解决该类问题。

但本题目并没有告诉我们求最小公倍数，我们怎样能确定这个数呢？还有

其它条件吗？

生：有，它的总数在1000个以内。

师：说的不错。我们先来算算它们的最小公倍数吧。现在开始，哪个同学最快

    的算出来！请举手！

生：672。

师：又快又准确，奖励5个大拇指。通常碰到数比较大的时候，我们用分解质

    因数的方法来求最小公倍数。

板书：

24=2×2×2×3

28=2×2×7

32=2×2×2×2×2

24、28、32最小公倍数：

2×2×2×2×2×3×7=672

(PPT出示）

师：同学们，这批水果总数在1000个以内，所以只有小于1000的公倍数才符

    合要求。那这3个数的第二小的公倍数是多少呢？

生：672×2=1344。

师：它已经超过了1000，所以只有它们的最小公倍数672才符合条件。

板书：

这箱水果数量：

672-2=670（个）               

答：这箱水果数量是670个。

（PPT出示)

师：同学们，答案出来后我们可以用条件来检验下结果是否正确。

板书：

670÷24=27余数22

670÷28=23余数26

670÷32=20余数30

师：结果完全符合题目中给出的条件。答案是正确的。

练习二：（5分）

一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形。这所学校至少有多少人？

（PPT出示)

分析：

本题也是找出3个数的最小公倍数，14、16、18。

14=2×7

16=2×2×2×2

18=2×3×3

14、16、18最小公倍数：

2×7×2×2×2×3×3=1008  

答：这所学校至少有1008人。

（PPT出示)

师：同学们，上面几个例题中，并没有直接要我们求出最小公倍数。它往往隐

    藏在条件中。所以做题时，我们要仔细审题，这样就离正确解答不远了。

三、小结：（5分）

1. 转换条件成为求最小公倍数问题。

2. 快速求出最小公倍数，验证条件，找出合理公倍数。

第二课时（50分钟）

一、导入（5分）

师：在上节课的游戏中，我们发现90是5、6、9的公倍数。那它是它们的最小

    公倍数吗？验算一下。

生：是的。

师：同学们验算得都很仔细，那它的公倍数还有哪些吗？

生：180、270、360……

师：它们与90有什么关系吗？

生：90的2倍，90的3倍，90的4倍……

师：说得不错。有时候题目的答案并不是最小公倍数，我们来看看下面这些例

    题，它们都有自己的条件来筛选这些公倍数。

二、探索发现授课（40分）

（一）例题三：（10分）

一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？

（PPT出示)

师：同学们，看完题目，老师想请位学生来讲讲解题思路？

生：4颗数少1颗，6颗数少1颗，15颗数少1颗，再多一个棋子就能被4、6、15整除，所以本题答案是4、6、15的最小公倍数减去1。

师：这位同学说的不错，我们再来看看他的解题过程。

板书：

4、6、15的最小公倍数60

60-1=59

（PPT出示)

师：答案是对的吗？

生：不对，这盒棋子在150至200颗。

师：不错，同学们，解题时，我们不能忽略题目给出的其它条件。

师：本题中4、6、15最小公倍数是60，第二小公倍数是多少呢？

生；120

师：接下来是多少？

生：180、240

师：第三小公倍数是180，我们可以用最小公倍数乘以自然数得出其它公倍数。

师：符合本题条件的只有180这个数字。所以这盒围棋有多少颗？

生；180、179。

师：我们在求出公倍数时，别忘记减去之前加进去的数。

板书：

4、6、15最小公倍数60，第三小公倍数是180

150＜180-1＜200

60×3-1=179（颗）

答：共有179颗。                     

（PPT出示)

练习三：（5分）

有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。这批树苗数在150-200之间。求共有多少棵树苗？

分析：

求解本题是树苗的棵数加2后能被9、10、12整除，转换成求9、10、12的公倍数。找出符合条件的公倍数。最后别忘记减去2。

9、10、12最小公倍数：

3×3×2×5×2=180

180-2=178（棵）

150＜178＜200

答：共有树苗178棵。

（PPT出示)

师：同学们，求最小公倍数的时候频繁用到乘法，下面一起来算算，看谁最快

    得出答案。

（PPT出示）

（二）例题四：（10分）

在一根长木棍上用红黄蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

师：同学们，我们又碰到了三个量的问题，我们用画图的方式来理清题意。我们用线段AB表示这根长木棍。红、黄、蓝三种颜色标记。

师：同学们，锯成的总段数是不是10+12+15呢？为什么？

生：不对，红、黄、蓝标记的地方会有重复，所以就重复计算了段数。

师：分析得不错，假设这根木棍长60厘米，那么分成10段，则每段6厘米，

   分成12段，则每段5厘米，分成15段，则每段4厘米。

师：同学们知道第一个重复点在哪呢？

生：12厘米处。

师：有没有发现12是6和4的最小公倍数，红色和蓝色标记重合点。

师：木棍的两头是不需要标记的，所以它们的公倍数只能小于60。

师：我们先来看看分成12段和15段有多少个点重复标记。4、5最小公倍数是

    20,那么黄蓝颜色标记重复标记点有20、40。

师：10段和12段的重复标记点30，10段和15段的重复标记点有12、24、36、

    48。所有重复标记点都在这里了吗？
生：是的。

师：同学们考虑得周全，所有标记的个数是多少呢？

生：9+11+14=34。

师：看来同学们对间隔问题已经掌握得非常熟练了。所以去掉重复的标记点实

    际有34-2-1-4=27（个）标记点。那木棍可以分成几段？

生：28段。

板书：

假设棍子长60厘米，

则标记点分别在：

10段：6、12、18…54。

12段：5、10、15…55。

15段：4、8、12…56。

4、5公倍数有：20、40

4、6公倍数有：12、24、36、48

5、6公倍数有：30

未重复标记点：

10-1+12-1+15-1-2-4-1=27

截成的段数：27+1=28（段）

答：木棍截成28段。

（PPT出示)

练习四：（5分）

用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把木棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小段？

分析：

本题也是间隔问题和最小公倍数问题的结合应用。12、15、20的最小公倍数是60。假设木棍长60厘米，运用公倍数方法找到它们的重复点，求出实际不重复标记数，就可以得出锯成多少小段了。

板书：

假设木棍的长度是60厘米，

则标记点分别在：

12段：5、10、15…55。

15段：4、8、12…56。

20段：3、6、9…57。

3、4公倍数：12、24、36、48

3、5公倍数：15、30、45

4、5公倍数：20、40

未重复标记点：

12-1+15-1+20-1-2-4-3=35

共锯成35+1=36（段）

答：一共锯成36段。

（PPT出示)

（二）例题五：（选讲）

从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？

（PPT出示)

师：同学们，本题跟上题一样，是植树（间隔问题）和最小公倍数的结合应用。

    我们先算出总路程。两端植树路程怎么求？

生：间隔×（点数-1），36×50=1800（米）

师：现在改成60厘米，则有1800÷60=30（个）间隔，要立31根电线杆。所以本题可以转换成求什么的公倍数？

生：可以转换成50、60的公倍数个数。

师：是的。本题解题过程是：

板书：

总路程：（37-1）×50=1800（米）

50、60的最小公倍数是300

符合条件的杆：300、600、900、1200、1500

中途不动的杆有5根。

答：中途还有5根不必移动。

(PPT出示）

练习五：（选做）

插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？

（PPT出示)

分析：

与例题5一样，先算出总路程，再求4、5符合条件的公倍数。

板书：

总路程：（26-1）×4=100（米）

4、5的最小公倍数：20

起点一面不移动，

符合条件的公倍数有：

20、40、60、80、100

还可以有5面不移动。

答：还可以有5面不移动。

（PPT出示)

三、总结：（5分）

1. 求出最小公倍数，找出符合条件公倍数。

2. 碰到有植树问题时，要注意植树种类，避免遗漏、重复计算。

四、随堂练习：

1. 公路上一排电线杆共25根，每相邻两根间的距离原来都是45m，现在要改为

   60m，可以几根不要移动？

板书：

24×45=1080（m）

45、60最小公倍数：180

符合的公倍数有

180、360、540、720、900、1080

再加上一头的电线杆共有：

6+1=7（根）

答：可以7根不要移动。

2. 不满千人的士兵等分为四队，每队各排成14人一排或12人一排都余8人，后

   来改为8人一排则无余数。求一共有多少人？

板书：

14、12、8的最小公倍数：

7×2×2×3×2=168

（168+8）×4＜1000

（168×2+8）×4＞1000

一共有（168+8）×4=704（人）

答：一共有704人。

3. 有一堆橘子，如果按10个、9个、8个或7个一堆分都多一个，这堆橘子至少

   有多少个？

板书：

10、9、8、7的最小公倍数：

2×5×3×3×2×2×7=2520

2520+1=2521（个）

答：至少有2521个。

4. 有五位数234（）6，用3或4除都无余数，求（）处所代表的数字。

板书：

234（）6可以被3或4整除，

2+3+4+（）+6=15+（）能被3整除并且末2位被4整除，

（）为3或9

答：（）代表的数字是3或9。

5. 初一（2）班上体育课，排成3行多2人，排成4行少1人，排成5行少4人，排

   成6行少1人。初一（2）班的人数不超过100人，求该班的人数。

板书：

先求3、4、6的公倍数

符合条件的公倍数有

12、24、36、48、60、72、84、96。

人数情况有：

11、23、35、47、59、71、83、95。

符合排成5行少4人条件有

11、71

答；该班人数有11人或71人。

家庭作业

线上作业：第13讲

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处